第二章系统的数学模型1

1、第二章 系统的数学模型v列写线性系统微分方程的问题以及列写时应注意之点；v线性系统的传递函数的定义与概念；v介绍典型线性环节的传递函数及其特性v介绍传递函数的方框图与简化方法；v物理系统在数学形式上的相似原理。2.0引言v一、线性系统 当系统的数学模型能用线性微分方程描述时，该系统称为线性系统。如果微分方程的系数为常数，称该系统为线性定常系统；如果随时间变化，为时变系统线性系统可以运用叠加原理，当有几个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。线性系统的微分方程二、非线性控制系统系统中只要有一个元部件的输入-输出特性是非线性的，这类系统就称

2、为非线性控制系统其微分方程的系数与变量有关，或者方程中含有变量及其导数的高次幂或乘积项r(t)(t)y(t)yy(t)(t)y2 三、建立控制系统数学模型的方法v分析法对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。分析法就是根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型v实验法人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。实验法基于系统辨识的建模方法黑黑匣匣子子输输入入（已已知知）输输出出（已已知知）v已知知识和辨识目的v实验设计-选择实验条件v模型阶次-适合于应用的适当的阶次v参数估计-最小二乘法v模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选

3、定意义上的接近四、数学模型的几种表示方式数学模型时域模型频域模型方框图和信号流图状态空间模型2.1系统的微分方程v微分方程是在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型。利用它可得到描述系统（或元件）动态特性的其他形式的数学模型。v列写系统（或元件）的微分方程目的确定系统的输出量与给定输入量或扰动输入量之间的函数关系。一、列写微分方程的一般方法v(1)确定系统或各元件的输入量、输出量。系统的给定输入量或扰动输入量都是系统的输入量，而被控制量则是输出量。对于一个环节或元件而言，应按系统信号传递情况来确定输入量、输出量。v(2)按照信号的传递顺序，从系统的输入端开始，根据各变量所遵循的运动规律，列

4、写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程。列写时按工作条件，忽略一些次要因素，并考虑相邻元件间是否存在负载效应。对非线性项应进行线性化处理。v(3)消除所列各微分方程的中间变量，得到描述系统的输入量、输出量之间关系的微分方程。v(4)整理所得微分方程一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。例例1 1如图如图RLC电路系统，求系统的数学模型。电路系统，求系统的数学模型。uiiLRuoC解：输入量为解：输入量为ui(t)，输出量为，输出量为uo(t)，假设初始状，假设初始状态系统储能为态系统储能为0。应用克希霍夫定律，有。应用克希霍夫定律，有i

5、dtCuidtCdtdiLRiuoi11消去中间变量消去中间变量i(t)，得，得)()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo所得为二阶常系数线性微分方程。所得为二阶常系数线性微分方程。例例2 2. 如图所示，物体质量为如图所示，物体质量为m ，弹簧弹性系，弹簧弹性系数数k，阻尼器粘滞阻尼系数为，阻尼器粘滞阻尼系数为c。f(t)为输入，为输入，位移位移y(t)为输出。求系统的数学模型。为输出。求系统的数学模型。 mkcf(t)y(t)解：根据牛顿第二定理，可以得到运动方程解：根据牛顿第二定理，可以得到运动方程)()()()(tkytyctftym 整理后得整理后得： )()(

6、)()(tftkytyctym 所得为二阶常系数线性微分方程。所得为二阶常系数线性微分方程。v例3图2.1.1所示为两个形式相同的RC电路串联而成的滤波网络。试写出以输出电压U2和输入电压U1为变量的滤波网络的微分方程。v 在该系统中，第二级电路(R2C2 )将对第一级电路v(R1C1)产生负载效应。即后一元件的存在，影响前一元v件的输出。 1111cUiRU dtiiCUc)(121112221ccUiRUdtiCUc222122cUU解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写 方程如下：dtdUCdtdUCic22222dtdUCdtdUCidtdUCicc22112111 2221

7、1cUiRRU222222111)(UdtdUCRdtdUCdtdUCRc由、得由导出将i1、i2代入、，则得22222222211)(UdtdUCRdtdUCUiRdtdCR22222212112222211UdtdUCRdtdUCRdtdUCRdtUdCRCR1222221112222121)(UUdtdUCRCRCRdtUdCCRRRC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。二、微分方程的增量化表示v变量与平衡态比较。v表示某一平衡态附近的增量微分方程，可以假设初始条件为零。三、非线性方程的线性化v具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性

8、特性用一断直线来代替。（分段定常系统）v 一个变量的非线性函数 y=f(x)在x0处连续可导，则可将它在该点附近用台劳级数展开 2 )0)(0(! 21)0)(0()0()(xxxfxxxfxfxfy增量较小时略去其高次幂项，则有 令 y=kx k比例系数，函数在x0点切线的斜率v两个变量的非线性函数y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附近用台劳级数展开为 0 xxx)0)(0()0()(0 xxxfxfxfyy )201(2)20,10()20)(10(21)20,10(2)101(1)20,10(! 21)202(2)20,10()101(1)20,10()20,10()2, 1(222222xxxxxfxxxxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxfxxfy0yyy略去二级以上导数项，并令yy-f(x10,x20) 这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。 20221011xxxxxx2211222010112010),(),(xKxKxxxxfxxxxfy小偏差线性化时要注意事项v(1）必须明确系统的工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。v(2)如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，除工作点外的其他工况