实数指数幂及其运算

1、同底数幂相乘，底数不变，指数同底数幂相乘，底数不变，指数 ，即，即同底数幂相除，底数不变，指数同底数幂相除，底数不变，指数 ，即，即幂的乘方，底数不变，指数幂的乘方，底数不变，指数 ，即，即积的乘方，等于各因式幂的积，即：积的乘方，等于各因式幂的积，即：幂幂aaaan.底数底数指数指数n个个a(1)幂的概念幂的概念:(2)幂的运算法则幂的运算法则:相加相加 相减相减相乘相乘nmnmaaanmnmaaamnnmaa)(mmmbaba )(), 0(*，、nmNnma在运算法则中，若去掉在运算法则中，若去掉mnmn会怎样？会怎样？3333 aaa0a5353 aaa2 a121annaaa110）

2、（0a），（Nna0将将正整数正整数指数幂推广到指数幂推广到整数整数指数幂指数幂m=nm1,且且nN* *. 24=16(- -2)4=1616的的4次方根是次方根是2.(- -2)5=- -32- -32的的5次方根是次方根是- -2.2是是128的的7次方根次方根.27=128即即 如果一个数的如果一个数的n次方等于次方等于a (n1，且，且nN* *)，那么这个数叫做，那么这个数叫做 a 的的n次方根次方根. 【1】试根据试根据n次方根的定义分别求出下次方根的定义分别求出下列各数的列各数的n次方根次方根.(1)25的平方根是的平方根是_;(2)27的三次方根是的三次方根是_;(3)- -

3、32的五次方根是的五次方根是_;(4)16的四次方根是的四次方根是_;(5)a6的三次方根是的三次方根是_;(6)0的七次方根是的七次方根是_.点评点评: :求一个数求一个数a的的n次方根就是求出次方根就是求出哪个数哪个数的的n次方等于次方等于a.53- -220a223=8(- -2)3=- -8(- -2)5=- -32 27=1288的的3次方根是次方根是2.- -8的的3次方根是次方根是- -2.- -32的的5次方根是次方根是- -2.128的的7次方根是次方根是2.奇次方根奇次方根 1.正数的奇次方根是一个正数正数的奇次方根是一个正数, 2.负数的奇次方根是一个负数负数的奇次方根是

4、一个负数.nana的的 次次方方根根( (奇奇用用符符号号次次) )表表示示. .382. 记记作作：382. 记记作作：5322. 记记作作：71282. 记记作作：72=49(- -7)2=4934=81(- -3)4=8149的的2次方根是次方根是7，- -7.81的的4次方根是次方根是3，- -3.偶次方根偶次方根 2.负数的偶次方根没有意义负数的偶次方根没有意义 1.正数的偶次方根有两个且互为相反数正数的偶次方根有两个且互为相反数 记记作作：497 记记作作：4813 (nanan 正正数数 的的 次次方方根根用用符符号号表表示示为为偶偶数数）26=64(- -2)6=6464的的6

5、次方根是次方根是2，- -2.记记作作：6642. 正数的奇次方根是正数正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零零的奇次方根是零.(1) 奇次方根有以下性质：奇次方根有以下性质：,21,N ,0,2 ,N .nnankkxnaak k 那那么么如如果果, axn(2)偶次方根有以下性质：偶次方根有以下性质：正数的偶次方根有两个且是相反数，正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零零的偶次方根是零.na 根指数根指数根式根式被开被开方数方数 由由xn = = a 可知，可知，x叫做叫做a的的n次方根次方根.233(

6、 9)_, (8)_. 9-8 当当n是奇数时是奇数时, 对任意对任意a R都有意义都有意义.它表它表示示a在实数范围内唯一的一个在实数范围内唯一的一个n次方根次方根.()nnaa na 当当n是偶数时是偶数时, 只有当只有当a0有意义有意义,当当a0,m,nN*,且且n1) 注意：注意：底数底数a0这个条件不可少这个条件不可少. 若无此条件会若无此条件会引起混乱，例如，引起混乱，例如，(-1)1/3和和(-1)2/6应当具有同样应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：结果： =-1； =1. 这就说明这就说明分数指数幂在底数小于分数指

7、数幂在底数小于0时无意义时无意义.3311)1( 662621)1()1( 用语言叙述用语言叙述：正数的：正数的 次幂次幂(m,nN*,且且n1)等于这个正数的等于这个正数的m次幂的次幂的n次算术根次算术根.nm负分数指数幂的意义负分数指数幂的意义回忆负整数指数幂的意义：回忆负整数指数幂的意义：an= ( a0,nN*).na1正数的负分数指数幂的意义和正数的负整正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，就是：数指数幂的意义相仿，就是： (a0,m,nN*,且且n1).nmnmnmaaa11 规定：规定：0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于0；0的负分数指的负分数指数幂没有意义

8、数幂没有意义.注意：注意：负分数指数幂在有意义的情况下，负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是负数总表示正数，而不是负数,负号只是出现负号只是出现在指数上在指数上.有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质我们规定了分数指数幂的意义以后，指我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就数的概念就从整数指数从整数指数推广到推广到有理数指有理数指数数. 上述关于整数指数幂的运算性质，对上述关于整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，于有理指数幂也同样适用，即对任意有即对任意有理数理数r，s，均有下面的性质：，均有下面的性质： aras=ar+s (a0,r,sQ)； (ar)s=ar

9、s (a0,r,sQ)； (ab)r=ar br (a0,b0,rQ).说明：说明：若若a0，p是一个无理数，则是一个无理数，则ap表示表示一个确定的实数一个确定的实数. 上述有理指数幂的运算性上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用质，对于无理数指数幂都适用. 即当指数的即当指数的范围扩大到实数集范围扩大到实数集R后，幂的运算性质仍然后，幂的运算性质仍然是下述的是下述的3条条. 34132633252533333888）（ba8852534282231）（933333326131211613121432341332baba）（）（练习练习2212121212121）（）（bababa

10、baba221221）（）（21212baba思考思考2:2:我们知道我们知道 1 1414 21356,414 21356,那么那么 的大小如何确定？我们又应如何的大小如何确定？我们又应如何理解它呢？理解它呢？2522252思考思考1:1:上面，我们将指数的取值范围由整数推广上面，我们将指数的取值范围由整数推广 到了有理数，并且整数幂的运算性质对于有理到了有理数，并且整数幂的运算性质对于有理指数幂都适用指数幂都适用. .那么，当指数是无理数时呢？那么，当指数是无理数时呢？ 的过剩近似值的过剩近似值 的过剩近似值的过剩近似值1.51.511.180 339 8911.180 339 891.4

11、21.429.829 635 3289.829 635 3281.4151.4159.750 851 8089.750 851 8081.414 31.414 39.739 872 629.739 872 621.414 221.414 229.738 618 6439.738 618 6431.414 2141.414 2149.738 524 6029.738 524 6021.414 213 61.414 213 69.738 518 3329.738 518 3321.414 213 571.414 213 579.738 517 8629.738 517 8621.414 213 5

12、631.414 213 5639.738 517 7529.738 517 752225252 的不足近似值的不足近似值 的不足近似值的不足近似值9.518 269 6949.518 269 6941.41.49.672 669 9739.672 669 9731.411.419.735 171 0399.735 171 0391.4141.4149.738 305 1749.738 305 1741.414 21.414 29.738 461 9079.738 461 9071.414 211.414 219.738 508 9289.738 508 9281.414 2131.414 21

13、39.738 516 7659.738 516 7651.414 213 51.414 213 59.738 517 7059.738 517 7051.414 213 561.414 213 569.738 517 7369.738 517 7361.414 213 5621.414 213 562例例1.求值：求值：52 674 364 2. 解：解：222( 32)(23)(22) 原原式式| 32|23|22| )22()32()23( 223223 2 2. 例例2如果化简代如果化简代数式数式24412|2|.xxx22520,xx解：解：22520,xx解之，得解之，得12.2x 所以所以210,20.xx 24412|2|xxx 2(21)2|2|xx |212|2|xx 2(2)21xx 2214xx 3. 22520,xx平方差公式平方差公式:完全平方式