D111对弧长曲线积分21969实用教案

1、AB一、对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分(jfn)的概的概念与性质念与性质假设(jish)曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度(md)为“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得为计算此构件的质量,ks1kMkM1.1.引例: 曲线形构件的质量采用第1页/共24页第一页，共25页。设 是空间(kngjin)中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个(y )有界函数, 都存在(cnzi), 上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定义定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构

2、件的质量nk 1ks1kMkM和对第2页/共24页第二页，共25页。如果如果 L 是是 xOy 面上面上(min shn)的曲线弧的曲线弧,如果(rgu) L 是闭曲线 , 则记为则定义(dngy)对弧长的曲线积分为思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.第3页/共24页第三页，共25页。3. 性质性质(xngzh)（, 为常数(chngsh)( 由 组成) 21,( l 为曲线(qxin)弧 的长度)第4页/共24页第四页，共25页。二、对弧长的曲线二、对弧长的曲线(

3、qxin)积分积分的计算法的计算法基本思路:计算(j sun)定积分转 化定理(dngl):且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义 kknkksf),(lim10第5页/共24页第五页，共25页。kknkksf),(lim10Lsyxfd),(点设各分点对应(duyng)参数为对应(duyng)参数为 则nk 10lim第6页/共24页第六页，共25页。xyOxdydsdLsyxfd),(说明(shumng):因此(ync)积分限必须满足(2) 注意(zh y)到 x因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此第7页/共24页第七页，共25页。如果如果(rgu)曲线曲线

4、 L 的方程为的方程为则有如果(rgu)方程为极坐标形式:则syxfLd),(推广: 设空间曲线弧的参数(cnsh)方程为则第8页/共24页第八页，共25页。例例1. 计算计算(j sun)其中(qzhng) L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解:上点 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B第9页/共24页第九页，共25页。例例2. 计算计算(j sun)半径为半径为 R ,中心角为中心角为的圆弧 L 对于(duy)它的对称轴的转动惯量 I (设线密度(md) = 1). 解: 建立坐标系如图,R xyOL则 第10页/共24页第十页，共25页。例例3. 计算计

5、算(j sun)其中(qzhng)L为双纽线解: 在极坐标系下它在第一象限(xingxin)部分为利用对称性 , 得Oyx第11页/共24页第十一页，共25页。例例4. 计算曲线计算曲线(qxin)积分积分 其中(qzhng) 为螺旋的一段弧.解: 线第12页/共24页第十二页，共25页。例例5. 计算计算(j sun)其中(qzhng) 为球面 被平面 所截的圆周. 0zyx解: 由对称性可知(k zh)第13页/共24页第十三页，共25页。思考思考(sko): 例例5中中 改为改为计算(j sun)解: 令, 则332a圆 的形心在原点, 故, 如何(rh)利用形心公式第14页/共24页第

6、十四页，共25页。例例6. 计算计算(j sun)其中(qzhng) 为球面解: 化为参数(cnsh)方程 则第15页/共24页第十五页，共25页。例例7. 有一半有一半(ybn)圆弧圆弧其线密度(md) 解:ORRxy故所求引力(ynl)为),(yx求它对原点处单位质量质点的引力. RkRkF2,4第16页/共24页第十六页，共25页。内容内容(nir(nirng)ng)小结小结1. 定义(dngy)2. 性质(xngzh)( l 曲线弧 的长度)第17页/共24页第十七页，共25页。3. 计算计算(j sun) 对光滑(gung hu)曲线弧Lsyxfd),( 对光滑(gung hu)曲线

7、弧Lsyxfd),( 对光滑曲线弧第18页/共24页第十八页，共25页。思考思考(sko)与练习与练习1. 已知椭圆(tuyun)周长(zhu chn)为a , 求提示:原式 =O22yx3利用对称性xyd1222分析:第19页/共24页第十九页，共25页。2. 设均匀设均匀(jnyn)螺旋形弹簧螺旋形弹簧L的方程为的方程为(1) 求它关于(guny) z 轴的转动惯量(2) 求它的质心(zh xn) .解: 设其密度为 (常数).(2) L的质量而(1)第20页/共24页第二十页，共25页。0故重心坐标为作业(zuy)P188 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二节 第21

8、页/共24页第二十一页，共25页。备用备用(biyng)题题1. 设 C 是由极坐标系下曲线(qxin)及所围区域(qy)的边界, 求提示: 分段积分xyO4ddas 第22页/共24页第二十二页，共25页。2. L为球面为球面(qimin)标面的交线 , 求其形心坐标. 在第一(dy)卦限与三个坐解: 如图所示 , 交线长度(chngd)为ORzyxRR1L3L2L由对称性 , 形心坐标为第23页/共24页第二十三页，共25页。感谢您的欣赏(xnshng)！第24页/共24页第二十四页，共25页。NoImage内容(nirng)总结一、对弧长的曲线积分的概念与性质。第1页/共24页。设 是空间(kngjin)中一条有限长的光滑曲线,。义在 上的一个有界函数,。若通过对 的任意分割。第2页/共24页。第3页/