十三多元函数积分学PPT学习教案

1、会计学1十三多元函数积分学十三多元函数积分学第三节第三节 二重积分的应二重积分的应用用第四节第四节 三重积分的概念及计算方法三重积分的概念及计算方法第五节第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分三重积分高等数学电子教案 西电教师：任春丽第1页/共111页一、二重积分的概念1、引例、引例（1） 计算曲顶柱体的体积（如图）设曲面0),(:yxfz且在D上连续第一节 二重积分的概念及性质第2页/共111页解解: step1 分割：任意划分D为n个小区域也代表面积）（,21step2 近似：）（niPiiii1),(iiiifV),(step3 求和:xzyoi),(ii定

2、义域)(,(:曲顶yxfz 第一节 二重积分的概念及性质第3页/共111页V=niniiiiifV11),(step4 取极限.),(lim10iiniifV )max1ini（其中（2）计算平面薄板的质量第一节 二重积分的概念及性质第4页/共111页设有一平面薄板占有xoy面上闭区域D,在点P(x,y)的面密度为0),(yx且在D上连续解解：step1 分割：）（为划分niDi1 D),(iiPiXYO第一节 二重积分的概念及性质第5页/共111页step 2 近似：)1(),(niPiiiiiiiM),(step3 求和：niniiiiiMM11),(step4 取极限：niiiiM10)

3、,(lim上面引例可以看到：两个引例的实际意义第一节 二重积分的概念及性质第6页/共111页不同，但都归结为同一形式的和式极限。我们把这种和式的极限抽象为二元函数在平面 闭区域D上的二重积分的定义。2、定义：、定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数。如果和式极限iiiif10),(lim从在，则称此极限值为f(x,y）在区域D上的二重积分，记作Ddyxf),(，即第一节 二重积分的概念及性质第7页/共111页Dniiiifdyxf10)(lim),(积分区域被积函数积分变量面积元素积分符号 )max(1ini因而，引例（1）体积DdyxfV),(被积表达式第一节 二重积分的概念及性质第

4、8页/共111页引例（2） 质量DdyxM),(注 (1）极限存在指：任意分割、任意取点、和式极限值相等(2) 在直角坐标系下，若用平行与x轴，y轴的直线族划分D,则)(除含边界的小区域kjiyxXYO1kykyjx1jxkjiyx第一节 二重积分的概念及性质第9页/共111页从而DDdxdyyxfdyxf),(),(（3）二重积分为数，与变量符号无关即故记dxdydDDdvufdyxf),(),()1(00)4(nii（为什么）不能但是00i第一节 二重积分的概念及性质第10页/共111页 3、二重积分存在的充要条件如果f(x,y)在闭区域D上连续，则Ddyxf)(),(存在4、二重积分的几

5、何意义DVdyxfyxf),(, 0),(则若（以D为底，f(x,y)未定的曲顶柱体的体积）DVdyxfyxf),(, 0),(则若（曲顶柱体体积的负值）第一节 二重积分的概念及性质第11页/共111页一般的Ddyxf),(曲顶柱体体积的代数和例例1、计算222:),(ayxDdyxfD解：解：由几何意义322232adyxaD（上半球体的体积）第一节 二重积分的概念及性质第12页/共111页假设以下各积分存在性质性质1DDdyxfkdyxkf),(),(k为常数性质性质2DDDdyxgDdyxfdyxgyxf),(),(),(),(性质性质3 （可加性）2121,DDDDD且若第一节 二重积

6、分的概念及性质第13页/共111页（除分界线）DDDdyxfdyxfdyxf12),(),(),(性质性质4 如果Dyxyxf),( 1),(DDDddyxf)(),(的面积则性质性质5 (不等式性) 如果在D上),(),(yxyxfDDdyxdyxf),(),(则第一节 二重积分的概念及性质第14页/共111页特别的:Ddyxyxf0),(0),(则若DDdyxfdyxf),(),(而性质性质6 (估值性) 设),(min),(max),(),(yxfmyxfMDyxDyx的面积则是DDMdyxfm),(第一节 二重积分的概念及性质第15页/共111页性质性质7 (积分中值定理) 设f(x,

7、y)在闭区域D上连续,的面积是D则至少存在一点DfdyxfD),(),(,),(使得证明：证明：mMDyxf,),(上连续，在第一节 二重积分的概念及性质第16页/共111页MdyxfmD),( 即由闭区域连续函数的介值定理,至少存在一点),(),(),(fdyxfDD使证毕。即),(),(fdyxfDDMdyxfm),(第一节 二重积分的概念及性质第17页/共111页例例2、 设区域D:0, 1, 1xyxDyx：dyxdyxydxDDD222)2( ,)1 (计算211DDD）划分（yxyxfxD2),(函数轴对称，关于是变量y的奇函数XYO1D2D1yx1 xy1 yx1 yx解：解：第

8、一节 二重积分的概念及性质第18页/共111页yxyxfyD2),()2(轴对称，关于是变量x的偶函数DDydxydx222021222dyxdyxydxDDD注：注：上述性质，称为二重积分的奇偶对称性对于一般函数也成立例例3、 估计下列积分值4:),10()2(10, 10:,)()1(22yxDyxIyxDdyxxyIDD第一节 二重积分的概念及性质第19页/共111页20, 1, 2)(01Iyxxy）（2）求D上的最大最小值1),(1),(10),(1yxfyxfyxyxfyx则令无驻点内：故422 yxD上极值在求4),(222yxyxf)4(10),(22yxyxyxF构造XY o

9、 D解：解：第一节 二重积分的概念及性质第20页/共111页402102122yxyFxFyx令），）及（，解得（22221022)2,2(),(maxfyxf2210)2,2(),(min fyxf)1022(4)221044I（又122)ln(yxdxdyyx的符号试确定Ep4:第一节 二重积分的概念及性质第21页/共111页1)(0, 1222yxyxyx)0(0)ln(22只有边界上的等于故 yx0)ln(122yxdxdyyxDDyxdyx的大小与比较32)()(其中D由x=0,y=0及x+y=1围成1,yxDyx）（解：解：Ep5：解：解：第一节 二重积分的概念及性质第22页/共1

10、11页32)()(yxyxDDdyxdyx32)()(故第一节 二重积分的概念及性质第23页/共111页一、区域的类型及表示1、X-型区域：型区域：穿过区域D的内部且平行于 D的 边界相交至多两点bxaxyxyxD),()(| ),(21)(1xy)(2xy)(2xy)(1xy)(1xy)(2xyaaaxxxbbbxxxyyyooo第二节 二重积分的计算方法第24页/共111页2、Y-型区域：型区域：穿过区域D的内部且平行于x轴的直线与D的边界相交至多两点dycyxyyxD),()(| ),(213、其它类型、其它类型 如图非X-型，非Y-型区域型区域是但XDDD321,321DDDD而)(1

11、yx)(2yxxyycd1D2D3Dooxy第二节 二重积分的计算方法第25页/共111页例例1、闭区域D由0, 1,12xxyxy及所围成，使用联立不等式表示区域D解：解：法一、法一、D是X型区域 则10 ,11:2xxyxD法二、法二、D是Y-型区域且21DDD10 ,10:1yyxD而01, 10:2yyxD21xy1 xyyx11 yx1D2D第二节 二重积分的计算方法第26页/共111页二、利用直角坐标计算二重积分DdyxfDyxyxfz),(,),( , 0),(计算设解：解：一方面一方面：0),(yxfzDdyxfV),(曲顶柱体的体积另一方面另一方面：利用平行截面为已知的立体体

12、积计算设：区域D为X-型bxaxyxD），()(:21作平面则，,0bax 0 xx 得截面面积第二节 二重积分的计算方法第27页/共111页)()(0021),()(xxdyyxfxA一般的)()(21),()(xxdyyxfxA,bax babaxxdxdyyxfdxxAV)()(21),()(baxxdyyxfdx)()(21),(记为综上：Dbaxxdyyxfdxdyxf)()(21),(),(a0 xbzyx)(0 xA)(1x)(2x),(yxfz 第二节 二重积分的计算方法第28页/共111页类似的，若D为Y-型区域dycyxyD),()(:21Ddcyydxyxfdydyxf)

13、()(21),(),(则称为先x后y的二次积分实际上对其它、上述讨论限制了注：, 0),(1yxf情形仍成立分化为二次积分的、确定积分限是二重积2关键，步骤如下：第二节 二重积分的计算方法第29页/共111页第一步：第一步：画区域D的图形第二步：第二步：确定类型，求投影曲间，穿入、穿出线方程，并用联立不等式表示区域第三步：第三步：将二重积分写成二次积分例例2、计算Dxyd其中区域D是由所围成区域及22xyxy解：解：画图 求出交点（-1，1）及（4，2）xy 22 xy(4,2)(-1,1)1D2D第二节 二重积分的计算方法第30页/共111页法一法一 D是X-型区域，且21DDD412:,1

14、0:21xxyxDxxyxDDDDxydxydxyd1210412xxxxxydydxxydydx855)2(214122102dxxxxdxx法二法二 D是Y-型区域，且21, 2:2yyxyDDyyxydxdyxyd2122(4,2)2yx 2 yx(-1,1)第二节 二重积分的计算方法第31页/共111页855221215)2(dyyyy例例3、计算dxxDsin，其中D由2xyxy 及所围成解：解：D是X-型区域102sinsinxxDdyxxdxdxx则dxxxxx)(sin210101sin1)sin(sindxxxxxy 2xy 第二节 二重积分的计算方法第32页/共111页又

15、D是Y-型区域dxxxdydxxDyy10sinsin则无法积分这说明此积分先x后y的顺序的方法失效注：注：上述两例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要恰当的选择二次积分的顺序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f(x,y)的特性。第二节 二重积分的计算方法第33页/共111页例例4、改变二次积分10021202),(),(xxdyyxfdxdyyxfdx的积分次序10 ,0:1xxyD21 ,20:22xxyD均为X-型，画出区域D如图视21DDD为Y-型区域解：解：22 xy1Dxy 2D第二节 二重积分的计算方法第34页/共111页10 ,22yyxy则原式=

16、1022),(yydxyxfdy例例5、计算由曲面22222yxzyxz与所围立体的体积解：解：立体如图，且在xoy面上投影区域1:22 yxD222yxz22yxzyx 22yx第二节 二重积分的计算方法第35页/共111页dyxdyxVDD)()2(2222dyxdyxDD1)1 (8)1 (22222对称性dyyxdxx1010222)1 (8dxx321032)1 (82241331604316sin2cos xdxtx令第二节 二重积分的计算方法第36页/共111页三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分对于某些二重积分，利用直角坐标计算往往是很困难的，而在极坐标系下计算

17、则比较简单。如：积分区域为圆形，被积函数为时，可考虑极坐标系下计算。)(22yxf方法如下1、化Ddyxf),(为极坐标系下的二重积分，由定义Dniiiifdyxf10),(lim),(且将区域D第二节 二重积分的计算方法第37页/共111页放在极坐标系中第一步第一步 分割:用两族曲线r=常数同心圆=常数射线任意分割区域D为n个小区域)1(nii除含边界的小区域外，其它小闭区域面积iiiiiirrr221221)(iiiiirrrr2)(iiirr_记作irr iirrriiiiiri第二节 二重积分的计算方法第38页/共111页第二步第二步 取,),(iiir且对应的直角坐标系为iiiiii

18、rrsin,cosiii),(则niiiif10),(limiiniiiiiirrrrf10)sin,cos(lim从而DDrdrdrrfdyxf)sin,cos(),(其中rdrdd为极坐标系下的面积元素 注注: 相当于二重积分作了变量代换,因而换元就要换限第二节 二重积分的计算方法第39页/共111页Drdrdrrrf)sin,cos(2、化为二次积分情形（情形（1）极点在D的外部rrD),()(:21Drdrrrfddyxf)()(21)sin,cos(),(情形（情形（2）极点在D的边界上)(2r)(1r)(1r)(2roxoxD第二节 二重积分的计算方法第40页/共111页),(0:

19、rDDrdrrrfddyxf)(0)sin,cos(),( 情形（情形（3）极点在D内20),(0: rDDrdrrrfddyxf20)(0)sin,cos(),(xoxooxD)(r)(r第二节 二重积分的计算方法第41页/共111页例例1：计算DdxdyyxI,22D是由曲线所围区域与axyxayx22222解：解：21DDD20 ,0:1arD222,cos0:arD1222DDdrdrdrdrI22cos022002aadrrddrrd22230333233233332coscosdaadaaxyoar cosar 第二节 二重积分的计算方法第42页/共111页)(3233239433

20、2aaa例例2、将10112),(xxdyyxfdx化为极坐标系下的二次积分解：解：10 ,11:2xxyxD在极坐标系下20 , 1cossin1:rD10cossin12)sin,cos(rdrrrfd原式xyr1cossin1112rxy第二节 二重积分的计算方法第43页/共111页例例3、求球体22224azyx被圆柱面)0(222aaxyx所截得的（含在圆柱面内部的）立体的体积。解：解：由对称性体积dxdyyxaVD22244在极坐标系下20 ,cos20:arDrdrdraVD224420cos202244rdrrada故第二节 二重积分的计算方法第44页/共111页2033332

21、)sin1 (da)(3223332a第二节 二重积分的计算方法第45页/共111页一、几何应用一、几何应用1、立体的体积、立体的体积: ( , )-( , )DVg x yf x y d2、平面图形面积、平面图形面积:DS=d3、曲面的面积、曲面的面积:( , ),( , ),( , )xyxyzf x yDfx yfx yDA设曲面：投影区域，且在 上连续，计算曲面的面积 ？2:( , )zf x y1:( , )zf x y第三节 二重积分的应用第46页/共111页解解:（方法:小元素法,即微分法）1 DA 。取微区域( , )( , ,( , )P x yM x y f x y且 取M

22、T设过点且平面为 ，2法向量与z轴夹角小于，-,-,1xynff即 cosAT 则 22 cos1xyff而A第三节 二重积分的应用第47页/共111页221xyAff22 1xydAff记为曲面的面积元素(微元)222 1xyDAff。or221()Dzzdxdyxy（）第三节 二重积分的应用第48页/共111页22 A=1()Dzzdydzzy则（） : ( , ), zxyh x zD若曲面投影22 A=1()Dzzdxdzzx则（） : ( , ), yzxg y zD同理:若曲面投影第三节 二重积分的应用第49页/共111页例例1:求半径为a的球面面积。解解:2222: xyzR设球

23、面方程222: z=Rxy则上半球面22:xoyD xy且在平面上投影 222222 zxzyxyRxyRxy又 第三节 二重积分的应用第50页/共111页2221()DzzAdxdyxy（）2222DRdxdyRxy2220012RdrdrRr22204()4RRRrR第三节 二重积分的应用第51页/共111页例例2:222222 xyRxzR求由曲面及 所围立体的体积及表面积解解: 1 。由对称性2222008RRxdxRx dy122 8 8DVVRx dxdy332230168()8()33RRRRxdxR2220,xyRxyo22: zRx第三节 二重积分的应用第52页/共111页2

24、22 :,zRx。取22,0zxzxyRx则 116AA22161()Dzzdxdyxy（）2216DRdxdyRx22220016RRxRdxRx dy201616RRdxR第三节 二重积分的应用第53页/共111页1、平面薄片的重心、平面薄片的重心(1) xoy: 设平面有质点,则由力学知识 质点系重心坐标111222nnnm (x ,y ),m (x ,y ),m (x ,y )nniiiiyxi=1i=1nniii=1i=1m xm yMMx= y=MMmm二、物理应用二、物理应用第三节 二重积分的应用第54页/共111页yM质点系对y轴的静力矩xM质点系对x轴的静力矩M质点系的质量第

25、三节 二重积分的应用第55页/共111页(2) 设有一平面薄片，区域为D，面密度P(x,y)(在D上连续) 求:x=?y=?解解:, d取微元则( , )( , )DdMx y dMx y d( , )( , )yyDdMxx y dMxx y d( , )( , )xxDdMyx y dMyx y dxy oDd第三节 二重积分的应用第56页/共111页( , ) ( , )yDDxx y dMxMyx y d( , ) ( , )xDDyx y dMyMxx y d: ( , )p x yC特别的若 1 DDDxdxxdAd则1DDDydyydAd第三节 二重积分的应用第57页/共111页

26、例例3:2222 , (0)xyax xyay a设均匀平面薄片由,的公共部分所确定 求它的形心坐标。(,)42a解解:,:D极坐标下的边界曲线cossinrara (,)42a交点 xy由对称性1 DxxdA而第三节 二重积分的应用第58页/共111页1 2DDAxdxd其中sin22440002sinadrdrad 22401cos2(2)28aadsin400cos204cos cosaDaxddrrdrdrrdr33344204cos sincos33aadd 第三节 二重积分的应用第59页/共111页3324424012cos2cos 2sin1234aad33241cos4(12c

27、os2)48122aad3333(1)(2)4812832aaa1 4DaxxdA ( , )( , )4 4a ax y 即第三节 二重积分的应用第60页/共111页2、平面薄片的转动惯量、平面薄片的转动惯量111(1) : ( ,),(,)nnnxoym x ym xy 设平面上质点x则对于 轴,y轴及坐标原点的转动惯量2222111, , (),nnnxiiyiioiiiiiiIy mIx mIxym(2) ,( , )Dx yD设有一平面薄片区域为面密度在 上连,? ? ?xyoIII续 求 第三节 二重积分的应用第61页/共111页解解:,d取微元则2( , )xx y ddIydM

28、2( , )xDIyx y d2( , )ydIxx y d2( , )yDIxx y d22() ( , )odIxyx y d22() ( , )oxyDIxyx y dII第三节 二重积分的应用第62页/共111页例例4:22( , ) 49,Dx yxy设 是平面圆环 密度0,y为求圆环关于 轴的转动惯量。解解:3222200024cosyDIxddrrdr 32420024cosdr dr 014(81 16)4 40651344M第三节 二重积分的应用第63页/共111页3、平面薄片对质点的引力、平面薄片对质点的引力例例5:,( , )Dx yD设有一平面薄片区域为面密度在 上0:

29、(0,0, )zMa连续。求 薄片对位于 轴上点处单位质,xyzFF F F点的引力 解解: ,dD取微元则( , )dMx y d面积微元:对质点的引力大小2( , )x y ddFKroxyzdFxdFydFzdFd第三节 二重积分的应用第64页/共111页222rxya其中分力:23( , )( , )cosxx y dxxx ydFdFKKdrrr23( , )( , )cosyx y dyyx ydFdFKKdrrr23( , )( , )coszx y daax ydFdFKKdrrr 第三节 二重积分的应用第65页/共111页32222( , ) ()xDxx yFKdxya32

30、222( , )()yDyx yFKdxya32222( , )()zDx yFKadxya ,xyzFF F F从而第三节 二重积分的应用第66页/共111页例例6:,R求面密度为常数半径为 的均匀半圆形薄片:2220,0,0 (0,0, )xyRxzZMa对位于 轴上点(0)a 处单位质点的引力。解解: 0yF 由对称性 d取微元 :dF则大小2222()ddFkrxyar : , ,x ya方向第三节 二重积分的应用第67页/共111页:分力3cosza ddFdFkr 3cosxxdFdFkdr322221 ()zDFaKdxya 22300222212()RRyKdydxxya222

31、223002222()()RRyd xyaKdyxya第三节 二重积分的应用第68页/共111页一、概念一、概念引例引例:解解:1 : (1)inV in 。分割分为 个小空间区域 2 : ( ,)(1)( ,)iiiiiiiiiV inMPV 。近似 ,P(x,y,z)P(x,y,z)M=?已知空间物体占空间区域各点的体密度在 上连续，求质量iV第四节 三重积分的概念及计算方法第69页/共111页13 : ( ,)niiiiiMPV 。求和0114 : lim( ,)(max )niiiiii niMPVd 。取极限 ( , , )1, P x y zMV若则体积抽去其物理意义,引入三重积分

32、的定义。定义定义:设f(x,y,z)是空间有界闭区域 上的有界函niiii0i=1 limf( , , )V 数,若存在( 分割 取点)记作:niiii0i=1f(x,y,z)dv=limf( , , )V即第四节 三重积分的概念及计算方法第70页/共111页特别: 在直角坐标下,若用三族平面分割区域, ijklVxyzdvdxdydz 则记:( , , )( , , )f x y z dvf x y z dxdydz故注注:1 ( , , )1,( , , )f x y zf x y z dvdvV。若 则 2 f(x,y,z),f(x,y,z)dv。若在上 连续 则一定存在 。3 性质与二

33、重积分类似第四节 三重积分的概念及计算方法第71页/共111页1、先一后二法、先一后二法:1 : z=z (x,y)下若2 : z=z (x,y)上z 设平行于 轴且穿过闭区域 内部的直线与 的边界曲面相交不多余两点.12z (x,y)zz (x,y) : (x,y)dxy则二、直角坐标系下二、直角坐标系下,( , , )f x y z dV的计算方法的计算方法2:( , )zzx y上1:( , )zz x y下第四节 三重积分的概念及计算方法第72页/共111页12( , )( , )( , , )( , , )xyz zx yz zx yDf x y z dVf x y z dz d 先

34、一后二积分法( )( ) : xyy xyy xDaxb若2211( )( , )( )( , )( , , )( , , )ayxzx ybyxzx yf x y z dxdydzdxdyf x y z dz则 为z-x-y的积分顺序的三次积分类似的,有其他五种几分顺序第四节 三重积分的概念及计算方法第73页/共111页例例1:f(x,y,z)dxdydz, 计算 其中 是由三个坐标面与平面x+y+z=1所围成的区域。解解:, ,x y z由于 关于有对称性 ( , , )3f x y z dxdydzxdxdydz则oxyz1yx 01 : 01xyyxDx 其中: 0, : 1zzx y

35、 下上第四节 三重积分的概念及计算方法第74页/共111页111000 3xx ydxdyxdz 原式11003(1)xdxxxy dy12032(1)xxdx124第四节 三重积分的概念及计算方法第75页/共111页例例2: ycos(z+x)dxdydz, y= x y=0,z=0,x+z=2 计算由抛物面及平面所围成。oxzy22Dxyyx解解: 0 02Dyxxyx: 0, : -2zzx下上第四节 三重积分的概念及计算方法第76页/共111页2、先二后一法、先二后一法12,zczcD若截面12( , ) :zx yDczc则21( , , ) ( , , )zccDf x y z d

36、Vf x y z dxdy 先二后一法先二后一法第四节 三重积分的概念及计算方法第77页/共111页20 cos()xyxDyzx dz dxdy 原式 (1sin )xyDyx dxdy20(1sin )xodxyx dy201(1sin )2x xdx21162第四节 三重积分的概念及计算方法第78页/共111页例例3:22 , 2 2zdxdydzxyzz计算由与围成。解解: 方法一: 先一后二法2222xyxyDzdz dxdy 原式2221()424xyDxydxdy42200116(4)243rdrdr第四节 三重积分的概念及计算方法第79页/共111页方法二: 先二后一法222

37、02,:( 2 )zzDxyz则2200 zzDDdzzdxdyzdxdy dz原式201623zzdz第四节 三重积分的概念及计算方法第80页/共111页例例4:2222222, ,xyzz dxdydzabc为上半椭球体 0z 。解解:222222( , , ):1,0zxyzx y z Dxzabc 2200zzccDDz dxdyzdxdy dz 则原式223202(1)15czzabdzabcc第四节 三重积分的概念及计算方法第81页/共111页练习练习:22222221 2xyzRxyzRz、计算由与所围立体的体积。解解: 先一后二法2223: 4xyDxyR222: -zRRxy

38、下22: zRxy上第四节 三重积分的概念及计算方法第82页/共111页222222 xyRxyRRxyDVdVdxdydz2222xyDRxyR dxdy3222200(2)RdRrrdr3332222220022 ()32RRRRrr3512R第四节 三重积分的概念及计算方法第83页/共111页31D2 sin :0,xzydxdydzzzy、 计算其中21,yyx所围成。解解:21:,11:0 :xyxyDxzzy 下上3( , , )yozf x y zxzy由于 关于平面对称,x关于 变量为奇函数31Dsin0 xzydxdydz2yx第四节 三重积分的概念及计算方法第84页/共11

39、1页先二后一法:12 2221( , , ) 2,02Rx y zxyRzzz 22222( , , ) ,2Rx y zxyRzzR 12 VdVdV202()()zzRRRDDdxdy dzdxdy dz 222202(2)()RRRRzz dzRz dz333555242412RRR第四节 三重积分的概念及计算方法第85页/共111页22220112()RKdyRaya 222202(ln()RRKyyaRa 22222(ln)RRaRKaRa,xyzFF F F即可求出 第四节 三重积分的概念及计算方法第86页/共111页xyzo),(zyxM),(rPr一、柱面坐标计算三重积分一、柱

40、面坐标计算三重积分1、柱面坐标:( , , )M x y z点( , , )M rzM称为点的柱面坐标规定:,02 ,r 0z 第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第87页/共111页柱面坐标系下的三组坐标面:rz常数常数常数z以 轴为中心的圆柱面z过 轴的半平面z平行于 轴的平面( , , )M x y z( , , ):M rz与关系cos ,sin ,xryrzz第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第88页/共111页xyzo drdrdzrd2( , , )f x y z dV、化为柱面坐标系下三重积分。:dVdxdydz在直角坐标系下:dVrdrd dz在柱面坐标系下( , ,

41、) ( cos , sin , )f x y z dVf rrz rdrd dz第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第89页/共111页3 ( cos , sin , )f rrz rdrd dz、化为三次积分。xy12 D: ( )( ),rrr 投影12 :( , ),:( , )zz rzz r下上穿线1212( , )( , ) : ( )( )z rzz rrrr则2211( )( , )( )( , )( cos , sin , )( cos , sin , )rzrrzrf rrz rdrd dzdrdrf rrz dz第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第90页/共111页

42、例例1:222(),:1,0zxy dxdydzxyzz:01,02xyDr解解:2: 0,:1zzr下上201 : 0102zrr 第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第91页/共111页 ()zxy dxdydzzdxdydz对称性2211000rdrdrzdz12012(1)2rrdr4第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第92页/共111页例例2:222222ln(1),xydVzxyxy是由及22zxy所围成的区域。oxyz解解:2: 0102rzrr221200ln(1) rrrdrdrdzr原式1220ln(1)2()rrrdrr第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第93页

43、/共111页102ln(1)ln(1)rrr dr1022ln(1)(1)ln(1)rrr dr11100022ln(1)(1)ln(1)r drrr dr32 (4ln22)2 (2ln2)452 (2ln2)4第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第94页/共111页 二、球面坐标计算三重积分二、球面坐标计算三重积分1、球面坐标( , , )( , , )M x y zM rM 点称为点的柱面坐标xyzor x( ,)M x y z( ,)M r ( , )p x ysinop r: 0, 0,02r 规定第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第95页/共111页球面坐标系下的三组坐标面:

44、r常数常数常数以o为心的球面以o为顶点的圆锥面过z轴的半平面( , , )( , , )M x y zM r 与关系sincossinsincosxryrzr第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第96页/共111页xyzoddrdrdsinrsinrd rd2( , , )f x y z dV、化为球面坐标系下三重积分。2sindVrdrd d 2( , , ) ( sincos , sinsin , cos ) sinf x y z dVf rrrrdrd d 2( , , )sinF rrdrd d 第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第97页/共111页3、化为三次积分1 ( , )rr 。若原点在 内，边界曲面0( , ) : 002rr 则200( , )20( , , ) sin ( sincos , sinsin , cos )rf x y z dVddf rrrr dr 第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分第98页/共111页如如:2222,( , , )1xyz