二三阶行列式12n阶行列式内PPT教案

1、会计学1二三阶行列式二三阶行列式12n阶行列式内阶行列式内一次方程称为一次方程称为线性方程线性方程， 研究线性方程及系列相关问题的代数就称做研究线性方程及系列相关问题的代数就称做线性线性代数代数。 由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。会科学中。由于它的简便，线性代数具有特殊的地位。尤其是由于它的简便，线性代数具有特殊的地位。尤其是它特别适用于电子计算机的计算，所以它在它特别适用于电子计算机的计算，所以它在数值分数值分析析与与运筹学运筹学中占有

2、重要地位。中占有重要地位。 （接高等代数目录）（接高等代数目录）第1页/共52页 线性代数出现于十七世纪线性代数出现于十七世纪,主要理论成熟于主要理论成熟于十九世纪十九世纪. 随着科学技术的发展，特别是电子计算机随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入应用到自然科学、社线性代数的应用已经深入应用到自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域会科学、工程技术、经济、管理等各个领域 。第2页/共52页第一章第一章 行列式行列式(6(6个学时个学时) )第一节第一节 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列

3、式第五节 克莱姆法则第三节 行列式的性质第二节 n阶行列式第四节 行列式按行(列)展开第3页/共52页用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a 1112222221221,aaaxxbaa :212a 21 12221221212,a xaaxbaa，得，得两式相减消去两式相减消去2x（一）二阶行列式（一）二阶行列式112212210a aa a当时，方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 第4页/共52页时，时，当当0

4、21122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由以下方程组的系数确定由以下方程组的系数确定. .,22221211212111bxaxabxaxa 1 211122122aaaa我们用记我们用记号号来表示代数和来表示代数和11221221a aa a1112112212212122.aaa aa aaa即：即：第5页/共52页 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112baba

5、D ,22211211aaaaD 则二元线性方程组的解用则二元线性方程组的解用行列式行列式来表示，为：来表示，为：1122221111122122,babaDxaaDaa1112122211122122ababDxaaDaa若记：第6页/共52页11122122aaaa主对角线副对角线2211aa .2112aa 464 16 52651D 例例1.（一一）二阶行列式二阶行列式以上的行列式的计算方法常称为：以上的行列式的计算方法常称为：行标行标列标第7页/共52页111213212223313233933(4)aaaaaaaaa设有 个数排成 行 列的数表1122331223311321321

6、12332122133132231,(5)a a aa a aa a aa a aa a aa a a333231232221131211aaaaaaaaa（5）式称为数表（4）所确定的.列标列标行行标标第8页/共52页333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!第9页/共52页333231232221131211aaaaaaa

7、aa332211aaa 112332a a a322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 111213212223313233aaaaaaaaa把第一，二两列抄在行列式右边把第一，二两列抄在行列式右边+ + +- - -说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!第10页/共52页三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行、不同列的三个元素的乘积每一项都是位于不同行、不同列的三个元素的乘积. . 其中三项为正其中三项为正, ,三项为负三项为负. .三阶行列式的特点三阶行列式的特点:1

8、12233122331132132112332122133132231,a a aa a aa a aa a aa a aa a a333231232221131211aaaaaaaaa注意：行列式，项，元素三者两两之间的关系。第11页/共52页2-43-122-4-21D 计计算算三三阶阶行行列列式式 D1 2 ( 2) ( 4) 2 ( 3) 24843264 .14 2 1( 3) ( 4) ( 2) 4 4 1 1 ( 2) ( 2) 2 第12页/共52页例3解：1010411aa1aa 10100411aa的充分必要条件是什么？04a 210a 1a 当且仅当1 04 1 1 0

9、1 0a 1 1 1 21a 第13页/共52页第一章第一章 行列式行列式第一节第一节 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式第五节 克莱姆法则第三节 行列式的性质第二节 n阶行列式第四节 行列式按行(列)展开第14页/共52页第二节第二节 n阶行列式阶行列式由由n个不同的数码个不同的数码1,2,1,2,n组成的有序数组组成的有序数组12ni ii, ,称为一个称为一个n级排列级排列。例：例：3421534215是是5 5级排列，级排列，1194、45672374165是是7级排列，级排列，不是四级排列。不是四级排列。第15页/共52页例如例如 排列排列32514 中，中， 我们规定各元素之间有一个

10、标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定不同的自然数，规定由小到大由小到大为为标准次序标准次序.排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序-此排列中所有逆序的总数排列的逆序排列的逆序数数排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中某元素的逆序数排列中某元素的逆序数- 在一个排列 中，若数 (前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序.1 2stniiiii stii逆序逆序-第16页/共52页-此排列中所有逆序的总数排列的逆序排列的逆序数数排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中此元素前面比它大的数码个数之和排列中某元素的逆序数

11、排列中某元素的逆序数-(2)求每个元素的逆序数之总和求排列的逆序数的方法例1 求排列42315的逆序数解(42315) 0 1 1 3 0 5N 4 2 3 1 501031于是排列42315的逆序数(记为N(42315)为(1)求排列中每个元素的逆序数求排列中每个元素的逆序数 在一个排列 中，若数 (前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序.1 2stniiiii stii逆序逆序-第17页/共52页例例3 3 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性4 2 5 1 3020故

12、此排列的逆序数(记为N(32514)为:31N(32514)=3+1+0+1+2=6.解解:此为偶排列。此为偶排列。第18页/共52页 321212 nnn解12 1,2nn4nk当时，42,nk当时1 nN 2 n 32121 nnn1 n 2 n11(1)()2nnnaandnSaa等 差 数 列 求 和 公 式4412kkN(4 +2) 4 +2+12kkN 41nk当时，2 (41)kk 此时均为偶排列此时均为偶排列1)2kk(4此时均为奇排列此时均为奇排列.43nk当时，(2 +1) 4 +3kk3) 21kk(4,(1)2nnn1,2,的求和公式1) 41 12kkN (43) 4

13、3 1=2kkN (4偶偶偶偶奇奇奇奇第19页/共52页换,称为此n级排列的一个对换.对调,其它数码不变,仅将它的两个数码tsii 与得到另一个排列nstiiii1这样的变在一个排列ntsiiii1中,如果(1,4)345126例如:315426第20页/共52页（1）相邻对换：设原排列为：A,B表示除证明：AijBji,两个数码以外的其他数码，( , )i jAijBA Bi j ()()1NABNjAijBi)(ji ()()1NABNjAijBi)(ji 正序正序反序反序反序反序正序正序故新旧排列的奇偶性相反。任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。第

14、21页/共52页但是，一般对换通常可以多次的相邻对换得到12sBiA k kk j（2）一般对换：设原排列为：( , )1212i jssA k kkBA k kk Bjiij 1( ,)12i ksA k kkBji 2( ,)1 2i ksAikkk jB ( , )12i jsAk kkBj i （此步经过了s+1次相邻对换） 再作相邻变换：(, )12skjsAk kkBi j （这一步经过了s次相邻对换） 1(, )121skjssAk kkk ijB 1(, )121kjssAkk jikk B 12-1ssjAk kkk Bi121ssA k kkik Bj12sBiAk kk

15、j( ,)si k 12sA kBikk j12sAk kkBji第22页/共52页即新排列 可由原排列 12sBiA k kk j12sBjA k kk i经过2s+1次的相邻对换得到。 由（1）知经一次相邻对换排列奇偶性改变，故经过2s+1次相邻对换，新排列与原排列的奇偶性相反。第23页/共52页例例:对于对于3级排列级排列,因级排列的总数共有3 2 13!6 所有的所有的3级排列如下级排列如下:123231312321213132N(123)=0偶偶排列排列N(231)=2偶偶排列排列N(312)=1+1=2 偶偶排列排列N(321)=2+1=3 奇奇排列排列N(213)=1奇奇排列排列

16、N(132)=1奇奇排列排列(1,3)123 (1,2)123 (2,3)321 奇偶排列经过一次对换所得的排列是原来的所有奇偶排列经过一次对换所得的排列是原来的所有排列中的一个排列中的一个,并没有产生新的并没有产生新的(即是覆盖不是插入即是覆盖不是插入)321213231第24页/共52页设其中奇排列为p个，偶排列为q个。因级排列的总数共有!12) 1(nnnpq设想将所有的奇排列都施以同一种对换，则设想将所有的奇排列都施以同一种对换，则p个奇排列个奇排列全部变成偶排列，全部变成偶排列，qp同理将所有的偶排列都施以同一种对换，则同理将所有的偶排列都施以同一种对换，则q个偶排列个偶排列全部变成

17、奇排列，全部变成奇排列，故有：故有：qp n级排列共有级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。个，其中奇偶排列各占一半。证明：证明：得到得到p个偶排列个偶排列(在原来在原来q个偶排列中个偶排列中)得到得到q个奇排列个奇排列(在原来在原来p个奇排列中个奇排列中)第25页/共52页( (二二) ) n 阶行列式的定义阶行列式的定义观察二阶行列式和三阶行列式观察二阶行列式和三阶行列式:.aaaaaaaa2112221122211211三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaa

18、aaaaa 二阶行列式一、概念的引入一、概念的引入第26页/共52页乘积乘积的的代数和代数和, 两个元素的乘积可表示为两个元素的乘积可表示为:21jj得到二阶行列式的所有项得到二阶行列式的所有项(不包括符号不包括符号),共为共为2!=2项项.(1)二阶行列式表示所有位于不同行不同列的二个元素2121jjaa为为2级排列级排列,当当21jj取遍了取遍了2级排列级排列(12,21)时时,即即(2)每一项的符号每一项的符号是是:当这一项中元素的行标按自然当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后数顺序排列后,则此项取正号则此项取正号,.) 1(212121)(22211211 jjjjNaaaaaa11

19、22a a+1221a a-1221111212122122.aaa aa aaa1212j j偶排列2 121j j奇排列如果对应的列标构成的排列是偶排列如果对应的列标构成的排列是偶排列是奇排列则此项取负号是奇排列则此项取负号.即即:第27页/共52页乘积的乘积的代数和代数和,三个元素的乘积可表示为三个元素的乘积可表示为:321jjj132)时时,得到三阶行列式的所有得到三阶行列式的所有项项(不包括符号不包括符号),(1)三阶行列式表示所有位于不同行不同列的三个元素321321jjjaaa为为3级排列级排列,当当取遍了取遍了3级排列级排列(123,231, 312, 321,213,(2)每

20、一项的符号每一项的符号是是:当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后当这一项中元素的行标按自然数顺序排列后,如果如果对应的列标构成的排列对应的列标构成的排列是是偶偶排列则此项取正号排列则此项取正号,奇奇排列则取负号排列则取负号.321jjj共为共为3!=6项项.111213212223313233aaaDaaaaaa11 22331223 311321 32a a aa a aa a a13223111 23 321221 33a a aa a aa a a例例322113aaa, 211312N322311aaa, 101132N+-.) 1(321321321)(33323123222113

21、1211jjjjjjNaaaaaaaaaaaa第28页/共52页2111212122212( ,1,2, )ijnnnnnnna i jnaaaaaaaaa用个元素组成的记号定义定义称为称为n阶行列式阶行列式第29页/共52页乘积的代数和乘积的代数和,n个元素的乘积可表示为个元素的乘积可表示为:njjj21时时,即得到即得到n阶行列式的所有项阶行列式的所有项(不包括符号不包括符号),共为共为n!项项.(1)n阶行列式表示所有位于不同行不同列的n个元素nnjjjaaa2121为为n级排列级排列,当当取遍了取遍了n级排列级排列(2)每一项的符号每一项的符号是是:当这一项中元素的行标按自然当这一项中

22、元素的行标按自然数顺序排列后数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶如果对应的列标构成的排列是偶排列则此项取正号排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号是奇排列则此项取负号.即即:njjj211 2121112121222()1212( 1).nnnnN j jjjjn jnnnnaaaaaaa aaaaa行列式常简记为行列式常简记为:ija第30页/共52页说明说明1、行列式是一种特定的算式.2、 n 阶行列式是 n!项的代数和;3、 n阶行列式的阶行列式的每项每项都是位于不同行、不都是位于不同行、不同列同列n个元素个元素的乘积，的乘积，每行每列必有且只有一每行每列必有且只有一个元素在此项中

23、。个元素在此项中。4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;aa 5、 的符号为的符号为nnjjjaaa2121)(211)(njjjN注意：行列式，项，元素三者两两之间的关系。第31页/共52页上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211下三角行列式nnnnaaaaaa21222111000对角行列式nnaaa0000002211第32页/共52页例1 计算先看对角及下三角行列式先看对角及下三角行列式所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaa解解11220000,00nnaaDa (12)(1)=Nn而1，D1122.nna aa其不为零的项必具有其不为零的项必具有n

24、个不为零的元素。个不为零的元素。这这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个第一行只可能取第一行只可能取11a第二行只可能取第二行只可能取22a第第n行只可能取行只可能取nna(1)0,1,2,iiain(2)0,1kkakn没有没有n个不为零的元素，个不为零的元素，D=0,00022211211nnnnaaaaaa.00021222111nnnnaaaaaa同理，上三角行列式的答案相同。同理，上三角行列式的答案相同。第33页/共52页分析分析所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaa解解(12)(1)=Nn而1D1122.n

25、na aa其不为零的项必具有其不为零的项必具有n个不为零的元素。个不为零的元素。这这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个第一列只可能取第一列只可能取11a第二列只可能取第二列只可能取22a第第n列只可能取列只可能取nna例2 计算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211(1)0,1,2,iiain(2)0,1kkakn没有没有n个不为零的元素，个不为零的元素，D=0第34页/共52页例2 计算上三角行列式分析分析展开式中项的一般形式是.2121nnjjjaaa, njn, 11njn, 1, 2, 3123jjnjn所以不

26、为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaa解解不为零的项中必有：不为零的项中必有：nnnnaaaaaa00022211211nnnnaaaaaa00022211211nnnNaaa2211121.2211nnaaa 第35页/共52页例例3?8000650012404321 D8000650012404321D.1608541 44332211aaaa解解:第36页/共52页可以计算出 上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211下三角行列式.2211nnaaa nnnnaaaaaa21222111000和对角行列式一样.nnaaa0000002211都是主对角线上元素之积都

27、是主对角线上元素之积.第37页/共52页例例4 4计算行列式计算行列式0004003002001000分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43214321jjjjaaaa41j若, 011ja从而这个项为零，从而这个项为零，所以行列式不为零的项中所以行列式不为零的项中 只能等于只能等于4 , 1j同理可得同理可得1, 243jj解：解：32j若,021ja从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于3 , 2j即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314第38页/共52页例例4 4计算行列式计算行列式0001002003004000D分析

28、分析解：解：所以不为零的项只有所以不为零的项只有其不为零的项必具有其不为零的项必具有n个不为零的元素。个不为零的元素。这这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个第一行只可能取第一行只可能取141a第二行只可能取第二行只可能取232a第四行只可能取第四行只可能取414a14233241a a a a14 23 32 41a a a a.24 D3 2 1( 1)1 2 3 4 第三行只可能取第三行只可能取323a43211N第39页/共52页n 2111,212111nnnnnNaaa1212.1n nn 证明证明:11,21nnnaaa

29、证毕证毕n 21 .12121nnn 例4 证明行列式第40页/共52页定理定理1.3:的一般项可以记为阶行列式ijaDn.2121级排列都是与其中njjjii innnnjnjjjjjNaaa212121)() 1(:ijnDa定义是阶行列式的一般项为证证:.sst ti ji jaa对于(),当交换与时:行标排列:列标排列相应的相应的,行列标排列的逆序数奇偶性同时发生变化行列标排列的逆序数奇偶性同时发生变化ntsiiii1nstiiii1ntsjjjj1nstjjjj1因此因此()项的符号不改变项的符号不改变. 设经过了有限次交换设经过了有限次交换()元元素的位置元元素的位置,niiin1

30、2:21行标排列相应的列标排列为nnkkkjjj2121()变为变为:nnknkkkkkNnNaaa212121)()12() 1(1212()12: ( 1)nnNk kkkkn kaaa即1 21 21 12 2()()( 1)nnnnN i iiNj jji ji jijaaa()第41页/共52页例如例如:四阶行列式中四阶行列式中:42312314aaaa23 144231a a a a 即即:两项是一致的两项是一致的,可使用在行标没排序的情况下可使用在行标没排序的情况下行标自然数序行标自然数序行标乱序行标乱序23144231a a a a定理定理1.3:的一般项可以记为阶行列式ija

31、DnnnjnjjjjjNaaa212121)() 1(:ijnDa定义是阶行列式的一般项为1 21 21 12 2()()( 1)nnnnN i iiNj jji ji jijaaa()(2143)(3421)( 1)NN)4312() 1(N42312314aaaa=2+2+1=5=(1+0+1)+(3+2+0)=7由由n阶行列式定义：阶行列式定义：由定理由定理1.3的符号确定42312314aaaa第42页/共52页定理定理1.3:的一般项可以记为阶行列式ijaDnnnjnjjjjjNaaa212121)() 1(:ijnDa定义是阶行列式的一般项为证证:n,当它的 个元素中任意两个被对于

32、()交换时，相应的相应的,行列标排列的逆序数奇偶性同时发生变化。行列标排列的逆序数奇偶性同时发生变化。因此因此()项在其元素任意变换次序时符号不改变项在其元素任意变换次序时符号不改变.设经过了有限次交换，设经过了有限次交换，()元素的位置的变化为：元素的位置的变化为：niiin12:21行标排列相应的列标排列为nnkkkjjj2121()变为变为:nnknkkkkkNnNaaa212121)()12() 1(1212()12: ( 1)nnNk kkkkn kaaa即1 21 21 122()()( 1)nnnnN i iiNj jji ji jijaaa()带动着行标排列与列标排列同时进行一

33、次对换。带动着行标排列与列标排列同时进行一次对换。1212()12( 1)nnNj jjjjn jaaa(改变一下符号）改变一下符号）第43页/共52页4213425)1452()432()1(kjijNkiNaaaaa若书书P10例例3:是五阶行是五阶行列式列式ija的一项的一项,则则kji,应为何值应为何值?此时该项的符号此时该项的符号是多少是多少?解解:由行列式的定义由行列式的定义,每一项的元素都来自于不同行每一项的元素都来自于不同行不同列不同列,故有故有j=3, i,k一个为一个为1,另一个为另一个为5.(1)当当j=3,i=5 ,k=1时时该项的符号为正该项的符号为正(2)当当j=3

34、,i=1 ,k=5时时该项的符号为负该项的符号为负.(54321)(52314)NN(14325)(52314)NN10616369第44页/共52页书书P11例例3:用行列式定义计算行列式用行列式定义计算行列式1100001001011010D解解:考虑此行列式的非零项考虑此行列式的非零项.在每项中的元素在每项中的元素一定是来自不同行不同列的一定是来自不同行不同列的,同项中不能出同项中不能出现两个以上的同行同列元素现两个以上的同行同列元素.(4123)14213243( 1)NDa a a a 1第45页/共52页书书P11例例3:用行列式定义计算行列式用行列式定义计算行列式11000010010