第六章 冲激响应不变法

1、第六章学习目标第六章学习目标理解数字滤波器的基本概念了解最小相位延时系统理解全通系统的特点及应用掌握冲激响应不变法掌握双线性变换法掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法本章作业练习本章作业练习 P319: 13第六章第六章 IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法数字滤波器：是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能优点：*一、数字滤波器的

2、基本概念 1、数字滤波器的分类 经典滤波器：现代滤波器：选频滤波器维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器等按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器按实现的网络结构或单位抽样响应分：01( )1MkkkNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh n zFIR滤波器（N-1阶）IIR滤波器（N阶）2、数字滤波器的设计过程用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法3、数字滤波器的技术要求选频滤波器的频率响应：()()()jjj

3、jH eH ee 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后 各频率成分的衰减情况()jH e 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器 后在时间上的延时情况()j：通带截止频率c：阻带截止频率st：通带容限1：阻带容限2st2()jH e阻带：cst过渡带：c11()1jH e通带：理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带最大衰减：1011()20lg20lg()20lg(1)()ccjjjH eH eH e 阻带最小衰减：2022()20lg20lg()20lg()ststjjjH eH eH e 其中：0()1jH e当 时，()2/20.707cjH e称 为3dB通带截止频率13dBc4、表

4、征滤波器频率响应的特征参量幅度平方响应2*()()()jjjH eH eHe1()()( )()jjjz eH eH eH z H z 的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的1( )()H z H zRe zIm jz01aa*a*1/aH(z)的极点：单位圆内的极点相位响应()()()Re()Im()jjjjejjH eH eeH ejH e*()()()jjjjeHeH ee*1()()ln2()jjjH eejHe11( )ln2()jz eH zjH z()jH e2()*()()jjjejH eeHeIm()()arctanRe()jjjH eeH e相位响应：()()jjdee

5、d ( )1Re( )jz edH zzdzH z 群延迟响应相位对角频率的导数的负值()je若滤波器通带内 = 常数，则为线性相位滤波器5、IIR数字滤波器的设计方法先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器01( )1MkkkNkkkb zH za z用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：, kkab即为求滤波器的各系数：计算机辅助设计法 s平面逼近：模拟滤波器z平面逼近：数字滤波器二、最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统LSI系统的系统函数：1()11111(1)()( )(1)()MMmmN MmmNNkkkkc zzcH zKKzd zzd()arg()11()()()

6、()jMjmjj N MjjH emNjkkecH eKeH eeed频率响应：模：11()MjjmmNjkkecH eKed各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积11()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMK相角：02 ,2当2位于单位圆内的零/极矢量角度变化为位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0Re zIm jz011()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMKiommMioppN令：单位圆内零点数为mi单位圆外的零点数为mo单位圆内的极点数为pi单位圆外的极点数为po2()arg2 ()22jiiH eNMmpK则：11()argargarg

7、 ()jMNjjmkmkH eecedNMK全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N因果稳定系统2()arg222 ()jiiH empNMK22imM1）全部零点在单位圆内：,0iomM marg02）全部零点在单位圆外：0,iommMarg2 M 20om 为最小相位延时系统为最大相位延时系统, 1 zr rn 0时，h(n) = 0最小相位延时系统的性质1）在 相同的系统中，具有最小的相位滞后()jH e2）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近， 而总能量相同5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统 转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统4）在 相同的系统中， 唯一(

8、)jH emin( )hn3）最小相位序列的 最大：min(0)hmin(0)(0)hh22min00( )( )mmnnh nhn1mN1122min00( )( )NNnnh nhn三、全通系统对所有 ，满足：()1japHe称该系统为全通系统一阶全通系统：11( )1apzaHzaaz为实数01aza极点：1/za零点：零极点以单位圆为镜像对称za极点：1*1( )1apzaHzaaz为复数01a*1/za零点：实系数二阶全通系统1*111( )11*apzazaHzazaz1a 两个零点（极点）共轭对称*zaa ，极点：*1/zaa，1/零点：零点与极点以单位圆为镜像对称 N 阶数字全

9、通滤波器1*11( )1NkkkzaH za z 1(1)111(1)11.1.NNNNNNNNddzd zzd zdzd z 1()( )NzD zD z 极点： 的根( )D z 1jpzrer零点： 的根1()D z1 1jozerr全通系统的应用min( )( )( )apH zHzHz1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联11*100( )( )()()H zH z zzzz令：其中：H1(z)为最小相位延时系统， 为单位圆外的一对共轭零点*0001/ 1zzz ，1/ ，*1111*00100*110011( )( )11z

10、 zz zH zH zzzzzz zz z11*1100100*1100( ) 1111zzzzH zz zz zz zz zmin( )( )apHzHz把H(z)单位圆外的零点： 映射到单位圆内的镜像位置：构成Hmin(z)的零点。*0001/, 1/ , 1zzzz*00, zzz而幅度响应不变：minmin()()()()jjjjapH eHeHeHe2）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内单位圆外极点：1 1jzerr，1111( )11jjapjjzrezreHzrezre z( )( )( )dapH zHzHz0( )(

11、 )( )( )dapdd 3）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，而不改变系统的幅度特性()()()jjjdapH eHeHe()()()()dapjjjdapHeHee22200( )( )( )apde 利用均方误差最小准则求均衡器Hap(z)的有关参数四、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计思想： s 平面 z 平面模拟系统 数字系统( )( )aHsH zH(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| 1设计方

12、法：- 冲激响应不变法- 阶跃响应不变法- 双线性变换法*五、冲激响应不变法( )( )at nTh nh t数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应( )h n( )ah t12akHsjkTT1、变换原理( )( )sTaz eH zHsT抽样周期( )H z( )aHs12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHs2、混迭失真12()jakkH eHjTT仅当()02sahjT 1()jaH eHjTT数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为 2 /T,sfTTT T ccTT 2s

13、sfTT混迭 实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小/2s 当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象c3、模拟滤波器的数字化方法1( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aaaHsh th nTh nH z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT1( )kNns TkkA eu n( )( )nnH zh n z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez 系数相同：kA1( )NkakkAH

14、sss11 ( )1kNks TkAH zez极点：s 平面 z 平面kssks Tze稳定性不变：s 平面 z 平面Re0ks1ks Te1()jaH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正( )()ah nTh nT令：2()jakkH eHjT则：aHjT2211( )4313aHsssss试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkT

15、AH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz设T = 1s，则1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj 4、优缺点优点：缺点：T 保持线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器 频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器 h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好( )ah t*七、双线性变换法1、变换原理使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法、阶跃响应不变法：

16、时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真:, 1:,T T 12Ttg 1s Tze11sin2cos2TT1111s Ts Tee1111zsz 11szs12Ttg 1111222222TTjjTTjjeejee11112222TTjjTTjjeesjee 11112222s Ts Ts Ts Teeee1111zz1s Tzesj 11sj 12s Te为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数 c12Tc tg 1111zsczcszcs2、变换常数c的选择12Tc tg 2cT2）某一特定频率严格相对应：cc 122cccTc tgc tg 2cccctg 1

17、1）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置1 12Tc3、逼近情况2222()()czc01z1111112jjzesccjc tgjze 1）s平面虚轴z平面单位圆cscjzcscj 2）01z01z左半平面单位圆内s平面z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上4、优缺点优点：2c tg 00 避免了频率响应的混迭现象s 平面与 z 平面为单值变换00 缺点： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性11/T 1112 tgc2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变1）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变预畸变给定数字滤波器的截止频率 ，则1112c tg 按 设计模拟滤波