降落伞数学模型

1、1降落伞问题降落伞问题跳伞中的安全性至关重跳伞中的安全性至关重要，研究飞行和着陆的数要，研究飞行和着陆的数学模型对此大有帮助。学模型对此大有帮助。本节将对跳伞中的一些本节将对跳伞中的一些问题进行描述、分析并建问题进行描述、分析并建模。这些模型采用简化数模。这些模型采用简化数据仅用于说明问题。据仅用于说明问题。2研究性课题研究性课题 假设跳伞员体重是假设跳伞员体重是 103 kg，飞机飞行高度为，飞机飞行高度为 4000 m（z轴方向），飞行速度为轴方向），飞行速度为 115 m/s（y轴轴方向），跳伞员从飞机一侧离开飞机，初始速度方向），跳伞员从飞机一侧离开飞机，初始速度为为 0.555 m/

2、s（x轴方向）。轴方向）。问题：研究跳伞员着陆时是否会对身体造成伤害？问题：研究跳伞员着陆时是否会对身体造成伤害？p 对骨骼的冲击是否会导致骨折？对骨骼的冲击是否会导致骨折？p 速度急剧下降产生的头部剪应变是否会导致脑震荡？速度急剧下降产生的头部剪应变是否会导致脑震荡？3背景背景xyoz跳伞示意图跳伞示意图4问题分析问题分析跳伞员从离开飞机到拉开伞绳之前，共有跳伞员从离开飞机到拉开伞绳之前，共有11.5秒秒是自由落体运动，这段时间空气阻力可忽略不计。是自由落体运动，这段时间空气阻力可忽略不计。打开降落伞的同时，跳伞员还受到打开降落伞的同时，跳伞员还受到x轴正向上大轴正向上大小为小为1.2m/s

3、的横向风（顺风跳伞）的影响。的横向风（顺风跳伞）的影响。此后，由于必须考虑空气阻力，下降变成了沿各此后，由于必须考虑空气阻力，下降变成了沿各个轴加速度非恒定的三维抛射运动。个轴加速度非恒定的三维抛射运动。 5模型假设模型假设 不考虑复杂着陆地形，如非平坦地面或树林或不适当的着不考虑复杂着陆地形，如非平坦地面或树林或不适当的着陆方式。陆方式。 跳伞员不会弯曲或扭曲着陆，这样骨头与韧带的断裂力矩跳伞员不会弯曲或扭曲着陆，这样骨头与韧带的断裂力矩无需考虑。无需考虑。 跳伞员离开飞机是直接跳下，没有旋转。跳伞员离开飞机是直接跳下，没有旋转。 尽管身体减速所需的力量对韧带和肌腱造成较大的拉伸应尽管身体减

4、速所需的力量对韧带和肌腱造成较大的拉伸应力，不过相对骨头损伤而言，这种影响小很多，因此我们力，不过相对骨头损伤而言，这种影响小很多，因此我们忽略这些影响，只考虑骨头损伤。忽略这些影响，只考虑骨头损伤。 冲击力经过韧带和肌肉传到骨头时没有衰减。冲击力经过韧带和肌肉传到骨头时没有衰减。 假设降落伞瞬间打开，引力立刻起效，没有过渡。假设降落伞瞬间打开，引力立刻起效，没有过渡。 数据是准确的（尽管实际上只是近似值）。数据是准确的（尽管实际上只是近似值）。6降落时间和路径：自由落体阶段降落时间和路径：自由落体阶段v打开降落伞时的高度打开降落伞时的高度Z轴轴vX轴向位置（加速度为轴向位置（加速度为0）20

5、0( )0.5zzz tzv ta t200( )0.5xxx txv ta t7降落时间和路径：自由落体阶段降落时间和路径：自由落体阶段v打开降落伞时的高度打开降落伞时的高度Z轴轴vX轴向位置（加速度为轴向位置（加速度为0）(11.5*0.555)vY轴向位置（加速度为轴向位置（加速度为0）(11.5*115)200( )0.5zzz tzv ta t200( )0.5xxx txv ta t200( )0.5yyy tyv ta t位置：位置：X=6.3825X=6.3825Y=1322.5Y=1322.5Z=3352.0Z=3352.08降落时间和路径：自由落体阶段降落时间和路径：自由落

6、体阶段此时的速度此时的速度X, Y轴速度不变轴速度不变Z轴速度为轴速度为9降落时间和路径：自由落体阶段降落时间和路径：自由落体阶段此时的速度此时的速度X, Y轴速度不变轴速度不变Z轴速度为轴速度为0zzzvva t(,)(0.555,115, 112.7)xyzv v v10阶段二：降落伞打开到速度恒定阶段阶段二：降落伞打开到速度恒定阶段运动状态复杂，只能简化处理运动状态复杂，只能简化处理假定降落伞瞬时打开假定降落伞瞬时打开跳伞员在一定时间内速度减速为恒定速度（最终跳伞员在一定时间内速度减速为恒定速度（最终速度）速度）实验基础上假定这个时间段为实验基础上假定这个时间段为 3 秒秒(测定测定)在

7、此期间下降在此期间下降 54 米米(测定测定)11阶段三：打开降落伞后阶段三：打开降落伞后v受力情况受力情况垂直方向空气阻力垂直方向空气阻力 D = dv2 （d = 20）Y轴方向空气阻力轴方向空气阻力 F = -bv （b = 10）X轴方向横向风影响轴方向横向风影响 w = 1.2m/s，产生的力大小，产生的力大小为为()Gb wv12阶段三：打开降落伞后阶段三：打开降落伞后v最终速度：最终速度：此时加速度为此时加速度为0垂直方向空气阻力垂直方向空气阻力 D = dv2 = mg （d = 20）故故 v2 = mg/d，v = 7.1042 m/s即跳伞员以此速度下降即跳伞员以此速度下

8、降 3352 54 = 3298 m，所需，所需时间为时间为 464.2 s总时间为总时间为 11.5 + 3 + 464.2 = 478.7 s13确定着陆坐标确定着陆坐标v牛顿第二定律牛顿第二定律 F = mavX轴轴()Fb wvbwbvmamxbxbw103 10 12xx14确定着陆坐标确定着陆坐标v牛顿第二定律牛顿第二定律 F = mavY轴轴Fbv ybvma0myby103 10 0yy15方程求解方程求解103 10 12xx103 10 0yy( 10/103)( )2507 1184.5ty te( 10/103)( )0.261 6.64351.2tx tet 将将 t

9、 = 467.2 代入可得代入可得 x = 560.4, y = 2507, z = 0 16着陆速度着陆速度( 10/103)( )2507 1184.5ty te( 10/103)( )0.261 6.64351.2tx tet ( 10/103)( 10/103)( )( 1184.5)( 10/103)115ttyv tee ( 10/103)( )(6.6435)( 10/103)1.2txv te( 10/103)467.2(467.2)0.6451.21.20 xve ( 10/103)467.2(467.2)1150yve(467.2)7.1042zv 17着陆速度着陆速度v碰

10、撞时速度的大小为碰撞时速度的大小为 v动量（动量（p = mv）改变量为）改变量为v冲击力（时间冲击力（时间200毫秒）毫秒）2227.2048xyzspeedvvv 0742.0944742.0944finalinitialppp /(742.0944)/ (0.2)3710.472Fpt 18结论结论骨头骨头极限抗拉强度极限抗拉强度平均横截面积平均横截面积最大承受力最大承受力股骨股骨1.21 1085.81 10(- 4) 70301胫骨胫骨1.41 1083.23 10(- 4) 45220脊髓脊髓(背部背部) 2.20 1084.42 10(- 4) 97240脊髓脊髓(颈部颈部) 1.80 1084.42 10(- 4) 79560剪应力对头部产生的伤害，用人体受冲击的剧烈程剪应力对头部产生的伤害，用人体受冲击的剧烈程度指数来度量（小于度指数来度量（小于400400安全），