311空间向量及其加减运算课件实用教案

1、复习回顾：平面(pngmin)向量1.定义(dngy)：既有大小(dxio)又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD第1页/共45页第一页，共46页。已知F1=2000N,F2=2000N,F1F2F3F3=2000N,这三个力两两之间的夹角(ji jio)都为600,它们的合力(hl)的大小为多少N?这需要进一步来认识(rn shi)空间中的向量平面中存在向量,空间中是否也有向量?第2页/共45页第二页，共46页。3向量加法(jif)的平行四边形法则ab向量(xingling)

2、加法的三角形法则ba向量减法(jinf)的三角形法则aba ba ba b2、空间向量的加法和减法运算法则回顾：平面向量的加、减法运算法则：第3页/共45页第三页，共46页。44思考1：在平面中，一个(y )向量经过平移后和原向量相等，在 空间向量中呢？ 思考2：空间任意两个(lin )向量都可以平移成过空间任意一点的 两个(lin )向量吗？aObab结论：空间任意两个向量的运算都可转化(zhunhu)为共面向量的运算.思考3：空间两个向量的加减运算能否转化为平面内两个向 量的运算？空间向量的加减运算和平面有什么联系？第4页/共45页第四页，共46页。5空间向量的加减(ji jin)运算 平

3、行四边形法则(fz) 三角形法则(fz)ababababba ba ba 第5页/共45页第五页，共46页。66推广(tugung):（1）首尾相接的若干(rugn)向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即12233411nnnA AA AA AAAA A （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则这些向量的和为零向量，即12233410nA AA AA AA A A1AnA2A1AnA2第6页/共45页第六页，共46页。773、空间向量(xingling)的加法运算律回顾：平面向量的加法(jif)运算律加法(jif)交换律：加法结合律：空间向量中还成立吗？思考：空间任意

4、两个向量可都转化为共面向量，那么空间任意三个向量也都能转化为共面向量吗？第7页/共45页第七页，共46页。88 3、空间(kngjin)向量的加法运算律加法(jif)交换律：空间向量中显然(xinrn)成立加法结合律：abcab+ab+c+()abcbc+ab+c+()第8页/共45页第八页，共46页。9 1 0 2 AB 3 0 4 CA 第9页/共45页第九页，共46页。10 5 BA 6 CB 7 0第10页/共45页第十页，共46页。ABCDA B C D例2 已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAAD

5、ABAAAC CCAC AC 例题第11页/共45页第十一页，共46页。12ABCDABCD第12页/共45页第十二页，共46页。变式2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足(mnz)下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBAB111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (第13页/共45页第十三页，共46页。变式2 ：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足(mnz)下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD11

6、1()ADADD B 1ADAB 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1x111 )3(ACxADABAC第14页/共45页第十四页，共46页。3.1.2 空间(kngjin)向量的数乘运算第15页/共45页第十五页，共46页。16aa aa 与与平平面面向向量量一一样样，实实数数 与与空空间间向向量量 的的积积仍仍然然是是一一个个向向量量，记记作作，它它的的长长度度和和方方向向规规定定如如下下：00aaaa 当当时时， 的的方方向向与与 的的方方向向相相同同；当当时时， 的的方方向向与与 的的方方向向相相反反；. 0 00 aa 时，时，或或当当特别地，特别地， (1) (2) 以上运算

7、称为空间(kngjin)向量的数乘运算.一、空间向量的数乘运算(yn sun)定义： 第16页/共45页第十六页，共46页。（4）空间共线向量(xingling)定理：对空间(kngjin)任意两个向量),0(,bba )0(/bba有且只有(zhyu)一个实数 ，使ba思考：这个定理有什么作用？1、判定两个向量是否共线2、判定三点是否共线第17页/共45页第十七页，共46页。3.1.3 3.1.3 空间空间(kngjin)(kngjin)向量的向量的数量积数量积第18页/共45页第十八页，共46页。19 已知两个非零向量(xingling)a与b，它们的夹角为，我们把数量|a| |b|cos

8、叫做a与b的数量积（或内积），记作ab. ab=|a| |b| cos规定:零向量(xingling)与任一向量(xingling)的数量积为0。 回顾：平面向量数量(shling)积定义： 类似地，空间向量是否也有相应的数量积运算呢？第19页/共45页第十九页，共46页。1.两个空间向量的夹角(ji jio)的定义:ABa a b b 起点相同第20页/共45页第二十页，共46页。2.两个(lin )空间向量的数量积定义注:两个向量(xingling)的数量积是数量，而不是向量(xingling). 规定:零向量(xingling)与任意向量(xingling)的数量积等于零.第21页/共4

9、5页第二十一页，共46页。3.两个(lin )空间向量数量积的性质注：性质 是证明(zhngmng)两向量垂直的依据；性质 实现了向量与向量模之间的转换；2a第22页/共45页第二十二页，共46页。 P O A l例2.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线(xi xin)的射影垂直，那么它也和这条斜线(xi xin)垂直（三垂线定理）已知已知: :如图如图, ,POPA、分别是平面分别是平面 的垂线、 斜线，的垂线、 斜线，AO是是PA在平面在平面 内的射影，内的射影，l ，且，且lOA ， 求证：求证：lPA 第23页/共45页第二十三页，共46页。24已知已知: :如图如图, ,P

10、OPA、分别是平面分别是平面 的垂线、 斜线，的垂线、 斜线，AO是是PA在平面在平面 内的射影，内的射影，l ，且，且lOA ， 求证：求证：lPA P O A la 例2.在平面内的一条直线(zhxin)，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）,取取直直线线 的的方方向向证证明明向向量量同同时时取取向向量量：laPO OA0,OAaOAlPOllPO,且0POa0OAaPOaOAPOaPAa又因为PAl 所以，第24页/共45页第二十四页，共46页。25ABCD12第25页/共45页第二十五页，共46页。3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标(zubio)

11、表示 第26页/共45页第二十六页，共46页。都叫做基向量, ,a b c 叫做空间的一个基底,abc第27页/共45页第二十七页，共46页。xyzkijQPO如果i,j,k是空间三个两两垂直(chuzh)的向量，对空间任一个向量p，存在一个有序实数组使得p=xi+yj+zk.我们称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。第28页/共45页第二十八页，共46页。c a b p 单位正交基底：如果空间的一个(y )基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用 表示 正交基底：空间的一个(y )基底的三个基向量互相垂直。 , , i j k 二、空间(kngjin

12、)直角坐标系第29页/共45页第二十九页，共46页。二、空间(kngjin)直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底 ,以点O为原点，分别 以 的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.kji, kji, 第30页/共45页第三十页，共46页。NoImage三、空间向量的正交分解(fnji)及其坐标表示xyzOijkP记作 =(x,y,z)p由空间向量基本定理，对于空间任一向量 存在唯一的有序实数组(x,y, z)使 pkzj yi xpPP第31页/共45页第三十一页，共46页。 1已知a，b，c是不共面的三个向量(xingling)，则能构成一个

13、基底的一组向量(xingling)是() A.2a，ab，a2bB2b，ba，b2a C .a,2b，bc Dc，ac，ac第32页/共45页第三十二页，共46页。CDBCBADA的的坐坐标标。，试试写写出出图图中中各各点点所所示示的的空空间间直直角角坐坐标标系系的的中中点点，建建立立如如图图和和分分别别是是、的的立立方方体体是是棱棱长长为为已已知知DCBBFE2DCBAABCD EFxyz练习(linx) 2第33页/共45页第三十三页，共46页。BANCOMQP例2、如图，M，N分别(fnbi)是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量 表示 和 。,OA OB

14、OC OP OQ 12:23121()232111633OPOMMPOAMNOAONOAOAOBOC 解解112311111()()23236111366O QO MM QO AM NO AO NO AO AO BO CO AO BO C 第34页/共45页第三十四页，共46页。3.1.5空间向量(xingling)运算的坐标表示第35页/共45页第三十五页，共46页。123123(,),( ,)aa a abb b b设则;ab;ab;a; a b/;ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112

15、233,()abab ab abR1 1223300 a ba ba ba b一、向量的直角坐标(zh jio zu bio)运算第36页/共45页第三十六页，共46页。2222123| aa aaaa2222123| bb bbbb1.距离(jl)公式（1）向量的长度(chngd)（模）公式注意：此公式的几何意义是表示(biosh)长方体的对角线的长度。二、距离与夹角第37页/共45页第三十七页，共46页。cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2.两个(lin )向量夹角公式注意：（1）当 时，同向；（2）当 时，反向；（3）

16、当 时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当 及 时，夹角在什么范围内？1cos,0 a b,10cos a b第38页/共45页第三十八页，共46页。| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121|()()()ABdABxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、，则111(,)A xyz222(,)B xyz（3）空间两点间的距离(jl)公式第39页/共45页第三十九页，共46页。4.设则 ， AB的中点(zhn din)M的坐标为 第40页/共45页第四十页，共46页。例1.设 (

17、1,5，1)， (2,3,5)(1)若( )( 3 )，求 ；(2)若( )( 3 )，求 .abakbabkkababk第41页/共45页第四十一页，共46页。第42页/共45页第四十二页，共46页。练习1: 已知 垂直于正方形 所在的平面, 分别(fnbi)是 的中点,并且 ,求证:PAABCD,M N,AB PCPA ADMNPDC平面证明(zhngmng): 分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则 , ,i j k AxyzADBPCMNxyz,1PAADABPAAC ADABDAi ABj APk PA 且平面可设(0,0,0), (0,1,0),( 1,1,0),( 1,0,0)

18、,ABCD(0,0,1)P11 1 1(0,0),(, )22 2 2MN 11(,0,)22MN ( 1,0, 1)PD (0,1,0)DC 11(,0,) ( 1,0, 1)022MN PDMNPD 11(,0,) (0,1,0)022MN DCMNDC PDDCDMNPDC又平面第43页/共45页第四十三页，共46页。yzxO解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例2如图, 在正方体中，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBEDFBEDF 第44页/共45页第四十四页，共46页。2011-12-645谢谢大家(dji)观