D多变量函数的微分和偏导数实用教案

1、一、 多变量函数(hnsh)的微分定义8.3.1 设 在 的邻域中有定义，记 ，如果存在常数A, B使得当( , )zf x y 22xy 000(,)Mxy0 时，有0000(,)(,)( )f xx yyf xyA xB yo 则称 在 M0 处可微，并称( , )zf x y A xB y 为 在M0的微分，记成( , )zf x y 00(,)dzdf xyA xB y 第1页/共39页第一页，共40页。A xB y 0000(,)(,)( )zf xx yyf xyA xB yo 是的线性主部。定理8.3.1 如果(rgu)f (x, y)在M0(x0, y0)处可微，则f (x,

2、y)在M0(x0, y0)处连续。第2页/共39页第二页，共40页。定义定义(dngy)8.3.1.),(yxfz 在点), (), (lim000yfyfx存在(cnzi),xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数(do sh)，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00 x则称此极限为函数极限设函数)(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx

3、注意:二、 多变量函数的偏导数第3页/共39页第三页，共40页。0),(dd0yyyxfy同样同样(tngyng)可定义对可定义对 y 的的偏导数偏导数 lim0y),(00yxfy若函数(hnsh) z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,xzxfxz则该偏导数称为(chn wi)偏导函数,也简称为偏导数 ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy记为yy00y机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 ,yzyfyz第4页/共39页第四页，共40页。例例1 . 求求223yyxxz

4、解法(ji f)1:xz)2, 1 (xz解法(ji f)2:) 2, 1(xz在点(1 , 2) 处的偏导数(do sh).) 2, 1(yz,32yxyzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共39页第五页，共40页。例例2. 设设，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证:xzyzxxzyxln1 例3. 求222zyxr的偏导数(do sh) . 解:xryryyxx yz求证(qizhng),1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry机

5、动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共39页第六页，共40页。偏导数(do sh)记号是一个例例4. 已知理想气体已知理想气体(l xin q t)的状态方程的状态方程求证(qizhng):1pTTVVpTRVp证:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp说明:(R 为常数) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子与分母的商 !此例表明,机动 目录 上页 下页 返回 结束 整体记号,第7页/共39页第七页，共40页。若 在 (x, y) 处可微，则( , )zf x y ( , )ffdzdf x yxyxx ffdzdxdyxx 偏导数也叫偏微商，这

6、种叫法源于其本质上是一个一元函数微商，但对于二元函数而言不具有(jyu)商的性质，只是一种记号。第8页/共39页第八页，共40页。二元函数二元函数(hnsh)偏导数偏导数的几何意义的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线(qxin)0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线(qixin)对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线yxz0 xyToxT0y0M机动 目录 上页 下页 返回 结束 对 y 轴的第9页/共39页第九页，共40页。函数在某点各偏导数(do sh)都存在,显然(xinr

7、n)例如(lr),0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注意：注意：但在该点不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结束 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!第10页/共39页第十页，共40页。二元函数(hnsh)可微则偏导数存在。但偏导数存在，函数(hnsh)不一定可微。定理8.3.2 如果 z=f (x, y) 的两个偏导数(do sh)在M0(x0, y0)处都是连续的，则 f (x, y) 在M0(x0, y0)处可微。第11页/共39页第十一页，共40页。),(

8、zyxfx例如, 三元(sn yun)函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的可微与偏导数的概念可以推广可微与偏导数的概念可以推广(tugung)到二到二元以上的函数元以上的函数 . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 偏导数定义为(请自己写出)可微的定义为第12页/共39页第十二页，共40页。例5 . 求xyzue 在（1，2，3）处的偏导数。第13页/共39页第十三页，共40页。三、高阶偏导数三、高阶偏导数(do sh)设 z = f (x , y)在域

9、 D 内存在(cnzi)连续的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数(do sh)仍存在偏导数(do sh)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:第14页/共39页第十四页，共40页。类似可以类似可以(ky)定义更高阶的偏导定义更高阶的偏导数数.例如，z = f (x , y) 关于(guny) x 的三阶偏导数为3322)(xzxz

10、xz = f (x , y) 关于(guny) x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于(guny) y 的一阶) (yyxznn1机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为11nnxz第15页/共39页第十五页，共40页。yxe22例例6. 求函求函数数yxez2.23xyz解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意(zh y):此处,22xyzyxz但这一结论(jiln)并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及 第16页/共39页第十六页，共40页。0,)(422

11、2224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如(lr),),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第17页/共39页第十七页，共40页。例例7. 证明证明(zhngmng)函函数数222,1zyxrru满足(mnz)拉普拉斯0222222zuyuxu证：xu22x

12、u利用(lyng)对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共39页第十八页，共40页。,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则证明 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 证:令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx则),(yxF),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)

13、()(00 xxx令)()(00yyy定理(dngl).8.3.3.第19页/共39页第十九页，共40页。xxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010)10(1)1,0(2100()()yyy )()(00 xxx同样(tngyng)yxyyxxfxy),(4030) 1,0(43第20页/共39页第二十页，共40页。),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在点)(00yx ，连续(linx),得0y第21页/共39页第二十一页，共40页。例

14、如(lr), 对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明(shumng):本定理(dngl)对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续时, 有而初等第22页/共39页第二十二页，共40页。( )()nCD把区域 D 中有 n 阶连续偏导数的函数(hnsh)全体记作( )( )nCI把区间 I 中有 n 阶连续

15、导数(do sh)的一元函数全体记作第23页/共39页第二十三页，共40页。作业作业(zuy)第三节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 P6668 1（3）,2（9）,9（1）； 11； 13；17。第24页/共39页第二十四页，共40页。第四节第四节一元(y yun)复合函数)(),(xuufy求导法则(fz)xuuyxyddddddxxufuufyd)()(d)(d微分(wi fn)法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数的微分法 第八章 第25页/共39页第二十五页，共40页。本节内容(nirng):一、复合(fh)函数求导的链式法则二*、Jacobi矩阵(j zhn)三

16、、方向导数和梯度四、全微分的不变性五、例题第26页/共39页第二十六页，共40页。xz1211ff2221ffyzxuuzxvvzyuuzyvvz一、复合(fh)函数求导的链式法则( , )vx y 定理8.4.1. 若函数 可微， 和( , )zf u v ( , )ux y 有一阶偏导数，则 z 对 x 和 y 有偏导数，并有zvuyxyx写成矩阵(j zhn)形式：zuvzxxxuzuvzyyyv 第27页/共39页第二十七页，共40页。一般(ybn)地，设 可微，而12(,)nzf u uu 12(,)1,2, .iimuxxxin ，1211111122222212nnnnnmmmu

17、uuzzxxxxuuuuzzxuxxxzzuuuxuxxx 第28页/共39页第二十八页，共40页。例例1. 设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共39页第二十九页，共40页。例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu222

18、2zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共39页第三十页，共40页。例3. 证明函数(hnsh) u=1/r 满足方程2222220uuuxyz其中(qzhng) 。222rxyz Laplace方程(fngchng)，调和函数第31页/共39页第三十一页，共40页。)(),(ttfz 若函数(hnsh),)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续(linx), ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztz

19、ddddddz则复合(fh)函数证: 设 t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v ,第32页/共39页第三十二页，共40页。,0t令,0,0vu则有to)( 全导数(do sh)公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式(gnsh)前加“”号)tvtvtutudd,dd机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 tvvztuuztzdddddd第33页/共39页第三十三页，共40页。若定理(dngl)中 说明说明(shumng):

20、 ),(),(vuvuf在点例如(lr):),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz偏导数连续减弱为偏导数存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.第34页/共39页第三十四页，共40页。 中间变量多于(du y)两个的情形. 例如, ),(wvufz tzdd321fffzwvuttttuuzddtvvzddtwwzdd机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 )(, )(, )(twtvtu第35页/共39页第三十五页，共40页。又如又如,),(, ),(yxvvxfz当它们都具有(jyu)可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意(zh y):这里(zhl)xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口诀 :分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导xfxvvfyvvf与不同,v机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页/共39页第三十六页，共40页。例例4. 设设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetc