19光的衍射实用教案

1、光在传播过程(guchng)中遇到小障碍物 （时， 很小：LafAB sina2 2n P)321k(、 )akarcsin( aksintg 第12页/共84页第十二页，共85页。讨论(toln)明条纹中心(zhngxn)位置：当n = 2k+1 时，得到奇数个半波(bn b)带。 P点处为暗条纹中心。2nsinaL )321k(、 LafAA1A2B sina2 P3n a2)1k2(arcsin (3) 其他明条纹（次极大）第13页/共84页第十三页，共85页。讨论(toln)明条纹(tio wn)中心位置： tgfxp )321k(、 a2)1k2(sintg a2)1k2(arcsi

2、n LafAA1A2B sina2 P3n 当 a 时， 很小：第14页/共84页第十四页，共85页。(4) 条纹(tio wn)宽度 中央明条纹(tio wn)宽度(1 级暗纹中心的距离）：当 1 0 时：称为(chn wi)半角宽度讨论2nsinaL Lf1P0 x 其中：第15页/共84页第十五页，共85页。 其他(qt)明条纹宽度（相邻暗纹中心的距离）：当 0 时：讨论(toln)可见，中央明条纹(tio wn)的宽度约为其他明条纹(tio wn)宽度的两倍。Lf1P1x 2nsinaL (4) 条纹宽度第16页/共84页第十六页，共85页。例题例题(lt(lt)19-119-1：(1

3、) 平行白光垂直照射单缝，得红光（=650nm）的第一极小衍射角1 =30，求缝宽 a =？；(2) 若波长(bchng)为 的光的第一极大衍射角= 30，求 =？解： (1) nm1300sina1 (2) )1k(5 . 12)1k2(sina 得：nm3 .4335 . 1sina %5 . 4,nm1241aa11误差为：误差为：若用若用 %8 . 4,nm4545 . 1aa5 . 1误差为：误差为：若用若用 第17页/共84页第十七页，共85页。例题例题(lt) (lt) 19-219-2：设 a = 5，f = 40 cm ，求中央(zhngyng)明纹和1 级明纹在屏上的宽度。

4、解：1、2级暗纹衍射角1、2满足(mnz)：a sin1= ，a sin2=2得：rad201. 051arcsin1 rad411. 052arcsin2 1、2 级暗纹在屏上位置：cm16. 8tgfx11 cm44.17tgfx22 中央明纹宽度：1级明纹宽度：cm32.16x2x10 cm28. 9xxx121 若取 1 = a = 0.2、2 = 2a = 0.4，则x1f 1=8cm、x2 f 2=16cm。此时 x0 = 2x1 = 16 cm、x1 = x2 - x1 = 8 cm。（误差较大）第18页/共84页第十八页，共85页。例题例题(lt)：= 500nm 的平行光垂直

5、入射于 a = 1 mm 的单缝。缝后透镜(tujng)焦距 f = 1 m。求在透镜(tujng)焦平面上中央明纹到下列各点的距离： (1) 第1 极小；(2) 第1次极大；(3) 第3 极小。解：(1) 对第1 极小(j xio)，有： fxasina11mm5 . 0afx1 (2) 第1 次极大位置：mm75. 0af23x1 (3) 第3 极小位置在：mm5 . 1af3x3 第19页/共84页第十九页，共85页。a 则 x，a 则 x。当 a 时，全部明纹靠向中央明纹，无法(wf)分辨。所以说： 几何(j h)光学是波动光学当 a 0 时的极限情况。注 1afxk af2x0 几何

6、光学与波动(bdng)光学的界限第20页/共84页第二十页，共85页。菲涅耳半波带法是一个(y )近似的理论。 无法计算(j sun)各次极大的相对光强； 无法解释次极大位置(wi zhi)稍向主极大方向靠拢的事实。1.00.0470.0170.008-1-2-4-31234-1.43-2.46-3.473.472.461.430次极大主极大0I)(I sina注 2讨论单缝夫琅和费衍射更精确的方法是振幅矢量法。第21页/共84页第二十一页，共85页。2、振幅、振幅(zhnf)矢量法（矢量叠加法）：矢量法（矢量叠加法）：将单缝处波面分为(fn wi)大量（N 很大）等宽波带。相邻(xin ln

7、)波带间相位差：A、B间相位差：屏幕上 P 点处光的合振动为N 个同频率、同振幅、相位依次相差 的振动的合成。aABNaL Nsina2L2 sina2N 各波带到达屏上同一点时振幅Ai 近似相等（均取A）。第22页/共84页第二十二页，共85页。 NRAN aABNaL 根据矢量(shling)的多边形叠加法则，各波带在屏幕上P点引起的光振动的振幅矢量(shling)形成一圆弧，该圆弧的弧长为：uusinAN2N2NsinAN2NsinR2A 所有(suyu)波带在屏幕上P点引起的合振幅为： sina2Nu 式中：A2A1RANA N N第23页/共84页第二十三页，共85页。主极大（中央(

8、zhngyng)明纹中心）0u,0,0 所所以以因因为为A1A2 ANA0讨论(toln)当出射光衍射角为零时，所有波带发出的光在屏幕(pngm)上P0点引起的振动都是同相位的，P0 点光强最大。1uusin LafABP0第24页/共84页第二十四页，共85页。时时即即当当0usin,k2N,ku ksina 由由A1ANA2A=0讨论(toln)0AI,0A2 ksina 得得极 小（暗纹中心(zhngxn)）LafAB ksina P第25页/共84页第二十五页，共85页。屏上任意(rny)点振幅：光强：uusinAA0 20)uusin(II 令：2)uusin(dud得：当光强 I

9、取极大值。uutg A1ANA2A次极大（其他(qt)明纹中心）讨论(toln)LafAB 46. 2sina P时，0uusinucosuuusin22 第26页/共84页第二十六页，共85页。uo2-2y = tgutguu-1.43-2.462.461.431.00.0470.0170.008-1-2-4-31234-1.43-2.46-3.473.472.461.430次极大主极大0I)(I sina sinau 由图解法：,47. 3,46. 2,43. 1u 或：,47. 3,46. 2,43. 1sina 0201I0472. 0)uusin(II 43. 1u 取,则一级次极大

10、光强：与实验(shyn)结果相符!第27页/共84页第二十七页，共85页。例题例题(lt(lt)：波长= 546.1nm 的单色平行(pngxng)光垂直照射 a = 0.4mm 的单缝。缝后 f = 120cm 处屏幕上形成衍射图样。求屏上离中央明纹 4.1mm 处的相对光强。解：单缝衍射光强公式(gngsh)： sinau)uusin(II20 其中其中fxsin 86. 7fxau 相对光强：%62. 1)uusin(II20 在二级次极大附近。 %)7 . 1II(02 第28页/共84页第二十八页，共85页。19.3 多缝的夫琅和费衍射(ynsh)第29页/共84页第二十九页，共85

11、页。abdLP0P双缝干涉(gnsh)光屏上条纹亮度很小。a：透光缝宽度(kund)d = a + b : 相邻(xin ln)两缝的间距解决办法：多缝干涉以平行、等宽、等距的多缝代替双缝。b：档光部分宽度第30页/共84页第三十页，共85页。LP0PxA第31页/共84页第三十一页，共85页。LP0PxA第32页/共84页第三十二页，共85页。LP0PxA第33页/共84页第三十三页，共85页。LP0PxA第34页/共84页第三十四页，共85页。LP0PxA第35页/共84页第三十五页，共85页。LP0PxA第36页/共84页第三十六页，共85页。LP0PxA第37页/共84页第三十七页，共

12、85页。LP0P第38页/共84页第三十八页，共85页。LP0P第39页/共84页第三十九页，共85页。LP0P第40页/共84页第四十页，共85页。LP0P第41页/共84页第四十一页，共85页。LP0P第42页/共84页第四十二页，共85页。LP0PI2N 4N 6N 第43页/共84页第四十三页，共85页。 多缝夫琅和费衍射的光强分布为各单缝衍射和多缝干涉(gnsh)的总效果。LP0PI012-1-2 sina单缝衍射0234561-1-2-3-4-5-6多缝衍射第44页/共84页第四十四页，共85页。1、光强分布、光强分布(fnb)：( N = 6 )abdLP0P对每一条(y tio

13、)单缝,当衍射角为 时： uusinAA0 sinaa0 20)sin(II 20)uusin(II sina sinau 第45页/共84页第四十五页，共85页。衍射角为 时，相邻(xin ln)狭缝 出射的平行光之间的光程差为：由振幅(zhnf)矢量法：2NsinOC2A,2sinOC2a sind2 OABaaC N多缝间的干涉情况也可以(ky)用振幅矢量法讨论。相位差为：L第46页/共84页第四十六页，共85页。 sind2 令，则：其中(qzhng)：单缝衍射因子(ynz)多缝干涉(gnsh)因子)sinNsin()sin(asinNsinaA0 OABaaC N sinaa,2Ns

14、inOC2A,2sinOC2a0 第47页/共84页第四十七页，共85页。2、多缝干涉因子的影响、多缝干涉因子的影响(yngxing)：（多缝干涉使条纹细而明亮）（多缝干涉使条纹细而明亮）(1) 主极大（明条纹(tio wn)中心）： ksind k22 当即时：0sin,0Nsin NsinNsin 所以所以此时(c sh)缝间干涉因子最大。220)sinNsin()sin(II A当 = 0，2，4， 时 a a a a a a ksind 或22N)sinNsin( 或或第48页/共84页第四十八页，共85页。所以满足(mnz)下式：（与双缝干涉公式相同!）的位置(wi zhi)为多缝干

15、涉的主极大，且光强为每条单缝在该处光强的 N2 倍！如：),2 , 1 ,0k( I4I 双缝双缝 I36I6 缝缝A当 = 0，2，4， 时 a a a a a a第49页/共84页第四十九页，共85页。(2) 极小（暗条纹(tio wn)中心）：则缝间干涉(gnsh)因子：0)sinNsin(2 即出现(chxin)极小。因： Nn 处为相邻两个主极大之间的 N-1 个极小。0sink2k 当：0Nsinn2NnN 但：220)sinNsin()sin(II 1N2,2N, 1Nn 所以：第50页/共84页第五十页，共85页。aA = 6 a 、aA = 060aA = 0120aA =

16、018036I0N2000036I0N261220023 6 002432 3 0051035 65 004834 32 00362 2)sinNsin( 2 N N02INI aA = 0240aA = 0300 sind2 N第51页/共84页第五十一页，共85页。(3) 次极大：在N-1个极小(j xio)之间还有N-2个次极大，但光强很小。当相邻缝间距d 一定时，多缝干涉和双缝干涉明纹间隔(jin g)都是一样的（与N 无关）。随着缝数的增加，明条纹变得越细、越亮，而明条纹之间是大片暗区。由上讨论(toln)可知：Innn012 34 5 6001212 3 42N 4N 6N 第52

17、页/共84页第五十二页，共85页。3、单缝衍射因子(ynz)的影响、缺级：当=k （k= 1, 2, 3, ) 时，单缝衍射因子(ynz)：0)sin(2 即各单缝衍射暗纹满足(mnz)：而多缝干涉明纹满足：I01234560 012123456-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-6-1-2单缝衍射多缝干涉多缝衍射220)sinNsin()sin(II 由多缝衍射的光强公式可见：屏幕上总的光强分布为多缝干涉和各单缝衍射光强的乘积。第53页/共84页第五十三页，共85页。 ksina ksind 则多缝干涉的 k 级极大处正好是单缝衍射的 k级极小(j xio)处，所以级数为 m 整倍

18、数的干涉明条纹将不出现，这种情况称为缺级现象。当相邻(xin ln)两缝的间距为每条单缝宽度的整倍数时，即：m kkabaad （整数(zhngsh)）第54页/共84页第五十四页，共85页。例题例题(lt)：双缝中，挡光部分宽度与透光缝等宽，即b=a。则单缝衍射(ynsh)的中央主极大内含有几条干涉明纹？若b=0，即两缝合成宽2a的单缝，求证：多缝衍射(ynsh)光强公式简化为单缝衍射(ynsh)光强公式。解：所以(suy)单缝衍射中央明纹内有3条干涉明纹：0、1级明纹。缺级缺级，即即422abaad 因为： sinasindabd多缝干涉因子：222)cos2()sin2sin()sinN

19、sin( 20220220)22sin(I4)cos2()sin(I)sinNsin()sin(II 其中： sin)a2(2 第55页/共84页第五十五页，共85页。19.4 衍 射 光 栅（多缝衍射(ynsh)的应用）第56页/共84页第五十六页，共85页。ad透射式光栅ad反射式光栅大量平行、等宽、等距狭缝排列起来形成的光学元件(yunjin)称为光栅。实用(shyng)光栅每毫米内有几十至上千条刻痕。一块100100 mm2的光栅可有 60000 至 120000 条刻痕。光栅主要(zhyo)用于光谱分析，测量光的波长、光的强度分布等。第57页/共84页第五十七页，共85页。1、光栅、

20、光栅(gungshn)方程：方程：d = a + b称为光栅(gungshn)方程。式中d 为透光缝的宽度a 和挡光部分的宽度b之和，称为光栅(gungshn)常数：光栅衍射即为上节所讨论的多缝衍射。所以光栅衍射明条纹的衍射角满足：),2, 1,0k( 第58页/共84页第五十八页，共85页。HeNe激光器发出波长(bchng)=632.8nm的红光，垂直入射于每厘米有6000条刻线的光栅上。求各级明纹衍射角。解：光栅(gungshn)常数nm1667cm60001d 令得：2 63. 2dkmax 即只能(zh nn)看到1、 2 级条纹。一级明纹衍射角：31.22darcsin1 二级明纹

21、衍射角：39.49d2arcsin2 例19-5：第59页/共84页第五十九页，共85页。2、光栅、光栅(gungshn)光谱：光谱： 当入射光为单色光时，由于光栅每单位长度上有大量的狭缝，所以光栅衍射明条纹(tio wn)非常细，而明条纹(tio wn)间是大片的暗区。利用光栅可以非常精确地测量单色光的波长。 当入射光为复色光时，由于明条纹衍射角与入射光波长有关。所以除零级条纹外，其余各级( j)条纹都随波长不同而散开，形成 光栅衍射光谱。第60页/共84页第六十页，共85页。一每厘米(l m)有 4000 条刻线的光栅，以白光垂直入射。试描述其衍射光谱。(紫端紫端)V(红端红端)R R中央

22、明纹中央明纹001级光谱级光谱9.217.72级光谱级光谱18.737.43级光谱级光谱28.765.84级光谱级光谱39.8 90 900102030405060708090-90-80-70-60-50-40-30-20-10k = 0k = 1k = -1k = 2k = -2k = 3k = -3k = 4k = -4解：光栅(gungshn)常数nm2500cm40001d dkarcsin 例19-7 ： （改）第61页/共84页第六十一页，共85页。3、光栅、光栅(gungshn)的分辨本领：的分辨本领： 波长(bchng)很接近的两条光谱线（1、2）能否被分辨，还取决于谱线宽度

23、。12 瑞利分辨判据：当一条谱线的k级主极大与另一谱线同级主极大的相邻(xin ln)极小重合时，两条谱线恰能分辨。可以证明：光栅的分辨本领 21212 可见： k大，则R大（光谱线分得更开）； N大，则R大（条纹更细）。第62页/共84页第六十二页，共85页。例例19-8：宽为2.54cm 的光栅(gungshn)有10000 条刻线。当钠黄光垂直入射时，其1= 589.00 nm 和2= 589.59 nm 钠双线的1 级主极大对应的角距离为多大？解一：光栅(gungshn)常数： sind由:得:rad234259. 0darcsinrad234020. 0darcsin2211 所以(

24、suy)：nm2540nm101054. 2d47 rad1039. 2412 第63页/共84页第六十三页，共85页。例例19-8：宽为2.54cm 的光栅有10000 条刻线。当钠黄光垂直入射时，其1= 589.00 nm 和2= 589.59 nm 钠双线的1 级主极大对应(duyng)的角距离为多大？解二：对光栅方程 d sin = k 两边(lingbin)取微分，得：22)dk(1)(sin1cos 而即222kdk 以 k = 1、 = 589.30nm 和 = 0.59nm 代入上式，得：很小 cosdk dkdcosd rad1044. 2014. 04 第64页/共84页第

25、六十四页，共85页。习题习题(xt) (xt) 19-1319-13：每厘米刻有4000条线的光栅(gungshn)（d=2500nm)，计算在第 2 级光谱中氢原子的 (= 656nm )和(= 410nm )两条谱线间的角距离。（设光垂直入射）解： 2sind2sind求得 rad334. 0d2arcsinrad552. 0d2arcsin 所以2级光谱(gungp)中，、谱线的角距离为：rad218. 0 第65页/共84页第六十五页，共85页。习题(xt) 19-18：波长为600nm的单色光垂直入射于光栅。第2、3级明纹分别出现(chxin)在sin2=0.20 和 sin3=0.

26、30 处，第4 级缺级。求光栅上相邻两缝的间距是多少？光栅上狭缝的宽度为多少？在9090范围内实际呈现的全部光谱级数。解：m0 . 6sin2d2sind22 m5 . 14da 而实际(shj)呈现的光谱线数为（共15条） ：10dk,1sinmax 时时当当9,7,6,5,3,2, 1,0 由惠更斯菲涅耳原理，k=10 时=90。此方向上无衍射光； 题中 sin2=0.20和sin3=0.30两个条件只需一个即可。注：第66页/共84页第六十六页，共85页。习题习题(xt) 19-25：若钠双线（1=589.00nm 和2=589.59nm）第3级两衍射明纹在衍射角为=10方向上刚好能被某

27、光栅分辨，求：光栅常数(chngsh)；此光栅总宽度。解： 3sind m1002. 1sin3d5 由 R和NkR 3333N 得：得：所以光栅总宽度为：mm4 . 3NdL 第67页/共84页第六十七页，共85页。19.5 圆孔的夫琅和费衍射(ynsh)第68页/共84页第六十八页，共85页。由于光的波动性，平行光经过小圆孔后的夫琅和费衍射图样为一个(y )圆亮斑（爱里斑），周围有一组明暗相间的同心圆环。爱里斑光强占总光强的84% 。而1级暗环角宽度（爱里斑半角宽度）满足(mnz)：（R、D为小圆孔的半径和直径）圆孔夫琅和费衍射(ynsh)对光学系统的成像质量有直接影响。L圆孔1.0-0.

28、610-1.116-1.6191.6191.1160.61000II sinR1、圆孔的夫琅和费衍射：第69页/共84页第六十九页，共85页。2、光学仪器的分辨本领（分辨率）：、光学仪器的分辨本领（分辨率）：当两个物点S1、S2很靠近时，两个爱里斑互相重叠(chngdi)而无法分辨。 瑞利分辨判据(pn j)： （设：S1、S2光强相等）恰能分辨(fnbin)时的 称为最小分辨(fnbin)角 )D22. 1arcsin(1 1 0时： 能分辨恰能分辨不能分辨1 1 1 A1A2S1S2f 第70页/共84页第七十页，共85页。最小分辨(fnbin)角的倒数称为光学系统的分辨(fnbin)本领

29、（分辨(fnbin)率）R 增大(zn d)透镜的直径可提高镜头的分辨率； 设r、d为爱里斑的半径(bnjng)和直径，则： 近代物理指出：电子也有波动性。高能电子的波长达10-2 10-3nm 。所以电子显微镜的分辨率远高于光学显微镜。即：f2dfrD22. 1 Df44. 2d 称为镜头的相对孔径（越大越好）。fD如镜头上标：。表示：表示：mm25D,mm50f502:1 讨论第71页/共84页第七十一页，共85页。例例19-11：通常亮度(lingd)下人眼瞳孔直径约为3mm，问人眼的最小分辨角是多少？远处两细丝之间的距离为2.0 mm ，问离开多远时恰能分辨？（取= 550 nm）。

30、人眼(rn yn)最小分辨角：rad1024. 2D22. 1)D22. 1arcsin(4 解： 设两细丝间距(jin j)为s ，细丝与人的距离为l ，则恰能分辨时：ls m9 . 8sl 第72页/共84页第七十二页，共85页。习题(xt) 19-29：遥远天空(tinkng)中两颗星恰好被阿列亨（Orion）天文台的一架折射望远镜所分辨。设物镜直径为 2.5430cm，波长=550nm。求最小分辨角；若这两颗星距地球 10 光年，求两星之间的距离。 最小分辨(fnbin)角：rad1081. 8D22. 1)D22. 1arcsin(7 解：最小分辨角与两颗星到地球的距离 d 和两星之

31、间的距离 s 之间的关系为：ds km1033. 8m1033. 8ds710 第73页/共84页第七十三页，共85页。19.6 x 射线(shxin)的衍射第74页/共84页第七十四页，共85页。x 射线（伦琴射线）：波长 0.4 10的电磁波，由高能电子撞击金属(jnsh)而产生。轫致辐射：能量较小的电子被靶阻挡(zdng)产生加速度而辐射连续光谱。 x光管连续光谱特征光谱246810WMoCr0.50.90.7波长（）强度37.21 5 .2 特征辐射：大能量电子使靶原子的内层电子被激发而辐射的不连续的、只有几条特殊(tsh)谱线的线状光谱。连续光谱的性质和靶材料无关，而特征光谱和靶材料有关。x 射线的产生：第75页/共84页第七十五页，共85页。普通光栅(gungshn)无法观察到 x 射线的衍射。如： = 0.1 nm，d = 3000nm，则：002. 0rad1033. 3d41 原子规则排列的晶体（如立方系的NaCl晶体），原子间距1。可用作天然光栅观察 x 射线(shxin)的衍射，其衍射图样称为劳厄斑。x射线(波长连续)劳厄斑晶体x射线入射于晶体时，每一原子均可视为次波源(byun)而发生散射。而同层或不同层原子的