正余弦定理综合应用1.

1、温故知新温故知新 两角和与差的正弦两角和与差的正弦sin()sincoscossinsin()sincoscossin两角和与差的正切两角和与差的正切sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(两角和与差的余弦两角和与差的余弦tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(1、二倍角的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式22cos2cossinsin22sincos22cos121 2sin 2、二倍角的正切公式、二倍角的正切公式22tantan21tan二倍角公式二倍角公式1sincossin2221 cos2sin221 cos2cos2降幂公

2、式降幂公式1、正弦定理：、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中：（其中：R为为ABC的外接圆半径）的外接圆半径）3、正弦定理的变形：、正弦定理的变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sincbaCBA:sin:sin:sin2、三角形面积公式：、三角形面积公式：2111sinsinsin2sinsinsin222ABCSbcAcaBabCRABC abc=2sinAsinBsinCR 正正弦弦定定理理：a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAb b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accos

3、B-2accosBc c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC222222222b +c -acosA=2bca +c -bcosB=2aca +b -ccosC=2ab余弦定理余弦定理解三角形中常用关系式解三角形中常用关系式 A+B+C=sin A+B =sinC, cos A+B =-cosC D DC CB BA A圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补A+ C= B+ D= 5 5、在、在ABCABC中，中，cosAcosBsinAsinB,cosAcosBsinAsinB,则则ABCABC为为（ ） A A、等边三角形、等边三角形 B B、直角三角形、直

4、角三角形 C C、钝角三角形、钝角三角形 D D、等腰三角形或直角三角形、等腰三角形或直角三角形C（事实上，（事实上，C为钝角，只有为钝角，只有C项适合）项适合）6 6、在、在ABCABC中，中，sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinBsinC+sinB+sinBsinC+sin2 2C,C,则则A A等于等于（ ） A A、3030o o B B、6060o o C C、120120o o D D、150150o oC1、在、在 中，若中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6,且且a+b+c=15，则，则a= ，b= ，c= 。 ABC2、在、在 中，中， ，则，则a：

5、b：c= 。ABC3:2:1:CBA4562:3:1角化为边角化为边 在三角形中在三角形中,已知已知(a+b)(a- b)=c(b+c),求角求角A.例例1：解：条件整理变形得解：条件整理变形得C CA AB Ba ac cb b212222bcacb即21cosAA=1200 0bcacb222的形状。断：根据所给的条件，判变式ABC2AbBacoscos1 ）（BbAacoscos2 ）（解：解：）（ 1AbBacoscos )2()2(222222bcacbbacbcaa 222222acbbca 2222ba ba 为等腰三角形。为等腰三角形。ABC 得得法法二二：由由AbBacosc

6、os ABRBARcossin2cossin2 0cossincossin ABBA0sin ）（即即BABA BbAacoscos2 ）（解：解：）（ 2BbAacoscos )2()2(222222acbcabbcacba 0422422 bcbaca0)(22222 bacba022222 bacba或或角形。角形。为等腰三角形或直角三为等腰三角形或直角三ABC 222bacba 或或得得法法二二：由由BbAacoscos BBRAARcossin2cossin2 BA2sin2sin BABA2222 或或2 BABA或或即即ABCABCa=4,b=5,S=5 3,c 例例3、3、在在

7、中中，已已知知求求 的的值值。1S=absinC, a=4,b=5,S=5 32解解：2S3sinC=C=60120ab2或或222C=60c =a +b -2abcosC=16+25-20=21 时时c= 21222C=120c =a +b -2abcosC=16+25+20=61 时时c= 61AbBacoscos1 ）（BbAacoscos2 ）（解：解：）（ 1AbBacoscos )2()2(222222bcacbbacbcaa 222222acbbca 2222ba ba 为等腰三角形。为等腰三角形。ABC 得得法法二二：由由AbBacoscos ABRBARcossin2coss

8、in2 0cossincossin ABBA0sin ）（即即BABA 例例5.判断满足条件的三角形的形状判断满足条件的三角形的形状BbAacoscos2 ）（解：解：）（ 2BbAacoscos )2()2(222222acbcabbcacba 0422422 bcbaca0)(22222 bacba022222 bacba或或角形。角形。为等腰三角形或直角三为等腰三角形或直角三ABC 222bacba 或或得得法法二二：由由BbAacoscos BBRAARcossin2cossin2 BA2sin2sin BABA2222 或或2 BABA或或即即13,4,bacABC(2)(2)若若求

9、求的的面面积积13,4,bacABC(2)(2)若若求求的的面面积积2222cosbacacB 解解, ,得得60 .B 解解:例例4. 锐角锐角ABC中中, b=7,外接圆半径外接圆半径7 3,3R 10 3,ABCS 求求 a, c 的长的长(ac).7sin27 323bBR 3,2 1sin6010 3,2ABCSac 40.ac 2()22cos60acacac 21()2 402 4049,2ac 13.ac 8,5.ac （舍舍去去）5,8ac 考点四考点四有关三角形的有关三角形的面积问题面积问题例 1在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 bc2acos(

10、60C)，求角 A解由正弦定理得 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，bc2acos(60C)2RsinB2RsinC22RsinAcos(60C)sinBsinCsinAcosC 3sinAsinC.又B(AC)，sinBsinCsin(AC)sinCsinAcosCcosAsinCsinC.cosAsinCsinC 3sinAsinC.sinC0， 3sinAcosA1，即)6Asin( 12.在ABC 中，A23.例 2(2010全国)已知ABC 的内角 A、B 及其对边 a，b 满足 abacotAbcotB，求内角 C.例 4.(2010浙江)在ABC中，角A、B、C所对

11、的边分别为a、b、c，设S为ABC的面积，满足S34(a2b2c2)(1)求角C的大小；(2)求 sinAsinB的最大值解(1)由余弦定理得a2b2c2=2abcos,由题意得12absinC342abcosC，tanC 3.又C为ABC的内角，C3.例 4.(2010浙江)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设S为ABC的面积，满足S34(a2b2c2)(1)求角C的大小；(2)求 sinAsinB的最大值解(2)C3，sinAsinBsinAsin A-32sinA32cosA12sinA 3sin 6A 3.当A3时，sinAsinB的最大值为 3.例 3 已知锐角ABC

12、 中， bsinBasinA(bc)sinC，其中 a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边(1)求角 A 的大小；(2)求3cosCsinB的取值范围解(1)由正弦定理得 b2a2(bc)c.即 b2c2a2bc.cosAb2c2a22bcbc2bc12.又A 为三角形内角，A3.例 3 已知锐角ABC 中， bsinBasinA(bc)sinC，其中 a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边(1)求角 A 的大小；(2)求3cosCsinB的取值范围解(2)BC23，C23B. ABC 为锐角三角形，0B2，023B2.6B0,2cos 0,2cos B B=1,=1,B B=60=6

13、0. . 7 (12 (12分分) )在在ABCABC中，中，a a，b b，c c分别是分别是A A，B B， C C的对边，且满足（的对边，且满足（2 2a a- -c c）cos cos B B= =b bcos cos C C. . (1) (1)求角求角B B的大小；的大小； (2) (2)若若b b= ,= ,a a+ +c c=4,=4,求求ABCABC的面积的面积. .解解（2 2）在）在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得b b2 2= =a a2 2+ +c c2 2-2-2acaccos cos B B=(=(a a+ +c c) )2 2-2-2acac-2-2

14、acaccos cos B B, , 将将b b= ,= ,a a+ +c c=4=4代入整理，得代入整理，得acac=3. =3. 7.43360sin23sin21BacSABC故7已知已知 中，满足中，满足，试判断，试判断 的形状。的形状。ABC)sin()()sin()(2222BAbaBAbaABC解：解：)sin()()sin()(2222BAbaBAba可化为：可化为：)sin()sin()sin()sin(22BABAbBABAa整理得：整理得：BAbBAacossinsincos22由正弦定理得：由正弦定理得：BRbARasin2,sin2则则BABRBAARcossin)sin2(sincos)sin2(22可化为：可化为：BA2sin2sin又又), 0(2 ,2BA，所以或，所以或2