结构有限元法(绪论)

1、有限元分析有限元分析 (FEA) 方法方法结构力学的研究对象 杆件结构，如桁架、刚架等，杆件的几何特征是长度比横截面尺寸大得多。弹性力学的研究对象 非杆件结构如扳、壳结构、实体结构等，这些结构的几何特征是它的厚度要比长度和宽度小得多，或长、宽、厚三个尺度大小属于同一量级。 结构力学刚架位移法： 先取基本体系，把刚架拆成多个单元(杆件)，作单元分析，再将杆件组合成整个刚架，建立刚架位移法的基本方程，作整体分析。 在这一分一合、先拆后搭的过程中，把复杂结构的计算问题，转化为简单的单元分析和集合问题，这就是有限单元法的雏形。 解析法： 由于数学上的困难，通常只有某些简单向题才能得到解析的解答，而对于

2、多数复杂结构问题，目前还没能得到闭合解。现在，为了求解这些复杂问题，唯一的途径是应用数值法，求得问题的近似解。 数值法分为两类：第一类是在解析法的基础上进行数值计算。它的要点是对基本微分方程采用近似的数值解法，如将微分改为差分，建立差分方程，得有限差分法，第二类是在力学模型上进行近似的数值计算。它的基本点是将连续体简化为由有限个单元组成的离散化模型，再对离散化模型求出数值解答，对这类方法的代表就是近三十年发展起来的有限单元法。 有限单元法具有如下的优点：(1) 物理概念清晰 有限元法一开始就从力学角度进行简化，使初学者易于入门。(2) 可以在不同的水平上建立起对该法的理解 它可以从通俗易懂的结

3、构力学方法出发，阐述其基本原理和公式推导，也可以利用变分原理为该法建立起严格的数学解释。 (3) 有较强的灵活性与适用性 它不仅能处理力学分析中的复杂的几何形状，任意的边界条件，非均质各向异性材料，结构中包含杆件、板、壳等不同类型的构件，非线性应力应变关系，还能用来求解流体力学、热传导以及电磁场等领域的许多问题。目前，它几乎适用于求解所有的连续介质和场的问题。(4) 采用矩阵表达形式 便于编制计算机程序，能充分利用高速电子计算机这个现代化工具。 因此，有限元法已被公认为力学分析中的新颖而又有效的数值方法。 有限单元法的发展历史 有限单元法最初是在五十年代作为处理固体力学问题的方法出现的。 追溯

4、历史，早在一九四三年，库兰特(courant)已应用了“单元”概念。在一九五六年，特纳(Turner)等人把刚架位移法的解题思路，推广应用于弹性力学平面问题。他们把连续体划分成一个个三角形的和矩形的单元，单元中位移函数首先采用了近似表达式，推导了单元刚度矩阵，建立了单元结点位移与结点力之间的单元刚度方程。 近几十年来，随着电子计算机的高速化和普遍化，有限元继续不断地向更加广阔、更加深入的方面发展。 有限单元法的发展借助于两个重要工具，在理论推导方面，采用了矩阵方法，在实际计算中，采用了电子计算机。有限元、矩阵、计算机是三位一体的。由于有了现代化的、先进的计算工具，使得有限单元法近年来以惊人的速

5、度骤然崛起。有限单元法的应用有限单元法的应用 有限单元法在应用上已远远超过了原来的范围。它已由弹性力学平面问题扩展到空间问题和板壳问题，能对原子能反应堆、拱坝、飞机、船体、涡轮叶片等复杂结构进行应力分析；它已出平衡问题扩展到稳定问题与动力问题，由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性问题，由结构的应力分析扩展到结构的优化设计。除此，它在流体力学、热传导、磁场、建筑声学、生物力学等等方面部有不同程度的应用。 用有限单元法解弹性力学问题，初学者并不需要掌握弹性力学的全部理论，但对其中的某些基本概念和基本方程却要有所了解。为此，本节将对这些概念和方程作简要的介绍，作为下面各章介绍弹性力学有限单元法的导引。 弹

6、性力学的基本假定 弹性力学在处理问题方面比材料力学更广泛、但弹性力学仍必须作一些基本的假设；（1）假设物体是线性弹性的 即物体在引起形变的外力被除去以后，能够完全恢复其原来的形状，这种性质称为“弹性”。如果材料又服从虎克定律，即外力与变形之间的关系成正比，这种弹性就叫做“线性弹性”。在这一假定下的物体只能发生线性弹性变形。（2）假设物体是连续的 这假设认为整个物体的体积都被组成这个物体的物质所填满，而不留下任何空隙。这样物体中应力、应变和位移等等物理量就可看成是连续的，因而我们就可用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。（3）假设物体是均匀的，各向同性的 均匀假设是认为整个物体是由同一种材料组成

7、的，在这种情况下物体内部各点的物理性质都是相同的，反映这些物理性质的弹性常数，加弹性模量、泊松比等都不随位置坐标而变化。因此，我们可以取出物体中的任意一小部分来加以研究，然后把研究的结果用于整个物体。物体各向同性的假设是认为物体的弹性在所有各个方向都相同，各个弹性常数不随方向而变化。（4）假设物体的位移和应变是微小的 该假设认为物体在外力作用下，整个物体所有各点的位移都远远小于物体的原来尺寸。经过这样假定以后，有以下好处 1）在考察物体的应变和位移时，我们可以将它们的二次幂或乘积略去不计。因此弹性力学中的微分方程都可简化为线性的微分方程，由此得小位移可以应用迭加原理。 2）建立物体变形以后的平

8、衡方程时，可用变形以前的尺寸代替变形以后的尺寸，而不致引起显著的误差。有限元分析 (FEA)有限元分析有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理系统是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。逼近无限未知量的真实系统。定义定义物理系统举例 几何体几何体 载荷载荷 物理系统物理系统结构结构热热电磁电磁有限元模型真实系统真实系统有限元模型有限元模型 有限元模型有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象是真

9、实系统理想化的数学抽象。定义定义自由度（DOFs）自由度自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性用于描述一个物理场的响应特性。结构结构 DOFs 结构结构 位移位移 热热 温度温度 电电 电位电位 流体流体 压力压力 磁磁 磁位磁位 方向方向 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZ节点和单元节点节点: 空间中的坐标位置，具有一定空间中的坐标位置，具有一定自由度和自由度和 存在相互存在相互物理作用物理作用。单元单元: 一组节点自由度间相互作用的一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵阵)。单元有线、面或实体以及二维或单元有线、

10、面或实体以及二维或三维的单元等种类。三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的有限元模型由一些简单形状的单元单元组成，单组成，单元之间通过元之间通过节点节点连接，并承受一定连接，并承受一定载荷载荷。载荷载荷载荷载荷节点和单元 (续)l 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。l 作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。l 尽管梯子的有限元模型低于尽管梯子的有限元模型低于100100个方程（即个方程（即“自由度自由度”），然而在今天一个小的），然而在今天一个小的 ANSYSANSYS分析就可能有分析

11、就可能有50005000个未个未知量，矩阵可能有知量，矩阵可能有2525，000000，000000个刚度系数。个刚度系数。历史典故历史典故 ANSYS ANSYS最早是在最早是在19701970年发布的，运行在价格为一百年发布的，运行在价格为一百万美元万美元、由由IBMIBM生产的计算机上，它们的处理能力远远落后生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的于今天的PCPC机。一台奔腾机。一台奔腾PCPC机在几分钟内可求解机在几分钟内可求解5000500050005000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。的矩阵系统，而过去则需要几天时间。节点和单元 (续)信息是通过单元之间的公共节点传递的。

12、信息是通过单元之间的公共节点传递的。分离但节点重叠的单元分离但节点重叠的单元A和和B之间没有信息传递之间没有信息传递（需进行节点合并处理）（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元具有公共节点的单元之间存在信息传递之间存在信息传递 .AB.AB.1 node2 nodes节点和单元 (续)节点自由度是随连接该节点节点自由度是随连接该节点 单元类型单元类型 变化的。变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元三维杆单元 (铰接铰接)UX, UY, UZ三维梁单元三维梁单元二维或轴对称实体单元二维或轴对称实体单元UX, UY三维四边形壳单元三维四边形壳单元UX, UY, UZ,三维实体热

13、单元三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元三维实体结构单元ROTX, ROTY, ROTZROTX, ROTY, ROTZUX, UY, UZ,UX, UY, UZ单元形函数FEAFEA仅仅求解节点处的仅仅求解节点处的DOFDOF值。值。单元单元形函数形函数是一种数学函数，规定了从节点是一种数学函数，规定了从节点DOFDOF值到单元内所值到单元内所有点处有点处DOFDOF值的计算方法。值的计算方法。因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种单元形函数描述的是给定单元的一种假定假定的特性

14、。的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。真实的二次曲线真实的二次曲线.节点节点单元单元 二次曲线的线性近二次曲线的线性近 (不理想结果不理想结果).2单元形函数(续)节点节点单元单元 DOF值二次分布值二次分布.1节点节点 单元单元 线性近似线性近似(更理想的结果更理想的结果)真实的二次曲线真实的二次曲线. . . .3节点节点单元单元二次近似二次近似 (接近于真实的二次近似拟合接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果最理想结果).4单元形函数(续)遵循遵循: DOFDOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，

15、但值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。单元内的平均值与实际情况吻合得很好。这些平均意义上的典型解是从单元这些平均意义上的典型解是从单元DOFsDOFs推导推导出来的（如出来的（如，结构应力，热梯度）。，结构应力，热梯度）。如果单元形函数不能精确描述单元内部的如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFsDOFs，就不能就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。函数推导出来的。单元形函数(续)遵循原则遵循原则: 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受接受该种单元类型所假定的单