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文档简介
1、热工控制系统第五章-第二讲 显然,辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶,且分子分母同阶。则辅助方程可写成以下形式:11()( )()niinjjszF ssp。式中, 为F(s)的零、极点。,ijzp由上述公式可以看出:F(s)F(s)的极点为开环传递函数的极点;的极点为开环传递函数的极点;F(s)F(s)的零点为闭环传递函数的极点;的零点为闭环传递函数的极点;将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程,得:121212( )1( )( )M MN NF sG s H sN N F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指定的区域内是解析的,则对于此区域内的任何一点
2、都可以在F(s)平面上找到一个相应的点 , 称为 在F(s)平面上的映射。sdfdfdsd 同样,对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 ,也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 (为 的映射)。sfs例辅助方程为: ,则s平面上 点(-1,j1),映射到F(s)平面上的点 为(0,-j1),见下图:2( )sF sssdfd同样我们还可以发现以下事实:s平面上 曲线 映射到F(s)平面的曲线为 ,如下图:ssssssssA B C D E FG Hss 曲线 是顺时针运动的,且包围了F(s)的一个极点(0),不包围其零点(-2);曲线 包围原点,且逆时针运动。sf再
3、进一步试探,发现:若 顺时针包围F(s)的一个极点(0)和一个零点(-2),则 不包围原点顺时针运动;若 顺时针只包围F(s)的一个零点(-2),则 包围原点且顺时针运动。sfsf 这里有一定的规律,就是下面介绍的柯西幅角定理。柯西幅角定理柯西幅角定理:s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线 移动一周时,在F(s)平面上相对应于封闭曲线 将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N,z,p的关系为:N= p-z 。ssf若N为正,表示 逆时针运动,包围原点;f若N为0,表示 不包围原点;f若N为负,表示 顺时针运动,包围原点。f二、
4、乃奎斯特稳定判据:二、乃奎斯特稳定判据: 对于一个控制系统,若其特征根处于s右半平面,则系统是不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 ,其零点恰好是闭环系统的极点,因此,只要搞清F(s)的的零点在s右半平面的个数,就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零,则闭环系统是稳定的。( )1( )( )F sG s H s 我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性,因此开环频率特性是已知的。设想: 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面,则根据柯西幅角定理知:该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为: 当已知开环右半极点数时,便可由N判断闭环右极点数。( )|( )|NF
5、 sF s右极右零开环系统右半极点数P 闭环系统右半极点数Z这里需要解决两个问题:1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线,并且它是满足柯西幅角条件的?2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N,并将它和开环频率特性 相联系?()GH j它可分为三部分:部分是正虚轴, 部分是右半平面上半径为无穷大的半圆; 从 ;部分是负虚轴, 。0 ,jsR eR 0 第1个问题:先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线 包围整个s右半平面,这条封闭曲线称为奈魁斯特路径。如下图:s22 F(s)平面上的映射是这样得到的:以 代入F(s)并令 从 变化,得第一部分的映射;在F(s
6、)中取 使角度由 , 得第二部分的映射;令 从 ,得第三部分的映射。稍后将介绍具体求法。sj0jsR e22 R 0 得到映射曲线后,就可由柯西幅角定理计算 ,式中:是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N,可求出 。当 时,系统稳定;否则不稳定。kkNPZ,kkZPkkZPN0RZ 第2个问题:辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的辅助方程为 , 为开环频率特性。因此,有以下三点是明显的: ( )1( )kF sG s ( )kG sF(s)对原点的包围,相当于 对(-1,j0)的包围;因此映射曲线F(s)对原点的包围次数N与 对(-1,j0)点的包围的次数一样。( )kG s
7、( )kG s奈魁斯特路径的第部分的映射是 曲线向右移1;第部分的映射对应 ,即F(s)=1;第部分的映射是第部分映射的关于实轴的对称。( )kG s( )0kG s F(s)的极点就是 的极点,因此F(s)在右半平面的极点数就是 在右半平面的极点数。( )kG s( )kG s由 可求得 ,而 是开环频率特性。一般在 中,分母阶数比分子阶数高,所以当 时, ,即F(s)=1。(对应于映射曲线第部分)()kGj()F j()kGjjse ( )0kG s ()kGjF(s)与 的关系图( )kG s)(jF)(jGk 根据上面的讨论,如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径,则可将柯西幅角
8、定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的乃奎斯特稳定判据。乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据:若系统的开环传递函数在右半平面上有 个极点,且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N,(N0逆时针,N0顺时针),则闭环系统在右半平面的极点数为: 。若 ,则闭环系统稳定,否则不稳定。kPkkZPN0kZ 乃奎斯特稳定判据的另一种描述:设开环系统传递函数 在右半 s平面上的极点数为 ,则闭环系统稳定的充要条件为:在 平面上的开环频率特性曲线极其映射当 从 变化到 时,将以逆时针的方向围绕(-1,j0)点 圈。对于开环系统稳定的情况, ,则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性曲线极其映射
9、不包围(-1,j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为: 。( )kG skP( )kG skP0kP kkZPN例例5-1 5-1 设闭环系统的开环传递函数为:设闭环系统的开环传递函数为:12( ) ( )(1)(1)KH s G sTsT s() ()H jG j的轨迹如图所示。的轨迹如图所示。( ) ( )H s G s在右半在右半s s平面内没有任何极点,并且平面内没有任何极点,并且() ()H jG j的轨迹不包围的轨迹不包围 。10j 所以对于任何的值,该系统都是稳定的。所以对于任何的值,该系统都是稳定的。解:解:Nyquist DiagramReal AxisImagin
10、ary Axis-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.6-0.4-0.200.20.40.6例5-1中的() ()H jG j极坐标图 例5-2 设开环系统传递函数为: ,试用乃氏判据判断闭环系统的稳定性。252( )(1)(25)kG ssss解:开环极点为-1, -1 j2,都在s左半平面,所以 。奈氏图如右。从图中可以看出:奈氏图顺时针围绕 (-1,j2)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为: ,闭环系统是不稳定的。0kP 2kkZPN 上面讨论的乃奎斯特判据和例子,都是假设虚轴上没有开环极点,即开环系统都是0型的,这是为了满足柯西幅角定理的条件。但是对于
11、、型的开环系统,由于在虚轴上(原点)有极点,因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。为了解决这一问题,需要重构乃奎斯特路径。( )( )G s H s含有位于含有位于虚轴虚轴上极点和上极点和/或零点的特殊情况或零点的特殊情况平面sj0j0j j j1ABC平面GHReIm,FEDFEDABC00( )( )(1)KG s H ss Ts变量沿着j轴从j 运动到0j,从0j到0j,变量s运动到 。j沿着半径为1 )的半圆运动,再沿着正j轴从0j(s对于包含因子1,2,3,s的开环传递函数( )( )G s H s变量s沿半径为(1)的半圆运动时,( )( )G s H s中将有个半径为无
12、穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。,当的图形2( )( )(1)KG s H ss Tsjse22lim( )( )jjseKG s H se当s平面上的9090 时,( )( )G s H s的相角180180例如,考虑开环传递函数:例如,考虑开环传递函数:在右半s平面内没有极点,并且对所有的正K值,轨迹包围10j 点两次。所以函数1( )( )G s H s在右半s平面内存在两个零点。因此,系统是不稳定的。 例5-3 (课本123页例题)判别具有如下开环传递函数的闭环1122(1)( )( )(1)K TsG s H sTTs T s()系统的稳定性:(1)11222(1)( )( )(1)
13、K TsG s H sTTs T s()(2)解:(1) 作出开环频率特性曲线如图所示。由于有一个极点位于 s 平面的原点上,即从曲线上 的点开始,按顺时针方向转过 ,到 点,如图中点划线所示。002 1 90o 由于增补开环频率特性曲线没有包围(-1, j0)点(N=0),而且开环系统在右半 s 平面无极点(P=0),因此系统稳定。例5-3(1) 开环对数频率特性解:(2)11222(1)( )( )(1)K TsG s H sTTs T s() 分别取 和 两种情况绘制增补开环频率特性曲线如图所示。12TT12TTReIm00121TT 平面GH(a) 在图(a)中, 曲线没有包围(-1,
14、 j0)点(N=0),而且开环系统在右半 s 平面无极点(P=0),所以闭环系统是稳定的。12TT平面GHReIm00121TT 在图(b)中, 曲线顺时针包围(-1, j0)点两次(N=-2),开环系统在右半 s 平面无极点(P=0),根据 Z=P-N 得到 Z=2,即闭环系统有两个极点位于右半平面。12TT(b)1 1、已知系统开环幅相频率特性如下图所示,试根据、已知系统开环幅相频率特性如下图所示,试根据奈氏判据判别系统的奈氏判据判别系统的稳定性稳定性, ,并说明闭环右半平面的极点个数。其中并说明闭环右半平面的极点个数。其中P P为为开环传递函数在开环传递函数在s s右半右半平面极点数,平
15、面极点数,Q Q为开环系统积分环节的个数。为开环系统积分环节的个数。 三、相对稳定性三、相对稳定性 当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时,系统处于临界稳定状态。这时: 。对于最小相位系统,可以用 和 来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度,或称为稳定裕度。稳定裕度越大,稳定性越好。()1, ()180 ,gccgA ()gA()c 定义: 和 为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。1()ggkA180()c 在对数坐标图上,用 表示 的分贝值。即gLgk20log20log()gggLkA 显然,当 时,即 和 时,闭环系统是稳定的;否则是不稳定的。对于最小相位系统, 和 是同时发生或同时不发生
16、的,所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。0gL ()1gA00gL 0幅值稳定裕度物理意义:稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加 倍(奈氏图)或增加 分贝(波德图),则系统处于临界状态。若增加的倍数大于 倍(或 分贝),则系统变为不稳定。gkgLgLgk比如,若增加开环放大系数K,则对数幅频特性曲线将上升,而相角特性曲线不变。可见,开环放大系数太大,容易引起系统的不稳定。相位稳定裕度的物理意义:稳定系统在幅值穿越频率 处将相角减小 度,则系统变为临界稳定;再减小,就会变为不稳定。c例5-4 (课本126页例题)设单位反馈系统的开环传递函数为5( )( )(1)(0.251
17、)(0.11)G s H ssss试求系统的相角裕量 和幅值裕量 ,并确定使系统稳定的最大开环增益。gK解: 首先绘出开环对数幅频特性曲线和相频特性曲线如图所示。由图可知,幅值穿越频率 。从图中也可量出相位裕量 。或由课本 125 页(5-41)求出 ,再由(5-42)式计算确定相位裕量 。3.2cc 从图中也可看出,相位交界频率 ,可以量出对应的幅值裕量为 。或由课本 125 页(5-43)式求出 ,再由(5-44)式求出 。由于相位裕量为正( )且幅值裕量( ),因此系统稳定。7.3g12()dBgK g()dBgK01gK 课本126页例题对应的对数频率特性曲线稳定裕度概念使用时的局限性
18、:1、在高阶系统中,奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可能不止一个,这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义;2、非最小相位系统不能使用该定义;3、有时幅值和相位稳定裕度都满足,但仍有部分曲线很靠近(-1,j0)点,这时闭环系统的稳定性依然不好。如下图所示系统:5.5.4 4 乃奎斯特稳定判据和相对稳定性乃奎斯特稳定判据和相对稳定性1、二阶系统阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系二阶系统阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系典型二阶系统方框图如下图所示开环传递函数为:2( )(2)nnG ss s2()(2)nnG jjj开环频率特性为:设截止频率为2222()14ncccnG j c则有42(4
19、12cn 可求得增益交界频率为根据相位裕度的定义 180()180902ccnarctg 42412902arctg 422412arctg 上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。即: 二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系00.20.40.60.811.21.41.61.820102030405060708090相位裕度与阻尼比直接相关。上图相位裕度与阻尼比直接相关。上图表示表示了相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准了相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准二阶系统,相位裕度与阻尼比之间的关系近二阶系统,相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下:似地用直线表示如下:100因此,相位裕度相当于阻尼
20、比。对于具有一因此,相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统,当根据频率响应估对主导极点的高阶系统,当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性(即阻尼比)时,计瞬态响应中的相对稳定性(即阻尼比)时,根据经验,可以应用这个公式。根据经验,可以应用这个公式。 212rn21dn 对于小的阻尼比,谐振频率与阻尼自然对于小的阻尼比,谐振频率与阻尼自然频率的值几乎是相同的。因此,对于小的阻频率的值几乎是相同的。因此,对于小的阻尼比,谐振频率的值表征了系统瞬态响应的尼比,谐振频率的值表征了系统瞬态响应的速度。速度。0.10.20.30.40.50.60.70.800.511.522.533.5的
21、值越小,rM和pM的值越大。rrM和pM与之间的函数关系如右0.4时,rM和pM存在相近的关系。对于很值,rM将变得很pM却不会超过1。 图所示。可以看出,当之间小的大,而MrMpdB)(L0带宽b33截止频率与系统带宽参看右图,当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下3分贝时,对应的频率称为截止频率。()( 0)20lg20lg3()( 0)C jC jdBR jR jb对应的( 0)20lg0( 0)C jdBR j系统()20lg3()C jdBR j b2、截止频率带宽截止频率带宽 闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量,但是可闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量,但是可以使频率低于截止频率的信号分量通过。以使频率低于截止频率的信号分量通过。 闭环系统的幅值不低于-3分贝时,对应的频率范围称
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