线性代数复习课新

1、返回 上页 下页 结束 第一章复习第一章复习 矩阵及其运算矩阵及其运算 (加法，数乘，乘法，幂，转置) 特殊矩阵特殊矩阵 零矩阵，单位矩阵，对角矩阵，三角矩阵，对称矩阵，行矩阵(向量), 列矩阵(向量) 矩阵乘法运算的可行性矩阵乘法运算的可行性nmnppmCBA A 的列数= B 的行数! 矩阵乘法一般不成立交换律，消去律矩阵乘法一般不成立交换律，消去律AB = BA BA = CA B = C 一般情况下: AB = O A = O 或 B = O 返回 上页 下页 结束 行列式的计算行列式的计算1.二、三阶行列式的对角线法则二、三阶行列式的对角线法则2.矩阵的余子式和代数余子式矩阵的余子式

2、和代数余子式3.行列式的按行或按列展开计算（行列式的按行或按列展开计算（Laplace展开展开定理）定理）4.利用行列式的性质计算利用行列式的性质计算一般结合3,4，先利用行列式的性质化零，再按照零元素多的行或列展开计算返回 上页 下页 结束 矩阵的初等变换矩阵的初等变换1.利用初等行变换将矩阵化为阶梯矩阵利用初等行变换将矩阵化为阶梯矩阵2.利用初等行变换将矩阵化为行标准形利用初等行变换将矩阵化为行标准形3.利用初等行变换求矩阵的秩利用初等行变换求矩阵的秩返回 上页 下页 结束 逆矩阵逆矩阵1BAEAB 矩阵可逆的充要条件是矩阵的行列式不为零矩阵可逆的充要条件是矩阵的行列式不为零 矩阵可逆的充

3、要条件是矩阵的秩等于其阶数矩阵可逆的充要条件是矩阵的秩等于其阶数1.利用伴随矩阵求逆矩阵（利用伴随矩阵求逆矩阵（2阶或简单阶或简单3阶阶）11AAA2.利用初等行变换求逆矩阵利用初等行变换求逆矩阵)()(1AEEA3.利用恒等变换求逆矩阵利用恒等变换求逆矩阵EAEA )()(或或则则 1A返回 上页 下页 结束 克拉默法则克拉默法则11212111bxaxaxann22222121bxaxaxannnnnnnnbxaxaxa2211的系数行列式的系数行列式 则方程组则方程组 有唯一解有唯一解:DDxDDxDDxnn,22110212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD若线性方程组

4、若线性方程组返回 上页 下页 结束 齐次线性方程组齐次线性方程组11 112210nna xa xa x21 122220nna xa xa x1 1220nnnnna xa xa x有非零解的充要条件是其系数行列式有非零解的充要条件是其系数行列式 1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa返回 上页 下页 结束 第二章复习第二章复习 线性方程组有解判定条件线性方程组有解判定条件n 元线性方程组元线性方程组 Axb, )AA b（为增广矩阵为增广矩阵) 无解无解 有唯一解有唯一解 有无穷多解有无穷多解 ( )( )R AR A( )( )R AR An( )( )R AR An

5、 齐次线性方程组有非零解的充要条件是齐次线性方程组有非零解的充要条件是( )R An返回 上页 下页 结束 求解线性方程组的一般步骤：求解线性方程组的一般步骤：1. 对给定的线性方程组，对给定的线性方程组，写出写出它的它的增广矩阵，增广矩阵，利用利用初等行变换，初等行变换，将其将其化为阶梯矩阵或行标准形矩阵；化为阶梯矩阵或行标准形矩阵；2. 根据增广矩阵和系数矩阵的根据增广矩阵和系数矩阵的秩秩以及线性方程组的以及线性方程组的可解条件，可解条件，分析分析给定的线性方程给定的线性方程解的情况解的情况；3. 当线性方程组有唯一解时，直接当线性方程组有唯一解时，直接写出其解写出其解；当线性；当线性方程

6、组有无穷多个解时，由行标准形矩阵还原成方程组，方程组有无穷多个解时，由行标准形矩阵还原成方程组，再确定自由变量，写出其再确定自由变量，写出其通解通解。返回 上页 下页 结束 求解齐次线性方程组的一般步骤：求解齐次线性方程组的一般步骤：1. 对给定的线性方程组，对给定的线性方程组，写出写出它的系数矩阵，利用它的系数矩阵，利用初等行变换，初等行变换， 将其将其化为阶梯矩阵或行标准形矩阵；化为阶梯矩阵或行标准形矩阵；2. 由行阶梯矩阵或行标准形矩阵由行阶梯矩阵或行标准形矩阵求求出系数矩阵的出系数矩阵的秩秩,判断判断 给定的齐次线性方程给定的齐次线性方程是否有非零解是否有非零解；3. 当齐次线性方程组

7、有唯一解时，只有零解；否则，当齐次线性方程组有唯一解时，只有零解；否则，由行标准形矩阵还原成方程组，再确定自由变量，写出其由行标准形矩阵还原成方程组，再确定自由变量，写出其通解通解。返回 上页 下页 结束 向量与向量组向量与向量组 向量经向量组线性表出向量经向量组线性表出 向量组的线性相关性向量组的线性相关性1.其中存在一个向量可经其余向量线性表出其中存在一个向量可经其余向量线性表出2.存在向量组的非零线性组合使之等于零存在向量组的非零线性组合使之等于零 向量组的线性无关性（不是线性相关的）向量组的线性无关性（不是线性相关的）1.若向量组的线性组合等于零，则组合系数全若向量组的线性组合等于零，

8、则组合系数全为零为零返回 上页 下页 结束 sAR)(110sskk有非零解。有非零解。 线性线性相相关关 只有零解。只有零解。 线性线性无无关关 齐次线性方程组齐次线性方程组 1,s 齐次线性方程组齐次线性方程组 1,s12,.sA ( ),R As其中其中A为系数矩阵：为系数矩阵： 110sskk返回 上页 下页 结束 向量组的线性相关性判别方法向量组的线性相关性判别方法方法方法1: 对矩阵对矩阵 12(,)s作初等行变换作初等行变换 12,s秩小于小于s 时时, 线性相关线性相关等于等于s 时时, 线性无关线性无关方法方法2:当向量维数当向量维数 n = 向量个数向量个数 n 时时, 利

9、用行列式利用行列式 12,n= 0 , 线性相关线性相关 0, 线性无关线性无关返回 上页 下页 结束 向量组的最大线性无关组向量组的最大线性无关组1.本身线性无关本身线性无关2.和向量组等价和向量组等价返回 上页 下页 结束 及其它向量用该及其它向量用该最大无关组的线性表出式的方法：最大无关组的线性表出式的方法：的一个最大线性无关组，的一个最大线性无关组，求一般向量组求一般向量组s,21),(21sA第一步：第一步：对矩阵对矩阵施行初等行变换施行初等行变换B化为行标准形矩阵化为行标准形矩阵则该向量组线性无关，则该向量组线性无关，s,21的一个最大无关组的一个最大无关组. .A零元所在列对应的

10、矩阵零元所在列对应的矩阵的相应列构成的向量组为向量组的相应列构成的向量组为向量组BrAR)(,rs第二步：第二步：令矩阵令矩阵的非零行数的非零行数, , 如果如果B第四步第四步: : 位于其它各列的向量由最大无关组线性表出位于其它各列的向量由最大无关组线性表出的组合系数即为行标准形矩阵的组合系数即为行标准形矩阵B对应列的相应分量对应列的相应分量. . 则它的一个最大无关组就是它本身则它的一个最大无关组就是它本身. .矩阵矩阵 B第三步：第三步：当当的每一个非零行的第一个非的每一个非零行的第一个非,rs返回 上页 下页 结束 齐次线性方程组基础解系齐次线性方程组基础解系1.本身由解向量组成，且线

11、性无关本身由解向量组成，且线性无关2.任何解均可由其线性表出任何解均可由其线性表出返回 上页 下页 结束 求基础解系和齐次方程组通解的步骤：求基础解系和齐次方程组通解的步骤：1. 先将系数矩阵经过行初等变换化为行标准型；先将系数矩阵经过行初等变换化为行标准型；2. 非零行中第一个非零元所在列的未知元（非零行中第一个非零元所在列的未知元（r 个）留个）留下，其余未知元作为自由变量（下，其余未知元作为自由变量（nr个）；个）；3. 分别令自由变量中某一个取分别令自由变量中某一个取1，其余全取零，得到，其余全取零，得到 nr个解向量。这些解向量即构成一个基础解系；个解向量。这些解向量即构成一个基础解

12、系；4. 通解即为基础解系中向量的线性组合。通解即为基础解系中向量的线性组合。返回 上页 下页 结束 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构的通解为 x齐次方程通解非齐次方程特解Axb 非齐次线性方程组的求解过程非齐次线性方程组的求解过程1.求齐次线性方程组的一个基础解系（可得通解）求齐次线性方程组的一个基础解系（可得通解）2.求非齐次线性方程组的一个特解（如令求非齐次线性方程组的一个特解（如令自由变量全为零）自由变量全为零）返回 上页 下页 结束 第三章复习第三章复习二次型二次型 二次型的表示法二次型的表示法T( )f xx Ax (A为对称矩阵) 二次型的矩阵二次型的矩阵对称矩阵

13、 A 二次型的秩二次型的秩矩阵 A 的秩 二次型的标准形二次型的标准形T( )f yyy (为对角矩阵) 可逆的线性变换可逆的线性变换xCy (C为可逆的矩阵) 二次型二次型T( )f xx Ax经可逆的线性变换经可逆的线性变换xCy化为化为T( )f yy By，则则TBC AC (合同关系) 返回 上页 下页 结束 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念A(0) ： A 的的特征值特征值矩阵矩阵A的对应于特征值的对应于特征值 的的特征向量特征向量：特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法:第一步第一步. 特征方程特征方程 求求 A 的所有特征值的所有特征值 i 0AE第二步第二步

14、. 通过求齐次线性方程组通过求齐次线性方程组 ()0iAE x的基础解系可求出对应于的基础解系可求出对应于 i 的全体的全体特征向量特征向量 （基础解系中解向量的非零线性组合）（基础解系中解向量的非零线性组合）返回 上页 下页 结束 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质A(0) k 为为kA的特征值的特征值 m 为为Am 的特征值的特征值 A 可逆时可逆时, .1, 01的特征值为A 矩阵的不同特征值对应的特征向量线性无关矩阵的不同特征值对应的特征向量线性无关 )(tr121Aanii inAn21 返回 上页 下页 结束 向量的内积向量的内积1( ,)nkkkx y TT1212(

15、,) ,(,)nnx xxy yy其中 向量间的长度（大小或模）向量间的长度（大小或模）| |( , ) 单位向量单位向量| |1 非零向量间的夹角非零向量间的夹角, 满足关系满足关系( ,)cos,| | 向量向量, ,正交的充要条件是正交的充要条件是( ,)0 返回 上页 下页 结束 正交规范向量组正交规范向量组13,s 0,1,kiikik （）(两两正交两两正交) (都是单位向量都是单位向量) 通过线性无关向量组求等价的正交规范向量组通过线性无关向量组求等价的正交规范向量组的方法的方法施米特正交规范化方法施米特正交规范化方法 1. 正交化正交化 2. 单位化（规范化）单位化（规范化）返

16、回 上页 下页 结束 设线性无关向量组：设线性无关向量组：123,. 第一步第一步. 正交化正交化: 111222111(,)(,) 1221(,) 132333121122(,)(,)(,)(,) 第二步第二步. 规范化规范化: kkk(1,2,3)k 返回 上页 下页 结束 正交矩阵正交矩阵 ATA AET1AAA 的列向量为正交规范向量组的列向量为正交规范向量组 A 的行向量为正交规范向量组的行向量为正交规范向量组 正交矩阵正交矩阵 A可逆可逆11A 或 正交变换正交变换 x = PyP 为正交矩阵为正交矩阵 正交变换正交变换 x = Py 保持长度不变保持长度不变yx返回 上页 下页

17、结束 相似关系相似关系-1BC AC 相似矩阵有相同的特征值相似矩阵有相同的特征值 实对称矩阵的特征值全为实数实对称矩阵的特征值全为实数 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交 二次型可经正交变换化为标准形二次型可经正交变换化为标准形 实对称矩阵相似于一个对角矩阵实对称矩阵相似于一个对角矩阵u 二次型的矩阵的特征值构成该标准形的矩阵的对角元二次型的矩阵的特征值构成该标准形的矩阵的对角元u 二次型的矩阵的正交规范特征向量组构成正交变换矩阵的列二次型的矩阵的正交规范特征向量组构成正交变换矩阵的列返回 上页 下页 结束 二次型化成标准形的方法二次型化成标准形

18、的方法u 配方法配方法u 正交变换法正交变换法返回 上页 下页 结束 u 配方法化二次型为标准形的步骤（以配方法化二次型为标准形的步骤（以3元二元二次型为例）次型为例）首先：将含有首先：将含有x1的项和在一起，进行配方的项和在一起，进行配方其次：将剩余的项中含有其次：将剩余的项中含有x2的项和在一起，进行配方的项和在一起，进行配方然后：由于剩下的项仅含有然后：由于剩下的项仅含有x3的平方项，二次型已的平方项，二次型已经化成了标准形，写出相应的可逆的线性变换经化成了标准形，写出相应的可逆的线性变换xCy注意：若果二次型只有交叉项，则需先进行一注意：若果二次型只有交叉项，则需先进行一次可逆线性变换

19、，使之变换之后含有平方项次可逆线性变换，使之变换之后含有平方项返回 上页 下页 结束 u 正交变换法化二次型为标准形的步骤（以正交变换法化二次型为标准形的步骤（以3元二次型为例）元二次型为例）1.写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵 A （对称）（对称）2.求出矩阵求出矩阵 A 的特征值的特征值 （构成标准形的矩阵的（构成标准形的矩阵的对角元）对角元）3.对于每个特征值，求出特征向量满足的齐次方对于每个特征值，求出特征向量满足的齐次方程组的基础解系并将其正交化、单位化程组的基础解系并将其正交化、单位化4.写出正交变换矩阵写出正交变换矩阵 P （其列由上述正交规范的（其列由上述正交规范的特征向量组成）特征向量组成）5.写出正交变换写出正交变换和二次型的标准形和二次型的标准形返回 上页 下页 结束 在第在第3步中，可能有下面三种情况步中，可能有下面三种情况1.三个特征值互不相同，此时对应的三个特三个特征值互不相同，此时对应的三个特征向量征向量必正交必