第一章点和直线的投影

1、abcABC基基 本本 要要 求求1. 了解平行投影法及点和直线的投影特点；2. 掌握点的投影规律及其投影与坐标的关系；3. 掌握两点的相对位置；4. 熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图法；5. 掌握直线上点的投影特性及定比关系；6. 熟练掌握直角三角形法求直线的实长及倾角；7. 掌握两直线的相对位置及其投影特性。1-1 1-1 投影的基本知识投影的基本知识 在现代工程建设中所使用的图样都是采用投影的方法绘制出来的。这种绘制方法叫作投影法。就是使物体在平面上产生图像的一种方法。 一、中心投影法一、中心投影法形体形体投射线投射线中心投影法的中心投影法的 特点：特点： 投影的大小随投影的大小随着

2、物体与投影面着物体与投影面距离的变化而变距离的变化而变化。化。ABCS 投射中心投射中心投影面投影面 中心中心 投影投影abc工程上的透视投影图工程上的透视投影图 一、中心投影法一、中心投影法 二、平行投影法二、平行投影法形体形体ABC投影面投影面 斜投影斜投影abc 平行投影法的平行投影法的投影特点：投影特点： 物体在投影体系物体在投影体系中平行移动时，其中平行移动时，其投影的形状和大小投影的形状和大小都不变。都不变。 二、平行投影法二、平行投影法形体形体ABC投影面投影面 正投影正投影abc 平行投影法的平行投影法的投影特点：投影特点： 物体在投影体系物体在投影体系中平行移动时，其中平行移

3、动时，其投影的形状和大小投影的形状和大小都不变。都不变。 工程图样工程图样都是采用正都是采用正投影绘制出投影绘制出来的。来的。 二、平行投影法二、平行投影法轴测投影图轴测投影图多面投影图多面投影图 三、建立多面投影体系三、建立多面投影体系SA1aA2A3 仅有点的一仅有点的一个投影不能唯个投影不能唯一确定其空间一确定其空间点的位置点的位置VVV 三、建立多面投影体系三、建立多面投影体系 仅有一个仅有一个投影不能确投影不能确切地表达物切地表达物体的形状。体的形状。W 三、建立多面投影体系三、建立多面投影体系 为确切表达点的位置和物体的形状，必须建立由多个投影面构成的为确切表达点的位置和物体的形状

4、，必须建立由多个投影面构成的投影体系。投影体系。VOxOxVyz 四、直线和平面的投影特点四、直线和平面的投影特点 在正投影法中，直线和平面的三个在正投影法中，直线和平面的三个重要特点：重要特点： 物体上凡是与投影面平行的直线和平面，其投影反映实长或实形。物体上凡是与投影面平行的直线和平面，其投影反映实长或实形。 物体上凡是与投影面相垂直的直线和平面，其投影都具有积聚性。物体上凡是与投影面相垂直的直线和平面，其投影都具有积聚性。 物体上凡是与投影面倾斜的直线和平面，其投影成缩小的类似形。物体上凡是与投影面倾斜的直线和平面，其投影成缩小的类似形。BACDEabcdeDABCEa(b）cdeBAC

5、DEabcde1-2 1-2 点的投影点的投影V 一、点的两面投影一、点的两面投影VOAxaaax 点的正投影实际就点的正投影实际就是：通过空间点的投是：通过空间点的投影面垂直线与投影面影面垂直线与投影面的交点。的交点。1.1.点的投影点的投影2.2.投影面展开投影面展开OxVaaxHaOxVaaxHaH 一、点的两面投影一、点的两面投影 点在两面投影体系中的点在两面投影体系中的投影规律：投影规律：（1 1）空间点的两面投影连线必定垂直于其间的投影轴；）空间点的两面投影连线必定垂直于其间的投影轴； （2 2）点到投影面的距离等于另一投影到投影轴的距离；）点到投影面的距离等于另一投影到投影轴的距

6、离；VOAxaaax 二、点的三面投影二、点的三面投影WOxVyzaaAaax1 1、点的投影、点的投影 2 2、投影面展开、投影面展开xHOWaazayayzyHyWaaxVaxHOWaayayzyHyWaaxVaaz 二、点的三面投影二、点的三面投影WOxVzaaAaaxyyxzxyz 点在三面投影体系中的点在三面投影体系中的投影规律：投影规律：（1 1）点的投影连线垂直于相应的投影轴；即：）点的投影连线垂直于相应的投影轴；即：a a X轴；轴；a a Z轴轴（2 2）点到投影面的距离等于另一投影到相应投影轴的距离；即：）点到投影面的距离等于另一投影到相应投影轴的距离；即： Aa = aa

7、y = a az = xA Aa = a az = aax =yA Aa =a a y = a ax =zA azayOWazyHyWxHaVa 点在三面投影体系中的点在三面投影体系中的 投影规律：投影规律： （1 1）点的投影连线垂直于相应的投影轴；即：）点的投影连线垂直于相应的投影轴；即：a a X轴；轴；a a Z轴轴 （2 2）点到投影面的距离等于另一投影到相应投影轴的距离；即：）点到投影面的距离等于另一投影到相应投影轴的距离；即： Aa = aay = a az = xA Aa = a az = aax =yA Aa =a a y = a ax =zA 二、点的三面投影二、点的三面投

8、影例题1 如图所示，如图所示， 已知已知A点的两个点的两个 投影投影 a 和和 a， 求作求作 axHOWaayayzyHyWaaxVaaz 三、点的坐标与投影三、点的坐标与投影 点在三面投影体系中的点在三面投影体系中的投影规律：投影规律：（1 1）点的投影连线垂直于相应的投影轴；即：）点的投影连线垂直于相应的投影轴；即：a a X轴；轴；a a Z轴轴（2 2）点到投影面的距离等于另一投影到相应投影轴的距离；即：）点到投影面的距离等于另一投影到相应投影轴的距离；即： Aa = aay = a az = xA Aa = a az = aax =yA Aa =a a y = a ax =zA W

9、OxVzaaAaaxyazayyxzxyzHOWzyHyWVaa10203051525mm1020515mmx1020515mm10203051525mmbbb1020515mm1020515mma作图： 先画出x、y、z三根相互垂直的坐标轴及45度线； 由A点坐标x=20作出V、H投影连线垂直于x轴；由y=15作yh和yw轴的垂直连线；由z=10作V、W投影连线垂直于z轴，投影连线的交点就为A点的投影a 、 a 、a； 同理，可以求出B点的三面投影b 、 b 、b 三、点的坐标与投影三、点的坐标与投影例题2 已知已知A（20,15,10）与与B （ 10,10,5）的坐标值，试求出点）的坐标

10、值，试求出点A和和B的的 三面投影三面投影a 、 a 、a及及b 、 b 、bxHOWzyHyWVb 三、点的坐标与投影三、点的坐标与投影OxWVzbBybcddBbcdbbcccDDdd？CCccd 投影面及投影轴上点的投影面及投影轴上点的投影特点：投影特点：（1 1）投影面上点的该面投影为其本身，另两个投影必定在相应的投影轴上。）投影面上点的该面投影为其本身，另两个投影必定在相应的投影轴上。（2 2）投影轴上点的两面投影为其本身，另一个投影必在该投影轴的原点上。）投影轴上点的两面投影为其本身，另一个投影必在该投影轴的原点上。OxVV1 三、点的坐标与投影三、点的坐标与投影bxbBbdDdd

11、xccxCcxcccxbbddbxdx 不同分角中点的不同分角中点的投影特点：投影特点：（1 1）第）第分角中点的正面投影和点的水平投影同时在分角中点的正面投影和点的水平投影同时在x轴的上方；轴的上方；（2 2）第）第分角中点的正面投影在分角中点的正面投影在x轴下方而水平投影在轴下方而水平投影在x轴的上方；轴的上方；（3）第）第分角中点的正面投影和点的水平投影同时在分角中点的正面投影和点的水平投影同时在x轴的下方。轴的下方。VHWxVzy左左 右右左左 右右 上上 下下上上 下下后后 前前后后 前前 四、两点的相对位置四、两点的相对位置1 1、投影体系的方位、投影体系的方位2 2、两点的相对位

12、置、两点的相对位置两点中x 值大的点 在左两点中y 值大的点 在前 两点中z 值大的点 在上yWyH后后 前前z后后 前前上上 下下xO左左 右右 四、两点的相对位置四、两点的相对位置zbbbaaaOxyHyw 重影点：重影点：空间的两点在某一投影面上的投影重合为一点，则称空间的两点在某一投影面上的投影重合为一点，则称 这两点为该投影面上的重影点。这两点为该投影面上的重影点。 重影点可见性的判断：重影点可见性的判断：坐标值大的可见，坐标值小的不可见。坐标值大的可见，坐标值小的不可见。WOxVBbbbAaaazycc cC（ ）cc(c)1-3 1-3 直线的投影直线的投影 空间直线的投影可认为

13、：空间直线的投影可认为： 过直线上各点的投影线所构成的投射面与投影面的交线。因此直线过直线上各点的投影线所构成的投射面与投影面的交线。因此直线的投影一般仍为直线，可由直线上两端点同面投影的连线来确定。的投影一般仍为直线，可由直线上两端点同面投影的连线来确定。 一、直线的投影特性一、直线的投影特性 1.投影面的平行线投影面的平行线 只平行于只平行于投影面，倾斜于其他两个投影面的直线投影面，倾斜于其他两个投影面的直线。 (1) 水平线水平线 (2) 正平线正平线 (3) 侧平线侧平线 2.投影面的垂直线投影面的垂直线 垂直于垂直于投影面，平行于其他两个投影面的直线。投影面，平行于其他两个投影面的直

14、线。 (1) 铅垂线铅垂线 (2) 正垂线正垂线 (3) 侧垂线侧垂线 3.一般位置直线一般位置直线 即不平行也不垂直于投影面的直线。即不平行也不垂直于投影面的直线。 1 1、投影面的平行线、投影面的平行线 (1)(1)水平线：水平线：只平行于水平投影面，倾斜于其他两个投影面的直线只平行于水平投影面，倾斜于其他两个投影面的直线 投影特性：投影特性：1 1a a b b OX OX ; ; a a b b OYOYW W 2 2 abab= =ABAB，反映反映 、 角的真实大小角的真实大小 xa b ab baOzyHyW (2)(2)正平线：正平线：只平行于正立投影面，倾斜于其他两个投影面的

15、直线只平行于正立投影面，倾斜于其他两个投影面的直线投影特性：投影特性：1 ab OX ; a b OZ 2 a b =AB， 反映反映 、 角的真实大小角的真实大小xa b ab baO z yHyW 1 1、投影面的平行线、投影面的平行线 (3)(3)侧平线：侧平线：只平行于侧立投影面，倾斜于其他两个投影面的直线只平行于侧立投影面，倾斜于其他两个投影面的直线投影特性：投影特性：1 1 a a b b OZOZ ; ; abab OYOYH H 2 2 a a b b = =ABAB，反映反映 、 角的真实大小角的真实大小 yW xa b ab baO zyH 1 1、投影面的平行线、投影面的

16、平行线 x(a )b ab baO zyHyW (1)(1)正垂线：正垂线：垂直于正立投影面，平行于其他两个投影面的直线垂直于正立投影面，平行于其他两个投影面的直线 投影特性：投影特性： 1 1a a b b 积聚积聚 成一点成一点 2 2abab OXOX ; ; a a b b O OZ Z 3 3abab = = a a b b = =ABAB 2 2、投影面的垂直线、投影面的垂直线 xab ab (b)aO zyHyW投影特性：投影特性：1 1a ba b 积聚积聚 成一点成一点 2 2a a b bOXOX ; ; a a b b OYOYW W 3 3a a b b = = a a

17、 b b = = ABAB (2)(2)铅垂线：铅垂线：垂直于水平投影面，平行于其他两个投影面的直线垂直于水平投影面，平行于其他两个投影面的直线 2 2、投影面的垂直线、投影面的垂直线 xab a(b )baO z yHyW投影特性：投影特性： 1 a b 积聚积聚 成一点成一点 2 ab OYH ; a b OZ 3 ab = a b =AB (3)(3)侧垂线：侧垂线：垂直于侧立投影面，平行于其他两个投影面的直线垂直于侧立投影面，平行于其他两个投影面的直线 2 2、投影面的垂直线、投影面的垂直线 3 3、一般位置直线、一般位置直线AB 投影特性：投影特性：1 a b、 a b 、a b 均

18、小于实长均小于实长 2 a b、a b 、a b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 3不反映不反映 、 、 实角实角 一般位置直线：一般位置直线：与任何基本投影面都不平行也不垂直与任何基本投影面都不平行也不垂直babaab xzabaO yHyWabb 小结小结: : 直线投影特性直线投影特性投影面垂直线投影面垂直线: : 1. 在所垂直的投影面上的投影具有积聚性，投影成一点； 2另两个投影与相应投影轴垂直，且反映直线真实长度。一般位置直线：一般位置直线： 1. 一般位置直线的三面投影既不反映实长也没有积聚性； 2直线的三面投影与三个坐标轴都倾斜，且长度变短； 3. 投影与投影轴之间不反映直线与投

19、影面的真实夹角。投影面平行线：投影面平行线： 1在所平行的投影面上的投影反映直线的真实长度； 2另外两个投影与相应投影轴平行，且长度变短； 3. 反映实长的投影，呈现对两投影面的真实倾角。zzz正平线正平线侧垂线侧垂线侧平线侧平线铅垂线铅垂线铅垂线铅垂线侧平线侧平线一般位置直线一般位置直线 判断判断: : 直线空间位置直线空间位置xxxx 二、线段的实长及倾角二、线段的实长及倾角ABAB|zA-zB|ab|zA-zB|xaaObbABabab 利用利用H H面投影作为直角边、面投影作为直角边、ABAB两点两点Z Z向坐标差作为另一直角边，可向坐标差作为另一直角边，可以求出直线的实长及对以求出直

20、线的实长及对H H面的倾角面的倾角 AB|yA-yB|ababABxaaObb 二、线段的实长及倾角二、线段的实长及倾角|yA-yB| 利用利用V V面投影作为直角边、面投影作为直角边、ABAB两点两点Y Y向坐标差作为另一直角边，可向坐标差作为另一直角边，可以求出直线的实长及对以求出直线的实长及对V V面的倾角面的倾角 同理，要求出直线的实长及对同理，要求出直线的实长及对W W面的倾角面的倾角 ，就要利用，就要利用W W面投影作面投影作为直角边、为直角边、ABAB两点两点X X向坐标差作为另一直角边。向坐标差作为另一直角边。 二、线段的实长及倾角二、线段的实长及倾角 小小 结结1 1、直角三

21、角形法的、直角三角形法的作图特点作图特点： 1 1）用线段的一个投影作一直角边，另一直角边为直线两端点对）用线段的一个投影作一直角边，另一直角边为直线两端点对 该投影面的坐标差；该投影面的坐标差； 2 2）其三角形的斜边为直线的实长，斜边与投影边的夹角为对该）其三角形的斜边为直线的实长，斜边与投影边的夹角为对该 投影面的真实倾角投影面的真实倾角2 2、直角三角形的、直角三角形的四个要素：四个要素： 实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角，已知四要素中实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角，已知四要素中 任意两个就可求出另外两个。任意两个就可求出另外两个。3 3、解题时、解题时注意：注意：

22、直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个要素作直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个要素作 为为直角边直角边不能搞错不能搞错。 例题例题33 如图所示，已知如图所示，已知ABAB的投影的投影abab及及bb， 且且AB=AB=33mm33mm，求作正面投影，求作正面投影abab。 二、线段的实长及倾角二、线段的实长及倾角xOabbea0fABaba作图过程：作图过程： 以水平投影的以水平投影的y y坐标差作为一条直角坐标差作为一条直角边，作另一直角边；边，作另一直角边； 以以b b为圆心作斜为圆心作斜边，半径为边，半径为33mm33mm作弧，作弧，可截得正面投影长；可截得正面

23、投影长； 以投影以投影b b 为圆心，为圆心，以以eaea0 0长为半径作弧，长为半径作弧，得到得到aa，连接，连接abab及及完成正面投影完成正面投影 二、线段的实长及倾角二、线段的实长及倾角abxa补充题补充题 如图所示，已知如图所示，已知abab、a a 且知且知 =30 =30 试试求直线求直线ABAB的正面的正面 投影投影a a b b 。60 bOab30 baabAB 三、直线上的点三、直线上的点1.1.点分线段成定比点分线段成定比eeExOababee直线上点的直线上点的投影特性：投影特性： 1 1）直线上点的投影必然在该直线段的同面投影上；）直线上点的投影必然在该直线段的同面

24、投影上； 2 2）点分线段之比等于点的投影分线段同面投影之比。）点分线段之比等于点的投影分线段同面投影之比。 作图过程：作图过程： 三、直线上的点三、直线上的点 例题例题44 如图所示，试在线段如图所示，试在线段ABAB上取一点上取一点D D，使，使ADADDB=3:2 DB=3:2 。a b abxd B0D0d 过投影a任作一斜线度量五等分，按比例aD0:D0B0=3:2,确定D0、B0点。 过点B0作连线B0 b，再过点D0 作线D0 d B0 b，由交点d对应作出d。 作图过程：作图过程： 三、直线上的点三、直线上的点 例题例题55 如图，已知直线如图，已知直线AB上点上点E正面投影正

25、面投影e，求作水平投影，求作水平投影e。b abxe 过投影过投影a a任作一斜线任作一斜线并量取并量取V V面投影面投影ab=abab=ab0 0 ，ae=aeae=ae0 0 。 连接连接bbbb0 0并作并作eeee0 0bbbb0 0就可求出就可求出e eb0e0ea O 直线与投影面的交点称为该直线的迹点。直线与H面的交点称为水平迹点，用M表示；直线与V面的交点称为正面迹点，用N表示；直线与W面的交点称为侧面迹点，用S表示。abABbaNnmnmMb nn m a ab xOa b ab xOn n m m 三、直线上的点三、直线上的点2.2.直线的迹点直线的迹点 直线迹点的直线迹点

26、的基本特性：基本特性： 1 1）迹点即在空间直线上又在投影面上，它是直线和投影面的共有点。）迹点即在空间直线上又在投影面上，它是直线和投影面的共有点。 2 2）直线的该面迹点的另外一个投影同时在轴上和直线的对应投影上。）直线的该面迹点的另外一个投影同时在轴上和直线的对应投影上。1-4 1-4 两直线的相对位置两直线的相对位置 两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉。两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉。ABCD ABCDCDCDABABabcdabcdcdababcdEeEe1(2) 一、平行两直线一、平行两直线 平行两直线的投影可以认为，过空间平行两直线上各点的投影连线，平行两直线的投

27、影可以认为，过空间平行两直线上各点的投影连线，所构成的两个平面与投影面的交线。所构成的两个平面与投影面的交线。ABCDabcdxOyHyWzabcdabcdabcd 平行两直线平行两直线投影特性：投影特性： 1 1若空间两直线相互平行若空间两直线相互平行 则它们的同面投影必然相互平行。则它们的同面投影必然相互平行。 2 2平行两线段之比等于其投影之比，即平行两线段之比等于其投影之比，即AB:CD=AB:CD=a a b b : :c c d d = = a ba b: : c dc d。 一、平行两直线一、平行两直线 如果两面投影分别平行，能否判断空间两直线相互平行？如果两面投影分别平行，能否

28、判断空间两直线相互平行？xOefmnefnmyWzyH 能！（能！（仅限于两直线都是一般位置直线仅限于两直线都是一般位置直线）fenm 二、相交两直线二、相交两直线 相交两直线的交点为一共有点，该点的投影具有直线上点的投影性质。相交两直线的交点为一共有点，该点的投影具有直线上点的投影性质。因此，交点的投影，一定是两直线同面投影的交点因此，交点的投影，一定是两直线同面投影的交点。ABCDabcdxOyHyWzabcdabcdabcdkkk 平行两直线平行两直线投影特性：投影特性： 两直线相交时同面投影也必然相交，且交点的投影符合点的投影规律。两直线相交时同面投影也必然相交，且交点的投影符合点的投

29、影规律。 空间既不平行也不相交的两直线称交叉直线。交叉两直线不具备平行空间既不平行也不相交的两直线称交叉直线。交叉两直线不具备平行和相交的投影性质，交叉两直线同面投影的交点为重影点。和相交的投影性质，交叉两直线同面投影的交点为重影点。 三、交叉两直线三、交叉两直线投影特性：投影特性： 1.两交叉直线的同面投影至少有一个相交，且两面投 影交点的连线不垂直于投影轴； 2.两交叉直线重影点的可见性，要由两直线上的点距 该投影面坐标值的大小来确定。 ABCDababcdcdO1(2)3 (4)xOabcdabcd13 (4)3421(2) 四、垂直两直线四、垂直两直线 这里所讨论的两直线垂直，是指其中至少有一条直线平行于投影面时的这里所讨论的两直线垂直，是指其中至少有一条直线平行于投影面时的垂直情况。垂直情况。BCAabcabcabcxO 若空间两直线相互垂直，且又同时平行于投影面时，则两直线在所平行的投