大学高数 向量及其线性运算

1、北京理工大学北京理工大学2010-2011学年第二学期学年第二学期向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM0零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或0aa与与 同方向的单位向量可记作同方向的单位向量可记作或或ae零向量没有方向，或者说其方向是任意的零向量没有方向，或者说其方向是任意的自由向量：自由向量

2、：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量 ，叫做点，叫做点M的的向径向径. . OMM即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移动后仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都动后仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都是自由向量。是自由向量。1 定义加法：定义加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）

3、特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac （平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法二、向量的加减法向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 定义减法定义减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 三、向量与数的乘法三、向

4、量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证充分性充分性显然；显然；必要性必要性ab设设,ab 取取取取正正值值，同同向向时时与与当当 ab取取负负值值，反反向向时时与与当当 ab.ab 即即有有.同同向向与与此此时时ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又

5、又设设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 证毕。证毕。即即. 同同方方向向的的单单位位向向量量，表表示示与与非非零零向向量量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.例例1 1 化简化简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相试用向量方法证明：对角线互相 平分的四边形必是平行四边形平分的

6、四边形必是平行四边形.证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMab向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）四、小结四、小结一、向量在轴上的投影与投影定理一、向量在轴上的投影与投影定理.上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴

7、反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数ouAB1轴轴同同方方向向的的单单位位向向量量，是是与与设设ue.)(eABAB 的的相相互互位位置置如如何何，三三点点轴轴上上任任意意三三点点，不不论论这这是是设设uCBA,eBCeABeAC)()()( 即即,)(eBCAB .BCABAC ,BCABAC e证证,1uOA ,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ouAB1e1u2u,2euOB 同理，同理，OAOBAB 于是于是空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角)

8、,(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已已知知向向量量的的起起点点A和和终终点点B在在轴轴u上上的的投投影影分分别别为为BA ,那那么么轴轴u上上的的有有向向线线段段BA 的的值值，称称为为向向量量在在轴轴u上上的的投投影影. 数数ABjuPr.BA 向向量量AB在在轴轴u

9、上上的的投投影影记记为为关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦：ABjuPr cos| AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个

10、向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a特别地，如果把上述向量特别地，如果把上述向量a在轴上在轴上的投影换成向量的投影换成向量a在在向量向量b上上的投影的投影,可得到类似的概念与性质：可得到类似的概念与性质：.)()()();,(|)(cccbbababaCosaa 二、向量在坐标轴上的分向量与向量二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标1M1P2M2P上的投影分别为点上的投影分别为点在轴在轴点点为一条数轴为一条数轴为一向量，为一向量，设设212121,PPuMMuMM

11、a 上上的的坐坐标标依依次次为为在在轴轴又又设设2121,uuuPPuo,Pr21uuaMMj 1221OPOPPP ,12uu .12uuau 如果如果e是与是与u轴正向一致的单位向量，轴正向一致的单位向量，.)(12euu 设设a是是以以),(1111zyxM为为起起点点、),(2222zyxM为为终终点点的的向向量量，过过21, MM各各作作垂垂直直于于三三个个坐坐标标轴轴的的平平面面 ,这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段21MM为为对对角角线线的的长长方方体体.由例由例1知知eaPPu 21xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的

12、的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：),(,zyxzyxaaaaaaa或或 ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM

13、 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 例例 2 2 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为为两两已已知知点点，而而在在AB直直线线上上的的点点M分分有有向向线线段段AB为为两两部部分分AM、MB，使使它它们们的的值值的的比比等等于于某某

14、数数)1( ，即即 MBAM，求求分分点点的的坐坐标标.ABMxyzo为直线上的点，为直线上的点，),(zyxM由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz #非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 三、向量

15、的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa

16、 .cos,cos,cos 特殊地：单位向量为特殊地：单位向量为,zyxaaa 222/zyxaaa 解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 解解设向量设向量21PP的方向角为的方向角为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 例例 4 4 设有向量设有向量21PP, ,已知已知221 PP，它与，它与x轴轴和和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为3 和和4 ，如果，如果1P的坐标为的坐标为)3

17、 , 0 , 1(，求，求2P的坐标的坐标.32,3 设设2P的坐标为的坐标为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐标为的坐标为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标

18、.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.四、小结四、小结（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）作业作业 P3,3,4 P4,5 P10-11,2, 7, 10, 15,思考题思考题 设设jim ，kjn 2，求以向量，求以向量nm,为边的平行四边形的对角线的长度为边的平行四边形的对角线的长度.思考题解答思考题解答对角线的长为对角线的长为|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平平行行四四边边形形的的对对角角线线的的长长度度各各为为11, 3.mn练练 习习 题题一、一、 填空题：填空题：1 1

19、、 已知已知rr,4 与轴与轴u的夹角是的夹角是60，则，则rjuPr=_=_ _ _；2 2、 已知两点已知两点1M)2,1,0(和和2M)0,1,1( 则则 21MM_；-2-221MM= =_；3 3、 已知两点已知两点1M)1,2,4(和和)2,0,3(2M, ,则向量则向量 21MM_ ，21MM=_=_，方向，方向 余弦余弦 cos=_=_； cos= =_； cos= =_； 方向方向 角角_ ,_ , _ ,_ , _；4 4 、 已知向量已知向量kjia , ,kjib532 及及 kjic22 , , 0a则则_； 0b= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 0

20、c= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；5 5、一一向向量量与与zoxyozxoy,三三个个坐坐标标平平面面的的夹夹角角 , 满满足足 2cos+ + 2cos+ + 2cos= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二 、一一向向量量的的终终点点在在点点)7,1,2( B，它它在在轴轴X，轴轴Y 和和轴轴Z上上的的投投影影依依次次为为74,4和和 ，求求这这向向量量的的 起起点点的的坐坐标标A . .三三 、求平行于向量、求平行于向量 6,7,6 a的单位向的单位向量量 . .练习题答案练习题答案一一、1 1、2 2； 2 2、 4 , 4 , 2

21、,2, 2, 1 ； 3 3、 ;3,43,32,21,22,21, 2 ,1 , 2, 1 4 4、 32,31,32,385,383,382,31,31,31； 5 5、2 2. .二二、 A( (- -2 2, ,3 3, ,0 0) ) . .三三、 116,117,116116,117,116或或 . .思考题思考题已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线AC,a BDb 试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba,思考题解答思考题解答BCAD AM MD).(21ba DC AB AM MB).(21ba ABCDMab一、一、 填空：

22、填空：1 1、 向量是向量是_的量；的量；2 2、 向量的向量的_叫做向量的模；叫做向量的模；3 3、 _的向量叫做单位向量；的向量叫做单位向量；4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量；5 5、 与与_无关的向量称为自由向量；无关的向量称为自由向量；6 6、 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做_，三，三个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做_ _ _；7 7、两两向向量量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，我我们们称称这这两两个个向向量量相相等等；8 8、两两个个模模相相等等、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的向向量量互互为为逆逆向向量量；9 9、把把空空间间中