线性代数—二次型的标准形和规范形学习教案

1、会计学1线性代数线性代数二次型的标准二次型的标准(biozhn)形和形和规范形规范形第一页，共33页。2如果二次型如果二次型 AXXxxxfTn ),(21 通过可逆线性变换通过可逆线性变换CYX ，化为二次型，化为二次型 2222211nnTydydydBYY ， 则称之为原二次型的则称之为原二次型的标准形标准形。 定义(dngy)实实际际上上， 二二次次型型AXXxxxfTn ),(21化化为为标标准准形形的的问问题题，等等价价于于该该二二次次型型的的矩矩阵阵A合合同同于于一一个个对对角角矩矩阵阵的的问问题题。 下面(xi mian)介绍二次型化为标准形的方法。第2页/共33页第二页，共3

2、3页。3 kkjijjiiyxyyxyyx), 2 , 1(jiknk 且且拉格朗日配方法(fngf)的基本步骤：2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法(fngf)配方.1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形; ixix第3页/共33页第三页，共33页。4例1用配方法(fngf)化二次型 解32312123222162252xxxxxxxxxf 为标准(biozhn)形，并写出对应的可逆线性变换。3231212

3、3222162252xxxxxxxxxf 31212122xxxxx 322322652xxxx 的的项项配配方方含含有有1x含有平方项2321)(xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项322322232144)(xxxxxxx ,)2()(2322321xxxxx 第4页/共33页第四页，共33页。5,)2()(2322321xxxxxf 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111 yyyxxx标准(biozhn)形为.2221yyf 所用(su yn)变换矩阵为,1002101

4、11 C)01( C第5页/共33页第五页，共33页。6例2用配方法(fngf)化二次型 解为标准(biozhn)形，并写出对应的可逆线性变换。323121622xxxxxxf 所给二次型中无平方(pngfng)项，所以先作线性变换,33212211 yxyyxyyx 321221100011011 yyyxxx即即原二次型化为.842232312221yyyyyyf 第6页/共33页第六页，共33页。7.842232312221yyyyyyf 再配方(pi fng)，得,6)2(2)(223232231yyyyyf 333223112 yzyyzyyz令令, 2 33322311 zyzzy

5、zzy.622232221zzzf 321321100210101 zzzyyy即即标准(biozhn)形为第7页/共33页第七页，共33页。8 100210101100011011C,100111311 )02( C所用(su yn)变换矩阵为 321221100011011 yyyxxx 321321100210101 zzzyyy对应(duyng)的线性变换为.33321232113 zzzxzzxzzx第8页/共33页第八页，共33页。9由由上上节节定定理理可可知知，对对实实对对称称阵阵A，总总可可找找到到正正交交阵阵P，使使APP1 为为对对角角阵阵， 定理(dngl)任何二次型都可

6、以通过(tnggu)正交变换化为标准形。TPP 1，故故APPAPPT 1。 而由正交阵性质可知， 阵阵P正好用来作为变换正好用来作为变换CYX 中的矩阵中的矩阵C。 当当C是是正正交交阵阵时时， 我我们们称称CYX 是是一一个个正正交交变变换换。 因此这样的正交 第9页/共33页第九页，共33页。10;, . 1AAXXfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;, . 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出;, . 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特;),(, , . 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量

7、., . 52211nnyyffCYX 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换第10页/共33页第十页，共33页。11例3用正交变换将二次型 解化为标准(biozhn)形，并求所作的正交变换。323121232221844141417 xxxxxxxxxf 二次型的矩阵(j zhn) 144241422217A, )9()18(2 144241422217 AE第11页/共33页第十一页，共33页。12144241422217 AE, )9()18(2 ,91 5424522289AE,2211 ,000110452 ,183,2 44244222118AE,000000221 ,012

8、2 ,1023 第12页/共33页第十二页，共33页。13,2211 ,0122 ,1023 012 1023 45,54251 45503245451324525231P再单位(dnwi)化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵正交化，第13页/共33页第十三页，共33页。14于是(ysh)所求正交变换为,PYX yyf 标准(biozhn)形为第14页/共33页第十四页，共33页。15例4用正交变换将二次型 解化为标准(biozhn)形，并求所作的正交变换。434232413121222222 xxxxxxxxxxxxf 二次型的矩阵(j zhn) 011110111

9、1011110A 111111111111 AE 1111111111111) 1( 第15页/共33页第十五页，共33页。16 1111111111111) 1( 1221)1(2 .)1)(3(3 ,31 1000212022101111) 1( 31111311113111133AE 111111111111 AE第16页/共33页第十六页，共33页。17 31111311113111133AE,0000110001101131 ,11111 ,12 1111111111111111AE 111111111111 AE,0000000000001111 ,1001,0101,001143

10、2 第17页/共33页第十七页，共33页。18正交化，,1001,0101,0011432 00112101013 ,021121 ,02113 第18页/共33页第十八页，共33页。19,1001,0101,0011432 ,02113 02116100112110014 ,622261 ,31114 第19页/共33页第十九页，共33页。20,11111 ,00112 ,02113 ,31114 123002112162021121612121121612121P再单位(dnwi)化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵所作正交变换为,PYX .324232221yyyyf 标准(biozhn

11、)形为第20页/共33页第二十页，共33页。21已已知知二二次次曲曲面面方方程程4222222 yzxzbxyzayx可可以以经经过过正正交交变变换换 Pzyx. . 化化为为椭椭圆圆柱柱面面方方程程4422 , ,求求ba,的的值值. . 例5解二次型二次型224 f的矩阵为的矩阵为 410, , 原二次型的矩阵为原二次型的矩阵为 111111abb, , 第21页/共33页第二十一页，共33页。22由由)(tr)(trBA , ,得得52 a, , 二次型二次型224 f的矩阵为的矩阵为 410, , 原二次型的矩阵为原二次型的矩阵为 111111abb, , 由题意(t y),这两个矩阵

12、相似, 由由BA , ,得得,0) 1(2 b.1 b ;3 a第22页/共33页第二十二页，共33页。23一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法(fngf)化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的。 但是，标准形中所含有(hn yu)的项数是确定的，项数等于二次型的秩,2222211rrykykykf )0( ik 实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次型所确定，这就是下面的“惯性定理”。第23页/共33页第二十三页，共33页。24定理(dngl)(惯性定理(dngl)对任意二次型对任意二次型AXXxxxfTn

13、 ),(21, , 2211ppydydf ,2211rrppydyd p为正惯性(gunxng)指数,正负惯性指数的差 称为二次型的符号差.rpqp 2为负惯性指数,prq 设设二二次次型型AXXxxxfTn ),(21通通过过可可逆逆线线性性变变换换CYX 化化为为下下列列标标准准形形 无论用何种可逆线性变换把它化为标准形,其中正的系数个数(称正惯性指数)和负的系数个数(称负惯性指数)唯一(wi y)确定. 第24页/共33页第二十四页，共33页。25,22112211rrppppydydydydf ,CYX 继续(jx)作可逆线性变换 nnrrrrrzyzyzdyzdy1111111矩阵

14、(j zhn)形式为,1ZCY ,10110111 rddC第25页/共33页第二十五页，共33页。26二次型化为,221221rppzzzzf 称之为二次型的规范(gufn)形.定理 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规范(gufn)形,且规范(gufn)形是唯一的.化二次型时，所作的线性变换不一定(ydng)是正交变换。第26页/共33页第二十六页，共33页。27P222 习题(xt)五第27页/共33页第二十七页，共33页。28第28页/共33页第二十八页，共33页。291、用配方法(fngf)化二次型 为标准(biozhn)形，并写出对应的可逆线性变换。323121xxxxxxf 解

15、所给二次型中无平方项，所以先作线性变换 ,33212211 yxyyxyyx,)( 2322231yyyyf 有有第29页/共33页第二十九页，共33页。30 ,3322311 yzyzyyz再令再令 ,33212211 yxyyxyyx,)( 2322231yyyyf 有有, 3322311 zyzyzzy或或, 232221zzzf 得标准形得标准形,3332123211 zxzzzxzzzx所用(su yn)可逆线性变换为第30页/共33页第三十页，共33页。31化为标准型，并指出 表示何种二次1),(321 xxxf曲面.323121232221321662355),(xxxxxxxxxxxxf 2、求一正交变换，将二次型解,333351315 A, )9)(4( AE,9, 4, 0321 的特征值为的特