D空间解析几何与向量代数习题课实用教案

1、一、向量(xingling)的基本概念 1向量(xingling)的坐标: 2向量(xingling)的模: 方向余弦为: (,)xyzaaaa 设起点 和终点 ,则 ),(1111zyxM2222(,)Mxyz12212121(,)M Mxxyy zz 222xyzaaaa 3方向角：向量 与三个坐标轴正向的夹角 a , 222222222cos,cos,cosyzxxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaa 1coscoscos222 向量代数第1页/共50页第一页，共51页。4单位向量： 0222(,)|xyzxyzaaaaaaaaa 5向量(xingling)的投影： Pr|cos(

2、, )aj bba b 二、向量(xingling)的运算 1线性运算(yn sun) （1） (,)xxyyzzabab ab ab （2） (,)xyzaaaa 2数量积 （1）定义： （2）坐标表示： cos( , )a ba ba b xxyyzza ba ba ba b 第2页/共50页第二页，共51页。 分配律： ()abca cb c 结合律： ()()()ababa b （4）向量(xingling)的夹角： cos( , )a ba ba b （5）性质(xngzh)： 2;0;xxyyzza aaaba ba ba ba b 2向量(xingling)积 （1）定义： （3

3、）运算律： 交换律： a bb a cab sin( , )ca ba b 模模 ： 方向： 垂直 与 确定的平面，且符合右手规则。 c b a 第3页/共50页第三页，共51页。 结合律： ()()()ababab （4）性质： 0 ,/0aaabab 分配律： ()abcacbc 反交换律： abba （3）运算(yn sun)律： （2）坐标(zubio)表示： xyzxyxijkabaaabbb 第4页/共50页第四页，共51页。一、平面(pngmin)与直线的方程 1平面(pngmin)方程 : （1）点法式(fsh)方程： 0)()()(000 zzCyyBxxA其中 为平面的法向

4、量， ( ,)nA B C 0000(,)Mxyz为平面的 一定点。 （2）一般方程： 0 DCzByAx（3）截距式方程： ，其中 1 czbyaxcba,分别为平面在三坐标轴 zyx,上的截距。 2点到平面的距离： 222000CBADCzByAxd 平面与直线、空间曲面与曲线第5页/共50页第五页，共51页。3直线(zhxin)方程：（1）一般方程： 0022221111DzCyBxADzCyBxA（2）对称(duchn)式方程： pzznyymxx000 其中 为直线的方向向量， (, ,)sm n p ),(0000zyxM为直线的一定点。 （3）参数(cnsh)方程： ptzznt

5、yymtxx000第6页/共50页第六页，共51页。则它们(t men)的夹角为： 222222212121212121cospnmpnmppnnmm （2）两平面相交(xingjio)（夹角） 设 与 平面的法向量分别为 与 1 2 1111(,)nA B C 2222(,)nA B C 4线、面之间的位置(wi zhi)关系：（1）两直线相交（夹角） 设 与 的方向向量分别为 与 1111(,)sm np 2222(,)sm np 1L2L第7页/共50页第七页，共51页。（3）直线(zhxin)与平面相交（夹角）设直线 的方向向量为 , L(, ,)sm n p 222222sinpnm

6、CBACpBnAm 平面 的法向量为 ( ,),nA B C 则它们的交角： 则 222222212121212121cosCBACBACCBBAA 第8页/共50页第八页，共51页。（4）线、面之间的平行(pngxng)与垂直 设直线 与 的方向向量分别为 ， 1L2L1111(,)sm np 2222(,)sm np 平面 与 的法向量分别为 1 2 1111(,),nA B C 2222(,),nA B C 1111212222/ABCnnABC1111212222/mnpLLssmnp/0LsnAmBnCp 12121212120nnA AB BC C12121212120LLssm

7、mn np p/ABCLsnmnp 第9页/共50页第九页，共51页。二、空间(kngjin)曲面1一般方程： 0),( zyxF2旋转(xunzhun)面：曲线 ( , )00f y zx 同理可得 面上的曲线绕 轴旋转所得旋转面的方程及 zoxz绕 轴旋转所得旋转面的方程。x绕 轴旋转所得旋转曲面z22(, )0;fxyz 方程为 绕 轴旋转所成的旋转曲面 y22( ,)0;f yxz方程为 第10页/共50页第十页，共51页。三、空间(kngjin)曲线 1一般方程 0),(0),(zyxGzyxF2参数(cnsh)方程 )()()(tzztyytxx3空间(kngjin)曲线在坐标面上

8、的投影曲线： （1） 0),(0),(zyxGzyxF在 面上的投影曲线： xoy 00),(zyxH（2） 0),(0),(zyxGzyxF在 面上的投影曲线： yoz( , )00R y zx （3） 0),(0),(zyxGzyxF在 面上的投影曲线： xoz( , )00T x zy 第11页/共50页第十一页，共51页。向量(xingling)代数典型例题 【例1】已知两点 和 ,求向量 1(4, 2,1)M2(3,0,2)M余弦和方向角。12M M 的模、方向 解： 12( 1,2,1)M M 12| 2M M 方向余弦为 , , cos12 cos22 cos12 方向角为 ,

9、, 23 34 13 第12页/共50页第十二页，共51页。【例2】确定 的值，使向量 与向量 ,3(1)ijk 相等。并求此时向量的模与方向余弦。 (3)()3ijk 分析： 向量相等的定义(dngy)是向量坐标对应相等。 解： 由已知条件(tiojin)得 3133 易得 141 即当 时两向量相等。 1, 4, 1 33aijk 方向余弦为 。 193,193,191,19 a模为 此时(c sh)向量为 第13页/共50页第十三页，共51页。【例3】已知 都是单位向量，且满足 ， 求 . , ,a b c 0abc a bb cc a 分析：向量 的坐标没给出，也没给出之间的夹角， 无

10、法利用数量积定义，只能考虑数量积运算规律。 , ,a b c 解： 0() ()abcabc 于是(ysh) 32a bb cc a 32()a bb cc a 2()a ab bc ca bb cc a 第14页/共50页第十四页，共51页。求 。【例4】已知向量 两两互相垂直，且 , ,p q r , 3, 2, 1 rqprqp 分析：由于向量 没给出坐标，只给出了模，注意 , ,p q r 2aa a ，并利用条件 ， 0pqp q 便可求出 rqp Spqr ；或可不妨置 计算向量的模。于坐标系中 解法(ji f)1：2() ()pqrpqrpqrp pp qp rq pq qq r

11、r pr qr r 222222012314pqr14 rqp所以(suy) 第15页/共50页第十五页，共51页。解法(ji f)2：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设 ,2 ,3pi qj rk 23Spqrijk 则 于是(ysh) 22212314pqrS 【例5】已知向量 与三向量 123(,)xxxx (0,1,1),(1,0,1) 的数量积分别为3,5,4， 试求向量 及与其同向的单位向量。 x (1,1,0), 第16页/共50页第十六页，共51页。解：依题意有 3,5,4xxx 即 453313221xxxxxx解得 ， 3, 2, 1321 xxx14 x与 同向的单位

12、向量为 x 0123(,)141414xxx (1,2,3)x 则分析：利用 与每个 的数量积，可得出关于 x 321,xxx 的联立方程组，解之便得结果。, 第17页/共50页第十七页，共51页。【例6】已知 和 。求与 )1 , 3 , 3(),2 , 1, 1(21MM )3 , 1 , 3(3M1223,M MM M 同时垂直的单位向量，并且求以 1223,M MM M 为两邻边的平行四边形面积。 分析：应用向量积构造与两个(lin )向量都垂直的向量； 利用向量(xingling)积模的几何意义得平行四边形的面积。 解： 1223(2,4, 1),(0, 2,2)M MM M 122

13、3aM MM M 241022ijk644ijk与 同时(tngsh)垂直的单位向量为： 1223,M MM M 1(3, 2, 2)17aa 平行四边形面积 22212236( 4)( 4)2 17SM MM M 第18页/共50页第十八页，共51页。【例7】 在 坐标平面上求向量 ，它垂直于向量 xOyp (5, 3,4),q 并与向量 有相等的模。 q 分析： 先设出向量 ，再用两个条件确定其系数。 p 解：由已知条件,可设 , ( , ,0)pa b 254)3(5222 q 由已知条件有 ，( , ,0) (5, 3,4)530p qa bab aaabap1732350222225

14、 q 则15525,31717aba ( 1517 , 2517, 0 )p 于是ab35 则第19页/共50页第十九页，共51页。【例8】已知向量 ， 轴与三坐标轴正向构成(4, 3,2)a u相等锐角， 求 在 轴上的投影。 a u分析：先求出 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。 u解：设 轴的方向余弦分别为 ， u cos,cos,cos由已知条件(tiojin) 及1coscoscos222 即 轴上的正向单位向量为 ，u0111(,)333u 0001Prcos( , )(432)33ua uj aaa ua uu 于是(ysh) 1cos32 得1coscoscos3 所以 第2

15、0页/共50页第二十页，共51页。【例9】设向量 ， ，其中 ， ， 2pab qkab 1 a2 b且 。问： ab （1） 为何值时， kpq 以 与 为邻边的平行四边形面积为6。 （2） 为何值时， kp q 分析：（1）用向量(xingling)垂直的充分必要条件； （2）用向量积的模的几何(j h)意义。 解：（1） 当 时 ( 2) ()0p qabkab 即 ， 222(2)0k abk a b 亦即 ， 时002122 k2 k0p q 故当 ，时 。 2 kpq 第21页/共50页第二十一页，共51页。（2） 平行四边形面积(min j) bakbaqpS 2 abkbabb

16、aak 22 bak )2(002sin,k a ba b 2sin212 k622 k则 ，于是 或 32 k5 k1 k以 与 为邻边的平行四边形面积为6。 p q 当 或 时， 5 k1 k第22页/共50页第二十二页，共51页。直线与平面典型(dinxng)例题【例1】求平行于 轴且经过两点 的平面方程。 x)7 , 1 , 5(),2, 0 , 4( 分析：（1）已知平面过两点，可采用平面的点法式，用已知知两点确定的向量与向量 的向量积求平面的法向量； i （2）由平面平行于 轴的特殊条件，可采用平面的一般式， x设出不含 的平面方程，再由已知两点确定平面方程的 待定系数。x解法1:

17、 由已知点 ，确定向量 , )7 , 1 , 5(),2, 0 , 4(BA (1,1,9)AB 轴上的单位向量 ，可确定所求平面的法向量 x(1,0,0)i 第23页/共50页第二十三页，共51页。1199(0,9, 1)100ijknABijk 平面过点 ，则所求平面的点法式方程为 (4,0, 2) 0)2(9 zy即 029 zy解法2：平面平行于 轴，则平面方程中不含变量 ,于是xx可设平面(pngmin)方程为0 DCzBy点 在平面上，满足平面方程，即有 )7 , 1 , 5(),2, 0 , 4( 第24页/共50页第二十四页，共51页。 07020DCBDC，得 CBCD92则

18、平面(pngmin)方程为 029 CCzCy即 029 zy【例2】求经过两点 且与平面 2480 xyz )4 , 0 , 6(),9 , 2, 3( 垂直的平面方程。分析：已知平面(pngmin)过两点，可采用平面(pngmin)的点法式，用已知两点确定的向量(xingling)与已知平面法向量(xingling)的向量(xingling)积可求出平面的法向量(xingling)。第25页/共50页第二十五页，共51页。，平面 过向量 ，所以， 。 ( 9,2, 5)AB nAB 已知平面 的法向量为 ， 1: 0842 zyx1(2, 1,4)n 因为 ，所以 ，可取 1 1nn 19

19、253265214ijknABnijk 则所求平面(pngmin)的点法式方程为 0)9(5)2(26)3(3 zyx即 02263 zyx解：设所求平面 的法向量为 ，已知平面 过点 ( 6,0,4)B (3, 2,9),A n 第26页/共50页第二十六页，共51页。【例3】过点 且在三坐标轴上截距相等的平面方程。 )4 , 5, 3( 分析：最简单的方法(fngf)是利用平面的截距式方程，再用已知 的点确定(qudng)三个相等的截距。解：设所求平面的截距式方程为 ， 1 azayax将已知点的坐标代入方程确定参数 ，有 a1453 aaa2 a所求平面(pngmin)的截距式方程为 。

20、 1222 zyx或写为一般式方程 。 2 zyx解得第27页/共50页第二十七页，共51页。【例4】求与平面 平行，且与之距离 0362145 zyx为 3 的平面。 分析： 所求平面与已知平面平行(pngxng)，法向量相同，可先设出平面方程(fngchng)的一般式，再由条件定系数。解： 所求平面与已知平面平行(pngxng)，两者的法向量相同，故可设所求平面的方程为02145 Dzyx已知平面上有点 ，该点到所求平面的的距离为3，即 )8, 0 , 4( 315362145)8(2014)4(5222 DD可解得 或 81 D9 D第28页/共50页第二十八页，共51页。代入所设平面(

21、pngmin)方程得所求平面(pngmin)的方程为5142810 xyz 或 092145 zyx【例5】 求过点 且与平面 和 平行 )4 , 2 , 0(12 zx23 zy的直线方程。 分析：直线过已知一点(y din)，由直线的对称式，只需求直线的 方向(fngxing)向量，直线的方向(fngxing)向量分别与两已知平面的法向量垂直， 可用向量积求出直线的方向向量。 第29页/共50页第二十九页，共51页。可取(kq) 1210223013ijksnnijk 直线过点 ，则所求直线方程为 )4 , 2 , 0(14322 zyx解：设所求直线的方向向量为 ，两已知平面 s 1:2

22、1xz 的法向量为 ， 的法向量为 ， 1(1,0,2)n 2:32yz 2(0,1, 3)n 则 ， 。 1sn 2sn 第30页/共50页第三十页，共51页。解： 已知直线上点 在所给平面上，该点坐标满足 )1 , 0 ,(a平面方程； 024331310432aaaa解之得 。 1 a【例6】已知直线 在平面 ， azyax123 1343 aazyx求 的值。a分析：直线(zhxin)在平面上，则直线(zhxin)上的点都在平面上、直线(zhxin) 的方向向量与平面(pngmin)的法向量垂直。(3, 2, )sa 与平面的法向量 (3,4,)na 应相互垂直，即 。则有 0s n

23、关系式 其次，直线的方向向量 第31页/共50页第三十一页，共51页。求平面(pngmin)的法向量与两者分别垂直，平面(pngmin)的法向量可用向量积求得。31221 zyx【例7】求过点 且通过直线 )2, 1 , 3( 的平面方程。 分析： 直线上一点(y din)及已知点可确定一向量，直线有方向向量；所解：直线上的点 及已知点 在所求平面上， )0 , 2, 1( N)2, 1 , 3( M两点构成向量 ，直线方向向量 ； (2,3, 2)NM (2,1, 3)s 232724213ijjnNMsijk 所求平面(pngmin)方程为 0)2(4)1(2)3(7 zyx即 11427

24、 zyx所求平面的法向量 ， ，于是可取 ns nNM 第32页/共50页第三十二页，共51页。【例8】已知两直线 11122:,130211:21zyxLzyxL 求过 且平行于 的平面。 1L2L分析：所求平面过直线 ，则过直线上点，由平面的点法式， 1L关键是求出平面(pngmin)的法向量，有两种方法： （1）用向量积得出与两直线的方向(fngxing)向量都垂直的向量； （2）先设出平面的法向量(xingling)，再由条件定系数。 解法1: 直线 上的点 在所求平面上；又所求平面的 1L)3 , 2 , 1(法线向量 与已知二直线 的方向向量 、 n 21,LL1(1,0, 1)s

25、 2(2,1,1)s 都垂直，从而可取121013211ijknssijk 第33页/共50页第三十三页，共51页。于是(ysh)所求平面方程为0)3(1)2(3)1(1 zyx即 023 zyx解法2：设所求的法向量为 过直线 上的点 (,)nA B C 1L)3 , 2 , 1(的方程为(1)(2)(3)0A xB yC z 已知二直线 的方向向量为 、 ， 21,LL1(1,0, 1)s 2(2,1,1)s 因为(yn wi)平面 过 ，所以 ，又因为 ，所以 ，则有 1L1sn 2L 2sn 12020snACsnABC 解得 ABAC3取 则 。 1 A(1, 3,1)n 平面(pn

26、gmin)方程为： 03)2(31 zyx即 023 zyx第34页/共50页第三十四页，共51页。【例9】求直线 与直线 162511:1 zyxL 326:2zyyxL的夹角。 分析：关键是求出直线 的方向向量，可用向量积求得。 2L解：直线 的方向向量是 ，而直线 的方向 1L1(1, 2,1)s 2L向量 分别与两向量 ， 垂直,则可取 2s 1(1, 1,0)n 2(0,2,1)n 2121102021ijksnnijk 从而直线 与直线 的夹角 的余弦为1L2L 12222222121 ( 1)2 ( 1)1 231cos26 61( 2)1( 1)( 1)2ssss 因此(ync

27、) 3 第35页/共50页第三十五页，共51页。【例10】求过点 ，垂直于直线 且平行于 )3 , 2 , 1( 654zyx 平面 的直线方程。 010987 zyxn 可用向量积求 。 分析：由本题的条件知，求直线的方向向量 垂直于已知 s 直线的方向向量 ，也垂直于已知平面 的法向量1s s 解：设所求直线 的方向向量为 ，已知直线 的方向 Ls 1L向量 ,已知平面 的法向量为 ，1(4,5,6)s (7,8,9)n 1456363789ijkssnijk ， ，所以， ，故可取 1LL L 1,ss sn 已知第36页/共50页第三十六页，共51页。从而(cng r)所求直线的方程为

28、 336231 zyx即 132211 zyx【例11】* 已知直线 及点 ， 7233:zyxyxL)1, 0 , 1(0 P求点 到直线 的距离 。 0PLd分析：要想求出点到直线的距离，需求(xqi)过该点与已知直线垂直 相交的直线和已知直线的交点（即垂线足，或称为(chn wi)投影）， 得出交点即可求出。 第37页/共50页第三十七页，共51页。12110224312ijksnnijk 过点 做垂直于已知直线 的平面 ，其法向量)1, 0 , 1(0 PL n 即是 的方向向量 ，则平面方程为 Ls 2 (1)2 (0)4(1)0 xyz 即 032 zyx再求已知直线 与平面 的交

29、点 ，取已知直线 上点 L 1PL(0, 3, 2) ，得直线的对称式方程为 032112xyz 解：已知直线 的方向向量为 L第38页/共50页第三十八页，共51页。化为参数方程为 ，将已知直线的参数方程代入 223tztytx平面 方程 03)22(23 ttt得 ，则 31 t故有交点(jiodin) ， 38,38,31 zyx)38,38,31(1 P因此(ync)所求的距离为 933135383222210 PPd注：求点到直线(zhxin)距离、过一点作与已知直线(zhxin)垂直相交的直线(zhxin)、点在 直线上的投影等几种问题均为同一种类型题，解题过程基本相同。第39页/

30、共50页第三十九页，共51页。【例12】通过二平面 与 的交线及 042 yx02 zy点 的平面方程。 )1, 1, 2(0 M分析：所求平面过 点，由点法式方程，只需求出平面的 0M所求平面上，又交线上的一点 与已知点 所 M)1, 1, 2(0 M向量(xingling)。也可现设出所求平面的法向量(xingling)，再由条件定其坐标。 又可利用(lyng)过交线的平面束。确定的向量 在所求平面上，两者可确定所求平面的法0M M 解法1：设两个平面的交线为 ，方向向量为 ，已知两平面 Ls 的法向量为 ， ，因为 1(2,1,0)n 2(0,1,2)n 12,sn sn 法向量。所给两

31、个平面的交线 （方向向量 ）显然应该在 s L第40页/共50页第四十页，共51页。11210242012ijksnnijk点 满足两已知平面方程，故该点在两平面交线 上， )0 , 0 , 2(ML该点与点 所确定的向量 )1, 1, 2(0 M0(0,1,1)M M 平面上。则所求平面的法向量为在所求00116222(3,1, 1)242ijknM Msijk 则所求平面(pngmin)的方程为0)2(3 zyx即 063 zyx可取(kq) 第41页/共50页第四十一页，共51页。解法2：同解法1交线 的方向向量为 ， L(2, 4,2)s 0(0,1,1)M M 设求平面的法向量为 ，

32、则 ， ，( ,)nA B C ns 0nM M 于是(ysh)有 024200n sABCn M MBC ，得 BABC3取 ，则 1 B(3,1, 1)n 则所求平面(pngmin)的方程为0)1()1()2(3 zyx即 063 zyx第42页/共50页第四十二页，共51页。解法3：过交线 的平面束的方程是L24(2 )0 xyyz 即 2(1)240 xyz 点 不在交线上，故平面束中过点 的 )1, 1, 2(0 M)1, 1, 2(0 M平面唯一。将 的坐标代入平面束方程： )1, 1, 2(0 M04)1(2)1)(1(22 可得 31 于是求平面(pngmin)的方程为 043

33、2322 zyx即 063 zyx第43页/共50页第四十三页，共51页。【例13】求直线 在平面 0923042zyxzyx144 zyx上的投影的直线方程。分析：应考虑过已知直线的平面束中有一个平面与已知平面垂直(chuzh)，平面束中该平面是直线的投影柱面。解：过已知直线的平面(pngmin)束方程为 329(24)0,xyzxyz 即09)2()41()23( zyx 其法向量 (32 ,14 ,2);n 平面束中有一个(y )平面与已知平面垂直， 与已知平面法向量 垂直 )2,41,23( n即其法向量)1 , 1, 4(1 n第44页/共50页第四十四页，共51页。则两者的数量(shling)积为零，即1(32 ,14 ,2) (4, 1,1)n n 1281420 解得 1311 则法向量(xingling)为 . 17 31371(,