单自由度系统的振动(上课用).

1、12 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 利利：振动给料机：振动给料机 弊弊：磨损，减少寿命，影响强度：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛振动筛 引起噪声，影响劳动条件引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。消耗能量，降低精度等。3. 研究振动的目的研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动：消除或减小有害的振动，

2、充分利用振动 为人类服务。为人类服务。 2. 振动的利弊振动的利弊：1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。3 4. 振动的分类振动的分类： 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 弹性体的振动弹性体的振动 按系统的输入（激励）分类按系统的输入（激励）分类： 自由振动：自由振动： 无阻尼的自由振动无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动，衰减振动有阻尼的自由振动，衰减振动 强迫振动：强迫振动： 无阻尼的强迫振动无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动 自激振动

3、自激振动本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。4按系统的输出（响应）分类按系统的输出（响应）分类简谐振动简谐振动周期性振动周期性振动瞬态振动瞬态振动随机振动随机振动按描述系统的微分方程的按描述系统的微分方程的性质分类性质分类线形振动线形振动非线形振动非线形振动5振动问题的求解步骤：振动问题的求解步骤：1、建立振动系统的力学模型、建立振动系统的力学模型 抓住系统振动的主要特征，忽略次要因素，抽抓住系统振动的主要特征，忽略次要因素，抽 象出象出来一个简化的理论模型。来一个简化的理论模型。 一个振动系统必须具有弹性元件和质量元件。一个振动系统必须

4、具有弹性元件和质量元件。 振动三要素：质量、弹簧、阻尼振动三要素：质量、弹簧、阻尼2、建立振动系统的数学模型、建立振动系统的数学模型牛顿第二定律、定轴转动方程、拉格朗日方程等牛顿第二定律、定轴转动方程、拉格朗日方程等3、求解运动微分方程、求解运动微分方程 解析法、数值法解析法、数值法789振动系统模型及其简化振动系统模型及其简化10电动机和梁组成的振动系统电动机和梁组成的振动系统11连杆连杆飞轮的扭转振动飞轮的扭转振动12单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动1、单自由度线形系统的运动微分方程及其系统特性、单自由度线形系统的运动微分方程及其系统特性牛顿运动定律法牛顿运动定律法)()()(

5、)(tFtkxtxctxm 13)()()()()(tkytyctkxtxctxm 14)()()()(tFtkxtxctxm 15拉格朗日方程法QdydVdydEyddEdtd)(16振动系统的线性化处理17)()()0 , 0()0 , 0()0 , 0()0 , 0()0 , 0()0 , 0(!)0 , 0(!)0 , 0()0 , 0()0 , 0()0 , 0(),()()()(tFkxxctxmxckxNcxfkxffxxfxxffNxxnfxxnfxxfxxffNxxfNtNtFtxmnnnnnn ，记忽略表示恒力的仅取一次项，得18用于流体力学实验的压用于流体力学实验的压力表

6、，具有均匀内经，力表，具有均匀内经，截面积为。内有长度为截面积为。内有长度为、密度为的液体，在静、密度为的液体，在静止液面附近做微幅摆动止液面附近做微幅摆动，假设液体运动时均匀，假设液体运动时均匀的，壁管的摩擦力忽略的，壁管的摩擦力忽略不计，试建立其运动微不计，试建立其运动微分方程分方程19一个质量为的均一个质量为的均匀半圆柱体在水匀半圆柱体在水平面上做无滑动平面上做无滑动的往复运动，圆的往复运动，圆柱体半径为，重柱体半径为，重心在点，物体对心在点，物体对重心的回转半径重心的回转半径为，试导出系统为，试导出系统的运动微分方程的运动微分方程2021 4-1单自由度系统无阻尼自由振动单自由度系统无

7、阻尼自由振动 一、自由振动的概念一、自由振动的概念：221、自由振动微分方程及其解、自由振动微分方程及其解tAtAtxtAtAtxtAtAtxirirrtxtxmkxktxmkmgtkxtxmnnnnnnnnnnnnnnnststsincos)(cossin)(sincos)(,00)()(,/)()(00)()(22212121212222 则23正弦和余弦函数是周期函数正弦和余弦函数是周期函数ttttttnnnnnnnncos)/2(cos)2cos(sin)/2(sin)2sin(这表明物体的运动是振动，周期为这表明物体的运动是振动，周期为n/2000202000020100arctan

8、)()cos()(sin/cos)(/,)0(,)0(xvvxAtAtxtvtxtxvAxAvxxxnnnnnn得记初始条件为242.无阻尼自由振动的特性无阻尼自由振动的特性（1）单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数，即）单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数，即谐波函数表示，故称为谐波振动，该系统称为谐振子。谐波函数表示，故称为谐波振动，该系统称为谐振子。（2）自由振动的角频率，即系统的自然频率，仅由系统本）自由振动的角频率，即系统的自然频率，仅由系统本身的参数确定，与外界激励和初始条件无关。身的参数确定，与外界激励和初始条件无关。（3）无阻尼自由振动具有）无阻尼自由振动具

9、有“等时性等时性”，即线形系统自由振，即线形系统自由振动的周期由系统本身的参数所确定，与外界激励和初始条动的周期由系统本身的参数所确定，与外界激励和初始条件无关。件无关。（4）自由振动的振幅）自由振动的振幅A和初相角和初相角 由初始条件所决定由初始条件所决定25谐波振动的几种表示方法谐波振动的几种表示方法三角函数表示法：三角函数表示法：)cos()()2/cos()()cos()(2tAtxtAtxtAtxnnnnn 26旋转矢量表示法：旋转矢量表示法：2728复数表示法：复数表示法：biatitzz)sin()cos(titititiitieiAzeiAzeAeAeAez2000)()()(

10、 29等效刚度等效刚度刚度是指系统在某点沿指定方向产生单位位移（角位移）时，在刚度是指系统在某点沿指定方向产生单位位移（角位移）时，在该点沿同一方向所要施加的力（力矩）。单位位移所需要的力。该点沿同一方向所要施加的力（力矩）。单位位移所需要的力。30设杆长为设杆长为l，截面积为，截面积为A，截面惯性矩为，截面惯性矩为I，截面极惯性矩，截面极惯性矩为为Ip，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E，切面模量为，切面模量为G，确定端点，确定端点B处在处在x方向、方向、y方向和轴转动方向的刚度。方向和轴转动方向的刚度。1)拉压刚度拉压刚度lEAkx2）弯曲刚度）弯曲刚度33lEIky3）扭转刚度）扭转刚

11、度lGIkp31例：简支梁横向振动例：简支梁横向振动均匀简支梁的横向振动均匀简支梁的横向振动假设系统的质量全部假设系统的质量全部集中在梁的中部，且集中在梁的中部，且假定为假定为m。取梁的中。取梁的中部挠度部挠度作为系统作为系统位移，根据材料力学位移，根据材料力学得静挠度为得静挠度为333480)()(4848mlEImktuktumlEIPkEIEIPlenee振动固有频率为系统自由振动方程为等效刚度定义简支梁为梁截面的抗弯刚度。式中 32组合刚度组合刚度 弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度212121212211 , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkFeqststst并联21

12、21eq21212121k )11()11( kkkkkkmgkmgkkmgkmgkmgeqstststst串联并联串联33 弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度212121212211 , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkFeqststst并联2121eq21212121k )11()11( kkkkkkmgkmgkkmgkmgkmgeqstststst串联并联串联34求图中所示各振动系统的自然频率求图中所示各振动系统的自然频率3536等效质量等效质量1）弹簧的等效质量）弹簧的等效质量弹簧在平衡时的长度为弹簧在平衡时的长度为l，线密度为线密度为 （kg/m ），），试求系统的等

13、效质量试求系统的等效质量。CmtkxtxmCtxmktxtxtxmktxtxtxmktx)(21)(21)(21)(210)()()()(0)()(2222 积分，有37从能量守恒出发，讨论弹簧的等效质量问题Cmtkxtx)(21, 0)(maxCmtxmtx)(21, 0)(2max振动位移振动位移x（t）最大时）最大时在平衡位置在平衡位置从而有从而有220222max2max223213/21)/(21/21)(21)(21)(21)(21xmx ldlxTdlxdCmtxmtkxtkxtxmsls整根弹簧的动能为）（段的动能为弹簧常数38因此系统的等效质量为因此系统的等效质量为是弹簧的质

14、量。其中ssemmmlmm3131392)弹性梁的等效质量如图所示的弹性梁系统，其长度为如图所示的弹性梁系统，其长度为L，弯曲刚度为，弯曲刚度为EI，在梁的悬伸端放一质量为在梁的悬伸端放一质量为m的物体，梁的质量为的物体，梁的质量为m，密，密度为度为= m / L ，试确定系统的等效质量，试确定系统的等效质量。40假定梁的挠曲线与不计其质量的相同，由材料力学，在距O点为l处的静挠度为14033140331403321)3(8212322032622103321mmmmmmmxmdllLlLxdlxTLlLlxsesLLst整个系统的等效质量为为因而弹性梁的等效质量整段梁的动能为41424344

15、 45 运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。 )/( 0 , )/( 0 , )/( 0 , 2222222ImgamgaIlgmglmlmkxxkxxmnnnnnn 质量质量弹簧系统：弹簧系统： 单摆：单摆： 复摆：复摆：46二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：0cqqa a, c是与系统的物理参数有关的常数。令acn/2则自由

16、振动的微分方程的标准形式：则自由振动的微分方程的标准形式：02qqn 解解为：)sin(tAqn47 0022020arctg , qqqqAnn设 t = 0 时， 则可求得：00 , qqqq 或：tCtCqnnsincos21C1，C2由初始条件决定为nq CqC/ ,02 01tqtqqnnnsincos 0048 三、自由振动的特点三、自由振动的特点： A物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。 n t + 相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 初相位，决定振体运动的起始位置。 T 周期，每振动一次所经历的时间。 f 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。 固有频率，振体在2秒

17、内振动的次数。 反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。 nT2n49 无阻尼自由振动的特点是无阻尼自由振动的特点是： (2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；(1) 振动规律为简谐振动；(3)周期T 和固有频率 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。n四、其它四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。 501. 由系统的振动微分方程的标准形式由系统的振动微分方程的标准形式2. 静变形法：静变形法：3. 能量法能量法： 4-2 求系统固有频率的方法求系统固有

18、频率的方法02qqn stngst：集中质量在全部重力 作用下的静变形n由Tmax=Umax , 求出51 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。mgAAkUstst)(2122max2max21 kAUmgkst222max2121nmAxmT如：52 mkkAmAUTnn 2121 222maxmax由 能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率来得

19、更为简便的一种方法。动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。 例例1 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。53 解解：以 x 为广义坐标（静平衡位置为 坐标原点）RkgRmMst2)(gkmMst2则任意位置x 时：kxgmMxkFst22)2(静平衡时：54 应用动量矩定理：kxRRFgRmMFmxRmMRxMRRxMRxmLAA42)()()23( 212由 ， 有)(FmdtdLAAkxRxRmM4)23( 振动微分方程：固有频率：mMkxmMkxn23802

20、38 55 解解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）22222)23(21 21)(22121xmMxmRxMRxMT 以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2xgxmMxkkxgxmMxkUststst)(22 )()2(2222因平衡时gxmMxkst)(222kxU 56 由 T+U= 有：constconstkxxmM222)23(2104)23(kxxmM mMkxmMkxn2380238 对时间 t 求导，再消去公因子 ，得x 57585960616263646566676869707172 例：例： 鼓轮：质量鼓轮：质量M，对轮心回转

21、半径，对轮心回转半径 ，在水平面上只滚不滑，在水平面上只滚不滑，大轮半径大轮半径R，小轮半径，小轮半径 r ，弹簧刚度，弹簧刚度k1，k2，重物质量为，重物质量为m, 不计不计轮轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。 解解：取静平衡位置取静平衡位置O为坐标原为坐标原点，取点，取C偏离平衡位置偏离平衡位置x为广义为广义坐标。系统的最大动能为：坐标。系统的最大动能为：73 ) )()( ( )(21 )(21212max21max22max21maxRkkrRmgxkkxRrRmgxkkUststst2max22222max2m

22、ax22maxmax 21 )(21 )(21)(21xr)m(R)RM(RxRrRmRxMxMT系统的最大势能为：系统的最大势能为：74 设 则有)sin(nAxnAxAxmaxmax , )(21 2)()(221max222222maxAkkUARrRmRMTn根据Tmax=Umax , 解得222221)()()(rRmRMRkkn75等效单自由度系统等效单自由度系统（1）单自由度扭振系统）单自由度扭振系统假定盘和轴都为均质体，不考虑轴的质量。设扭矩T作用在盘面。根据材料力学可知：JkJkJlGITkdIGITlTnTT扭转振动固有频率为为圆盘转动惯量是该系统的扭转振动方程0324 7

23、6（2）单摆）单摆回复力由摆锤重力提供回复力由摆锤重力提供以角度以角度为位移，不计摆线质量，建立为位移，不计摆线质量，建立系统运动方程：系统运动方程：lgtlgttlgtn系统振动的固有频率为）（上述方程线形化为：当振动的幅度很小时，0)(,sin0)(sin)( 77（3）简支梁横向振动）简支梁横向振动均匀简支梁的横向振动均匀简支梁的横向振动假设系统的质量全部集中在梁的中部，且假定为m。取梁的中部挠度作为系统位移，根据材料力学得静挠度为333480)()(4848mlEImktuktumlEIPkEIEIPlenee振动固有频率为系统自由振动方程为等效刚度定义简支梁为梁截面的抗弯刚度。式中

24、78 4-3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。例如粘性阻尼、干摩 擦阻尼和材料阻尼。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。vcR投影式：xcRx c 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。79 二、有阻尼自由振动微分方程及其解二、有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量质量弹簧系统存在粘性阻尼：弹簧系统存在粘性阻尼：有阻尼自由振动微分方程的标准形式。有阻尼自由振动微分方程的标准形式。80当系统存在阻尼时，自由振动方程为如下形式的齐次方程当

25、系统存在阻尼时，自由振动方程为如下形式的齐次方程 xckxxm stetxX)(上式有通解mkcmcn2/2/0)()(2)(2txtxtxnn （1）（2）阻尼率阻尼率其中其中s为待定方程，代入上式为待定方程，代入上式81则有则有这就是系统的特征方程，它是这就是系统的特征方程，它是s的二次方程，有两个解：的二次方程，有两个解：（3）（4）0222nnssns)1(22, 1)()(1211212221ttttstsnnneXeXeeXeXtx所以方程的通解为82 很明显，很明显，s1、s2的性质的性质取决于阻尼因子取决于阻尼因子，其，其相互关系可以从相互关系可以从s平面平面，即复平面上得到反

26、，即复平面上得到反映（如图）。映（如图）。 s1、s2作作为阻尼因子为阻尼因子的函数在复平面上描的函数在复平面上描绘出一条曲线，图中绘出一条曲线，图中可直观地了解参数可直观地了解参数对对系统运动行为的影响系统运动行为的影响，或者说对系统响应，或者说对系统响应的影响。的影响。 、83下面分别讨论对于下面分别讨论对于的不同取值的情况的不同取值的情况1、无阻尼（、无阻尼（=0）情况）情况得到两个复根得到两个复根in，此时系统就是简谐振子。，此时系统就是简谐振子。titinneXeXtx21)(得通解：应用欧拉方程将上式展开并整理，有应用欧拉方程将上式展开并整理，有tXXitXXtxnnsin)(co

27、s)()(2121sin)(,cos2121XXXiXXX若记84)cos(sinsincoscos)(tXtXtXtxnnn则得方程解为此式和单自由度无阻尼自由振动方程完全一致此式和单自由度无阻尼自由振动方程完全一致其中常数其中常数X和和由初始条件决定由初始条件决定852、小阻尼情况小阻尼情况（01）由式（由式（4）得）得nis)1(22, 1为有阻尼自然频率取dnd21dnis2, 1则86)cos()(sin)(cos)()()()(,2121)(2)(121tXetxtXXitXXetxeXeXtxXetxssdtddttitistnndndn整理得：展开并整理得应用欧拉公式，将上式有

28、代入将87dndnxxvxvxXvxX00022002000arctan,)(,可以求得决定，由初始条件和常数8889 2221 122TTndd阻尼比有阻尼自由振动：当 时，可以认为nn1TTdnd 222111ndddffTT系统的运动为周期性的振动，其振动频率系统的运动为周期性的振动，其振动频率 d，它比无阻尼自由，它比无阻尼自由振动的固有频率振动的固有频率 n略小，振幅略小，振幅Xe-nt随时间成指数形式衰减。随时间成指数形式衰减。903、过阻尼（、过阻尼（1）情况）情况ns)1(22, 1特征根2100122102012121,)()(21ssvxsXssxsvXXXeXeXtxXe

29、txtstsst由初始条件决定，常数有代入91924 临界阻尼（临界阻尼（=1）不是振动，没有周期性变化的因子代入，得以初始条件)()(,)()(/2000002100txvxetxvxetXXtxccmkcnttnn931、当、当=0时，得到两个复根时，得到两个复根in，此时系统就是简谐，此时系统就是简谐振子。振子。2、当、当01时，时， s1、s2为复共轭，在图中对称地位于为复共轭，在图中对称地位于实轴的两侧，并位于半径为实轴的两侧，并位于半径为n的圆上。的圆上。 3、当、当=1时，特征方程的根时，特征方程的根s1、s2为为- n落在实轴。落在实轴。 4、当当1时，特征方程的根始终在实轴上

30、，且随着时，特征方程的根始终在实轴上，且随着、 21, 0,ssx(t)表现为一种增幅运动，是自激振动表现为一种增幅运动，是自激振动94例：试求单自由度小阻尼系统对初始速度的响应。例：试求单自由度小阻尼系统对初始速度的响应。解：当系统受到初速度解：当系统受到初速度v0作用时，作用时，x0=0,由上式有由上式有tevtxvXdtddnsin)(2,00的响应为得到系统对于初始速度例：试求单自由度小阻尼系统对初始位移的响应。例：试求单自由度小阻尼系统对初始位移的响应。解：当系统受到初速度解：当系统受到初速度x0作用时，作用时，v0=0,由上式有由上式有)cos(1)(arctan,1)(12020

31、20textxxxXdtdndnn应为系统对于初始位移的响95综合以上两例的结果，当初始位移和初始速度作用综合以上两例的结果，当初始位移和初始速度作用时，系统响应为时，系统响应为tevtextxdtddtnnsin)cos(1)(02096 对数衰减率对数衰减率对数衰减率对数衰减率22214212lnlndnTiiTeAAdndndininTTttiieAeeAAA)(1相邻两次振幅之比相邻两次振幅之比97)()(ln1) 1()2()()()()()(1111111111jTtxtxjejTtxTjtxTtxTtxTtxtxjTtxtxjTjTjn取对数，有的波形个振动周期测量间隔98 例例

32、3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：解：20)(16. 08 . 0dnTe21220205lnnndnT由于 很小，405ln )s/cmN(122. 0 98011502405ln2405ln22stWgWmkc99例：龙门起重机设计中，为避免连续启动和制动过程中引起振动，例：龙门起重机设计中，为避免连续启动和制动过程中引起振动，要求由启动和制动引起的衰减时间不得过长。若有一要求由启动和制动引起的衰减时间不得过长。若有一15t龙门起重龙门起重机，在作水平纵向振

33、动时，其等效质量机，在作水平纵向振动时，其等效质量meq=275Ns2/cm，水平方向，水平方向的刚度为的刚度为19.8kN/cm,实测对数衰减率为实测对数衰减率为0.10，若要求振幅衰减到，若要求振幅衰减到最大振幅的最大振幅的5%，所需的衰减时间应小于，所需的衰减时间应小于30s，试校核该设计是否满，试校核该设计是否满足要求。足要求。)(302144.22307405. 01002535. 0)(7405. 02248528. 8275/19800,/3085732.2905. 01ln1 . 01)()(ln1211ssTmkjjTtxtxjnndndnn频率为起重机纵向振动的自然解： 1

34、00例例 实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整的周期后衰减了50%,设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的阻尼因子。 设，则 （c）（a） （b）1014.4 谐波激励下的强迫振动谐波激励下的强迫振动谐波激励是最简单的激励。谐波激励是最简单的激励。特点：系统对于谐波激励的响应仍然是频率相同的谐波。特点：系统对于谐波激励的响应仍然是频率相同的谐波。由于线形系统满足叠加原理，各种复杂激励可先分解为一系列由于线形系统满足叠加原理，各种复杂激励可先分解为一系列的谐波激励，而系统总的响应可由叠加各谐波响应得到。的谐波激励，而系统总的响应可由叠加各谐波响应得到。4.4.1谐波激励下系统振动的求解

35、方法谐波激励下系统振动的求解方法 单自由度线性系统强迫振动的运动方程为单自由度线性系统强迫振动的运动方程为tkAtkftFtFtkxtxctxmcos)(cos)()()()( 1021.解析法解析法)cos()(:cos)()(2)(2222tXtxtAtxtxtxmkcmcnnnn设上式特解为引入 tAtXtXtAtxtxtxtXtxtXtxnnnnnnnncossincos2sin)(cossin2cos)(cos)()(2)()cos()()sin()(22222222整理得代入则有 1030cos2sin)(sin2cos)(22222nnnnnXAX的放大倍数较静态位移振幅物理意义

36、：动态振动的放大系数式中：联立求解：AXHHAXnnnn2222)/2()/(1 1)()/(1/2arctan)(1042.图解法图解法用矢量图解法，如图方程可写为tXAttttXtXtxtXtXtxtXtxnnnnnnnncos)cos()2/cos(2)cos()cos()cos()()2/cos(2)sin(2)(2)cos()(2222222 105利用直角三角形利用直角三角形ODE，可，可以求出常数以求出常数X和和 ，如果对，如果对各矢量都除以各矢量都除以 n2,那么这些那么这些矢量便成为无量纲的量，矢量便成为无量纲的量，从中可直接求出从中可直接求出X和和 。3 3、系统的运动特性

37、、系统的运动特性（1 1）在谐波激励作用下，强迫振动是谐波振动）在谐波激励作用下，强迫振动是谐波振动，振动的频率与激励力的频率相同。，振动的频率与激励力的频率相同。（2 2）强迫振动稳态振幅）强迫振动稳态振幅X和相位角和相位角 都只取决于都只取决于系统本身的物理特性（系统本身的物理特性（ , , n）和激励力的大小与）和激励力的大小与频率有关（频率有关（A A, , ），），而与初始条件无关。初始条而与初始条件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。件只影响系统的瞬态振动。（3）响应的振幅）响应的振幅X与激励的振幅与激励的振幅A成正比。成正比。(4)(4)相位差相位差 表示响应滞后于激励的相位角。

38、表示响应滞后于激励的相位角。1064. 4.振动系统的全部响应振动系统的全部响应tAtxtxtxnnncos)()(2)(22 方程的解包括两部分：一部分是响应的齐次微分方程的方程的解包括两部分：一部分是响应的齐次微分方程的通解，即有阻尼系统的自由振动；另一部分是非齐次微通解，即有阻尼系统的自由振动；另一部分是非齐次微分方程的一个特解。综合这两部分，谐波激励下的强迫分方程的一个特解。综合这两部分，谐波激励下的强迫振动的全部解为：振动的全部解为：)cos()()cos()(tHACetxdtn第一项对应于自由振动，随着时间的增长，此项将趋近于零第一项对应于自由振动，随着时间的增长，此项将趋近于零

39、，称为瞬态振动；第二项对应于稳态的强迫振动，是一种持，称为瞬态振动；第二项对应于稳态的强迫振动，是一种持续的振动，为方程的稳态解。续的振动，为方程的稳态解。1071084.4.2 4.4.2 谐波激励下的无阻尼强迫振动谐波激励下的无阻尼强迫振动无阻尼强迫振动的运动规律无阻尼强迫振动的运动规律tAtCtxCtAtCtxHnnnnnncos)/(1)sin()(sin)/(1)cos()(2/,)/(11)(222由初始条件决定和常数振动，于初始条件引起的自由右端第一项代表系统由强迫振动的全解式为无阻尼时，谐波激励下109初始条件：初始条件：0)0(, 0)0(, 0 xxtsinsin)/(1)

40、()/(1/, 2/)/(1sin0cos222ttAtxACACCnnnnnnn110稳态振动部分的振幅记为稳态振动部分的振幅记为A移之比。与激励幅值引起的静位称为动力系数，为振幅2)/(11n2 2、动力系数的特性、动力系数的特性（1 1）动力系数）动力系数 是无量纲的。是无量纲的。（2 2）动力系数）动力系数 只与激励频率和系统的自然频率之比只与激励频率和系统的自然频率之比 / / n有关，有关，而与其它因素无关。而与其它因素无关。（3 3）动力系数）动力系数 可大于或小于可大于或小于1 1，可正可负，正号表示位移与激，可正可负，正号表示位移与激励同步，相位差为励同步，相位差为0 0，负

41、号表示位移与激励反相，位移落后激励，负号表示位移与激励反相，位移落后激励的相位差为的相位差为180180。111动力系数绝对值与频率比的关系曲线如图动力系数绝对值与频率比的关系曲线如图（1 1）频率比）频率比/n0时，激励频率与系统的自然频时，激励频率与系统的自然频率相比很小，激励变化很慢，接近静载荷情况，动率相比很小，激励变化很慢，接近静载荷情况，动力系数力系数 1 1。（2 2）频率比）频率比/n时，激励频率与系统的自然时，激励频率与系统的自然频率相比很大，激励变化很快，系统来不及响应，频率相比很大，激励变化很快，系统来不及响应，动力系数动力系数 0 0。（3 3）频率比）频率比/n1 1

42、时，激励频率与系统的自然频时，激励频率与系统的自然频率相接近，动力系数率相接近，动力系数 ，系统发生共振。，系统发生共振。1123 3、共振现象、共振现象如上所述，当频率比如上所述，当频率比/n1，动力系数，动力系数 。动力。动力系数理论上接近于无穷大，系统将发生共振现象。此系数理论上接近于无穷大，系统将发生共振现象。此时，时，tAtxsin2)(1134 4、“拍振拍振”现象现象在初始条件为：在初始条件为：)sin2(cos2)cos2)(sin()sin(sin2)sin(sin2sinsin)(,20)0(, 0)0(, 0ttttAttttAttAtxxxtnnnnnnnnnnnn为微

43、小量，则其中频率接近时，设当激励频率与系统自然114现象称为“拍振”，这种特殊的振动，振幅按谐波形式变化的谐波振动，而振幅为上式可看成中第二项，则为微小量，可略去括号tAtttAtxnnncos2sinsincos2)(,115。，求其阻尼比大振幅逐渐提高时机器达到最垂直惯性力。当转速回转，这样就可以产生同一角速度沿相反的方向以心块组成，两个偏心块激振器有两个相同的偏振动。，用激振器使机器上下的阻尼率例：为了估计机器基座cmX2maxtmetkxtxctxMtxtmetFFmeFemMsin)()()()(sinsin22020 程为，如图，则运动微分方取广义坐标为，垂直方向的分力，产生的离心

44、惯性力，则转子，偏心距为质量为，转子偏心解：设系统总质量为116由于瞬态解是自由振动很快就衰减掉了，故只考虑强由于瞬态解是自由振动很快就衰减掉了，故只考虑强迫振动的稳态解。迫振动的稳态解。设稳态解为：设稳态解为：)sin()(tXtx222222222)/(1/2arctan)/2()/(1 )/()()(nnnnnMmecMkmeX1172211/)/2()/(1 )/(maxmax2222MmeXXXMmeXnnnn，有时共振，118幅。行驶时，车身上下的振速度。试求小车在以水平，其中成正弦波形，可表示为形都略去不计，设路面，轮胎质量与变弹簧刚度如图所示的振动形式。以简化为，其在路面上行驶

45、时可例：已知小车质量hkmvcmLcmYLxYtycmkgkkgm/3610,4)/2sin()(/20490tkYtkxtxmLvtYtLvYLxYtyvttxsin)()(2sin2sin)/2sin()()( 解：119)(6 . 6)10/2(14)/(1)/(21036003600022)/(1049098050)/(1sin222cmYXsradLvsradmkYXtXxnnn设系统的稳态解为：120谐波激励下的有阻尼强迫振动谐波激励下的有阻尼强迫振动1 1、幅频曲线及其特性、幅频曲线及其特性的影响不大。用的结果，阻尼特性主要是弹性元件作一区域内，振动系统的在这态区”或“刚度区”。

46、的频率范围称为“准静。动幅值接近于静态位移，说明低频激励时的振接近于。当说明所有曲线均从1/1)(,1)0(, 1)0(, 0) 1 (nnHHH121响很小。作用的结果，阻尼的影性主要是质量元件区域内，振动系统的特为“惯性区”。在这一的频率范围称因而振幅很小。对高频激励做出响应，来不及由于惯性的影响，系统，说明在高频激励下，且当，当激励的频率很高，即1/0)(/1)(1/)2(nnnHH作用的结果。的特性主要是阻尼元件在这一区域，振动系统区”。的频率范围称为“阻尼峰值较低。大，差异。的不同有很大曲线随阻尼率围内，许多倍。在这一频率范值高出静态位移动态效应很大，振动幅曲线出现峰值说明此时相近的

47、范围内，与自然频率在激励频率1/)()()(, 1/)3(nnnHHH12222121)(:)(21 , 0 cos)cossin(2)(0)0(, 0)0(, 04rnrrrrntnHHddXttteAtxxxtn的最大值为可得得由的合运动为时，容易求得过渡阶段，对于零初始条件，）共振现象。在共振时（123移小。，且动态位移比静态位时，系统不会出现共振当无峰值。不存在，时，时，即当处。于因此，共振发生在略低称为共振频率。为共振。这种情况下的振动取极大值时，当激励频率等于707. 0)(2/102-1, )()(2HHHrnndrrrr1242. 2.相频曲线及其特性相频曲线及其特性2)/(1

48、/2arctannn公式描述了振动位移、激励两信号间的相位差与激励公式描述了振动位移、激励两信号间的相位差与激励频率之间的函数关系，故称频率之间的函数关系，故称 ( ( ) )为系统的相频特性。为系统的相频特性。相频特性曲线具有如下特点：相频特性曲线具有如下特点：反向。与同相，因此与度。因为质块的加速是质量元件作用的结果区的特点，即系统主要性相位相反。这反映了惯与，即，）当（静态区的特点。是相同的。这反映了准之间几乎与激励动位移，说明低频激励时的振接近于时，开始。说明所有曲线均从时，当)()()()()()()0(1/2)()(0)(0)0(, 0)0(0) 1 (tftxtftxtftxtf

49、txnn 125126。这种现象称为倒相。突跳到由时，扫过，在，当正好相差与又由于同相，与其速度，阻尼所受的力即阻尼对系统影响很大，这反映了阻尼区的特点012/)()()()(, 2/)(, 1/)3(nntxtxtxtf3 3、稳态强迫振动中的能量平衡、稳态强迫振动中的能量平衡从能量的角度来看，在稳态强迫振动过程中，外界激励持续地向系统输入能量，这部分能量由粘性阻尼器所消耗。现考虑一个单自由度系统，在谐波F(t)=kAcost激励下的稳态响应为)cos()()(tHAtx127sin)(sin)2sin(21)()sin(cos)()sin()(cos)()()()(2/202/202/20

50、0HkAdttHkAdtttHkAdttHAtkAdttxtFdxtFEEtFTT，则所做之功为内外力记一个振动周期12822/20222/202222200)()(2cos1 21)()(sin)()sin()()()()()()(:HcAdttHcAdttHcAEtHAtxdttxcdttxtxcdxtxcEETTT的能量中所耗散周期性阻尼的存在，在一个另一方面，考虑由于粘129在一个周期内，振动系统净增加的能量为在一个周期内，振动系统净增加的能量为)(sin )()(sin)(22222HckHAHcAHkAEEE)(/1/HXAnH)(2sin)(sinHkc0)(sin )(2Hck

51、HAE130 x1是齐次方程的通解)02(2xxnxn 小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、 积分常数，取决于初始条件）x2 是特解：)sin(2tbx代入标准形式方程并整理22222222tg4)(nnnnhb 强迫振动的振幅 强迫振动相位滞后激振力相位角振动微分方程的全解为)sin()sin(22tbtAexnnt 衰减振动 强迫振动131 振动开始时，二者同时存在的过程瞬态过程。仅剩下强迫振动部分的过程稳态过程。需着重讨论部分。 nnnbb ; , 0令 频率比 振幅比 阻尼比因此：2222212 tg; 4)1 (1二、阻尼对强迫振动的影响二、阻尼对强迫振动的影响1、振动规律

52、简谐振动。2、频率： 有阻尼强迫振动的频率，等于激振力的频率。3、振幅)sin(2tbx132 (1) , 1 , )( 1时n可不计阻尼。 , 0bb(2) , 0 , )( 1时n阻尼也可忽略。时时0.70 , )( 1n(3) 阻尼对振幅影响显著。一定时，阻尼增大，振幅显著下降。222212 , 0 nnnddb得由共振频率此时：20max22max12 2bbnnhbn或133 2 , , 10maxbbn 时当4、相位差有阻尼强迫振动相位总比激振力滞后一相位角， 称为相位差。212tg(1) 总在0至 区间内变化。(2) 相频曲线（ - 曲线）是一条单调上升的曲线。 随 增 大而增大

53、。(3) 共振时 =1， ，曲线上升最快，阻尼值不同的曲线， 均交于这一点。(4) 1时， 随 增大而增大。当 1时 ，反相。2134 例例1 已知P=3500N，k=20000N/m , H=100N, f=2.5Hz , c=1600Ns/m , 求b, ,强迫振动方程。解解：rad/s 58.1035008 . 92000022Pkgmkeqnm 105 . 2200002100230kHkHbeq485. 158.105 . 222 ; 212. 058.1024. 2rad/s 24. 28 . 9 /3500216002nnnfnmcn135 mm 84. 15 . 2736. 0

54、736. 0485. 1212. 04)485. 11 (14)1 (102222222bb)847. 05sin(84. 1)rad( 847. 0)522. 0(arctg)1/(2arctg222tx136单自由度系统振动的应用单自由度系统振动的应用自由振动的应用自由振动的应用1 1、转动惯量的确定、转动惯量的确定1 1）物理摆振动法）物理摆振动法)2()2(20)()()()(sin)(sin)()()(22222222222222lglTmmIlglTgllTtlglttttmgltlmlmIco 为摆对悬挂轴的转动惯量1372）滚动摆振动法有些零、部件不适合于悬挂而宜于摆动，则可采

55、用下图所示的方法，将一轮和轴的装配体置于两平行的轨道上，让其作为小范围的往复滚动，并用秒表测量其滚动的频率或周期T。)(44)(0)()()(sin)()()()()()(222222rRTmgrITrRImgrtrRImgrtmgrrrRIrrRttrRtrBBnBB 1)(42222grRTmgrImrIICCB1383 3）扭转振动法）扭转振动法lTGITkIGIIlkITlGIkkkITtIkttktIptptptttntt22224422/220)()()()()(为的扭转弹性常数由材料力学可知，钢丝 1392 2、摩擦系数的确定、摩擦系数的确定1 1）求固体摩擦系数）求固体摩擦系数

56、22212211214220)()()()(,)(2),(2gTagaTtxagtxFFtxmRFRFxaamgRxaamgRn 1402 2）求液体的黏性阻尼系数）求液体的黏性阻尼系数。薄板受到的阻尼力为为作衰减振动，测得周期放入被测液体中不计空气阻尼）。然后为中自由振动，测得周期下端，先使系统在空气的等厚薄板悬挂于弹簧，面积为将质量为AvRTTAm2(21kmTtxmktxn220)()(:1 程为薄板在空气中的运动方212221222)()(2120)()()(2)(0)()(2)(:TTTATmmAmkTtkxtxmAtxtkxtxAtxmn 程薄板在液体中的运动方1413. 3.特定

57、条件下动载荷系数的确定特定条件下动载荷系数的确定起重机以等速起重机以等速v0下降货物下降货物m，试求一旦紧急刹车时钢绳所受的最，试求一旦紧急刹车时钢绳所受的最大拉力和动载荷系数。大拉力和动载荷系数。在刹车瞬间吊重在刹车瞬间吊重mg离其静平衡位置的初位移为离其静平衡位置的初位移为x0 000，初速度，初速度为为v0 0。振幅为。振幅为v0 0/n,sngmk/smmssnsmgvmkgvmkgvmgmkvmgkPlEAmgkEAmlvEAmglgvkmgv000000011)1 (下钢绳的动载荷系数为所以起重机在特定条件最大拉力142kNmgPmkgvcmkNkkkkkcmkNkkNgmkgvm

58、gPmmm1 .416 .1909. 209. 2/1)/( 1 . 455 .2255 .22,/5,3.56)(9 .69)2/225060451 (6 .19)/1 (22.5kN/cm2tmin/450212120则等效弹簧的刚度为如果附加弹簧刚度附加弹簧一个通常在吊挂装置里装上为了减小动荷系数动荷系数达力为：，则可得钢绳的最大拉弹性刚度为绳的的货物时突然刹车，钢的速度下降如果起重机以143 强迫振动的应用强迫振动的应用 引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速临界转速。这种现象是由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。单圆盘转子单圆盘转子： 圆盘：质量m , 质心C点；转轴过

59、盘的几何中心A点，AC= e ，盘和轴共同以匀角速度 转动。 当 n（ n为圆盘转轴所组成的系统横向振动的固有频率）时，OC= f+e (f为轴中点A的弯曲变形）。 一、转子的临界转速一、转子的临界转速144 kfefm2)(（k为转轴相当刚度系数）2222221)/(1)/(/eefmkmkemfnnn考虑到2/60/, 1, 0kknknmk速此时的转速称为临界转动挠度趋于无穷大动挠度很小145重合，自动定心。与重心轴绕圆盘重心旋转，之间。落在反向，重心这表明动挠度与偏心距为负值。超越临界转速运行时，OCefOAcf, 1146。，；时，；时，。和转速的值取决于阻尼，线一个相位角前线超的延

60、长线上。，重心落在还作用有阻尼力。此时力、离心力外，圆盘上除作用弹性恢复如果考虑阻尼的影响，2/12/12/1cOAOCOA147端轴承的力。）在上述转速时传至两（；距时转子的振幅，设偏心）在（）临界转速；（试求：，阻尼可以忽略不计。，密度弹性模量为中心，轴端固定，钢的的钢轴，长，固装在直径涡轮增压器转子质量3015. 03000r/min21/8 . 7/1096. 1320 . 210327mmecmgcmNEcmcmkgm)(465)38. 010/(10022538/) 1 ()(38. 0783. 0486. 0)(783. 0108 . 732114. 3)/(2253843211