量子力学中的算符和Dirac符号

1、量子力学中的量子力学中的算符和算符和DiracDirac符号符号 我们通常用上方加“ ”的字母来表示算符，例如：一、算符一、算符 定义：定义：算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号L,H,p , r 孤立的算符在数学上就是一种运算符号，如“+、-、”、乘方、开方、微分、积分.没有直接的物理意义 量子力学中，算符仅当其作用在波函数上对波函数做相应的运算才有意义 在经典力学中，算符的引入有时是不必要的。和量子力学相对应的力学量可以使用其他方法确定地表示出来。例如：mvp =经典力学的经典力学的哈密顿量：哈密顿量：动量：动量：)r(VmpH+2=2算符引入的必要性算符引入的必要性 而对于量

2、子力学，我们知道Werner Heisenberg提出的著名的不确定性原理(微观粒子波粒二象性的体现) 因此，量子力学不能像经典力学中那样，通过分别确定动能和势能的大小来确定总能量的数值，总能量的数值只能通过求解能量算符的本征值方程来决定。22( )2HV rm 量子力学的量子力学的动量算符：动量算符： pi 算符引入的必要性算符引入的必要性哈密顿算符：哈密顿算符：可见，在量子力学里，算符为理论表述不可或缺的要素！2x p 本征函数与本征值本征函数与本征值定义定义：若用算符作用于某一函数f(x)的结果为某一常数k乘以f(x) ，即：)()(xkfxfA则称f(x)是的具有本征值k的本征函数，上

3、式称为算符的本征方程。EH 如能量本征方程：量子力学中的主要算符量子力学中的主要算符算符的一般运算算符的一般运算 算符加法： 算符乘法： 算符的加法满足通常的代数法则； 算符的乘法满足通常的结合律和分配率，但一般不满足交换律。如果 ，则称算符 和 是可对易的。ABBA=AB算符的对易算符的对易定义定义算符的对易关系： 如果算符 与 满足交换律，那么就称算符可对易，即0=B,A 若 、 相互对易，则 和 有共同的本征函数系； 若 和 有共同的本征函数系，则 和 相互对易。 如果两个算符之间不对易，则它们不能同时有确定值。 如 和 ABABABABABp r 算符的对易关系在量子力学中应用很广：从

4、算符间的对易关系出发，分析、求解其本征值问题。 角动量三个分量的算符不相互对易，这就是说，角动量的三个分量不能同时有确定值，不能期望像普通矢量那样，通过确定它的三个分量的数值来确定角动量矢量。 粒子的动能算符和势能算符不可对易，不能同时有确定值。因而不能期望像在经典力学中那样，通过分别确定动能和势能的大小来确定总能量的数值，总能量的数值只能通过求解能量算符的本征值方程来决定。例如：算符的种类算符的种类 算符有很多种类，例如单位算符单位算符、零算符零算符、线性线性算符算符、厄米算符厄米算符、幺正算符幺正算符等。 我们所关心的是能够用来表示力学量的算符，那么这个算符的引入应该满足必要的条件： 算符

5、作用不应该破坏波函数叠加原理； 用算符计算出来的力学量平均值必须为实数。 其中厄米算符满足这个条件公设：若公设：若 1， 2， n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的 也也是该体系可能存在的状态。是该体系可能存在的状态。 定义：定义：若算符 的厄米共轭等于它本身，则称算符 为厄米自共轭算符，简称厄米算符。厄米算符厄米算符(Hermite operator) 即算符 满足表达式： 或AAA补充： 两个厄米算符的和仍为厄米算符，但两个厄米算符的积仅当二者可以对易时是厄米算符。 厄米算符的本征值是实数。线性算符线性算符 线性算符的充分条件：)(

6、)()()()()(xfAcxcfAxgAxfAxgxfA 量子力学的一个基本假设：力学量用线性厄米算符表示，即，量子力学中表示力学量的算符一定是线性厄米算符。 利用力学量的算符可以预言在给定状态里测量这一力学量所得结果的期望值平均值。可得到给定状态里该力学量的表象二、二、DiracDirac符号的引入符号的引入 量子力学的语言是Dirac符号法，它有两个优点：一是无需采用具体表象来讨论问题；二是运算简洁。 Dirac符号法，也称为q数理论，而q数理论核心内容之一就是表象理论。什么是表象什么是表象 体系的态可以用以坐标为变量的波函数 来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符来表示，这是量子力

7、学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。)( t , x 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式直接的变换的理论，则称为表象理论。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。表象举例表象举例 而在量子力学中，由于波粒二象性，对于微观粒子，在给定状态里测量力学量，通常不是得到唯一的结果，而是有一定概率分布的一系列可能值。 因而在量子力学中，力学量和描述状态的波函数之间不是简单的对应关系，那么为了描述微观粒子力学量，必须找到适当的数学工具。 由于数学期望值可以集中反映随机变量的统计

8、特征，那么首先要搞清楚如何在给定状态中求出力学量的平均值。从一维说起从一维说起 易知：测量坐标x的值在xx+dx之间的概率2*( , )( , )( , ) ( , )dp x tx tdxx tx t dx 计算得到x的平均值*( , )( , )( , )xxdp x tx t xx t dx 同理，得到动量的平均值*( , )()( , )xxxPPpx tix t dxx动量算符xpix *( , )( , )xxxPxPpx t px t dx推广到三维空间推广到三维空间 力学量 的表象表示：引入狄拉克符号：右矢，ket左矢，bra微观体系的一个量子态 用 表示， 的集合构成右矢空间；微观体系的一个量子态 也可用 表示， 的集合构成左矢空间但在同一表象中 和 的分量互为共轭复数。Onaaa21,*2*1naaa 力学量 O的狄拉克符号表示： 狄拉克符号给人们提供了极大的方便,以它表述的理论结构简洁清晰,且具有很大的灵活性。p 深入的表象理论和狄拉克符号的各种运算方法内容较多，大家若有兴趣还请课后学习。参考文献参考文献1许业军. 量子力学表象新应用及构造