单自由度系统的自由振动A.

1、第一章第一章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 单自由度系统单自由度系统最简单、最基本的振动系统最简单、最基本的振动系统 线性系统：动力学方程为常系数线性微分方程线性系统：动力学方程为常系数线性微分方程)(tfkxxcxm 03xaxx 非线性系统非线性系统:动力学方程为非线性微分方程动力学方程为非线性微分方程自由振动自由振动自由振动是指系统受初始扰动后，仅靠系统自自由振动是指系统受初始扰动后，仅靠系统自身恢复力维持的振动。身恢复力维持的振动。无阻尼自由振动无阻尼自由振动 有阻尼自由振动有阻尼自由振动或或0)(xfxm 0kxxm 0kxxcxm ch1 ch1 单自由度系统的自由

2、振动单自由度系统的自由振动讨论的内容讨论的内容单自由度系统自由振动的运动方程单自由度系统自由振动的运动方程单自由度系统自由振动运动方程的解单自由度系统自由振动运动方程的解 解的一般形式解的一般形式 自由振动的频率自由振动的频率 影响自由振动参数的因素影响自由振动参数的因素单自由度系统自由振动的运动规律单自由度系统自由振动的运动规律 对初始条件的响应对初始条件的响应求解无阻尼单度系统自由振动问题的能量法求解无阻尼单度系统自由振动问题的能量法无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能能T与势能与势能V之和保持不变。之和保持不变。动能为零时势能达到最大值。将动

3、能取最大值动能为零时势能达到最大值。将动能取最大值时的势能取作零，则有时的势能取作零，则有 maxmaxVT简谐振动及其表示方法简谐振动及其表示方法三角函数表示法三角函数表示法旋转矢量表示法旋转矢量表示法旋转矢量投影法旋转矢量投影法 复数表示法复数表示法三角函数表示法三角函数表示法物体作简谐振动时，其位移可表示为谐波函数物体作简谐振动时，其位移可表示为谐波函数 xAtcos或xAtsin周期：振动一次所需的时间周期：振动一次所需的时间T, 单位：单位： 秒（秒（s ）角频率（圆频率）角频率（圆频率） :振动矢量每秒转过的角度（弧振动矢量每秒转过的角度（弧度），单位度），单位: 弧度弧度 秒（秒

4、（rad/s） 频率：每秒振动的次数频率：每秒振动的次数 f，单位：赫兹（，单位：赫兹（Hz）（）（s-1）f22f21fT三角函数表示法（续）三角函数表示法（续）简谐振动的速度简谐振动的速度 )2cos(sintAtAdtdxx 简谐振动的加速度简谐振动的加速度 )cos(cos2222tAtAdtxdx 作简谐振动的线性系统，其位移、速度、加速度作简谐振动的线性系统，其位移、速度、加速度均为同频率简谐函数；均为同频率简谐函数； 相位角：速度超前位移相位角：速度超前位移 /2 ；加速度超前位移加速度超前位移 ，超前速度，超前速度/2 简谐振动的三要素：简谐振动的三要素：频率、振幅、初始相位频

5、率、振幅、初始相位 )sin(tAxxAtcos旋转矢量表示法旋转矢量表示法旋转矢量投影法旋转矢量投影法 长度为长度为A的矢量以的矢量以匀角速度匀角速度在平面上绕定点在平面上绕定点O逆时针逆时针旋转旋转，该矢量在直角坐标轴上的投影均可表示简谐运动。，该矢量在直角坐标轴上的投影均可表示简谐运动。 频率：频率：； 幅值：幅值：A；初始相位：初始相位：t=0时矢量与坐时矢量与坐标轴的夹角。标轴的夹角。 1两个（或两个以上）同频两个（或两个以上）同频率简谐振动的合成。率简谐振动的合成。2直观表示简谐振动位直观表示简谐振动位移速度及加速度之间的移速度及加速度之间的相对关系。相对关系。 )sin(tAy)

6、cos(tAxOxy121A2AA旋转矢量表示法旋转矢量表示法旋转矢量投影法旋转矢量投影法 1两个（或两个以上）同频两个（或两个以上）同频率简谐振动的合成。率简谐振动的合成。2直观表示简谐振动位直观表示简谐振动位移速度及加速度之移速度及加速度之间的相对关系。间的相对关系。OxyAxAx x A2复数表示法复数表示法 长度为长度为A的矢量以的矢量以匀角速度匀角速度在复平面上绕定点在复平面上绕定点O逆时逆时针旋转针旋转，该矢量在实轴及虚轴上的投影与矢量端点处，该矢量在实轴及虚轴上的投影与矢量端点处复数复数z的实部和虚部相对应。的实部和虚部相对应。复数复数z的实部及虚部均可表示简谐运动。的实部及虚部

7、均可表示简谐运动。 tiAtAAzetisincos特点：利用复数（求导）运特点：利用复数（求导）运算的特点可方便地表示速度算的特点可方便地表示速度和加速度和加速度。 ziAeidtdzztizizAedtzdzti22222)( 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 单自由度系统自由振动方程单自由度系统自由振动方程020 xx mk /0单自由度系统自由振动方程的解单自由度系统自由振动方程的解tCtCx0201sincos无阻尼自由振动是以平衡位置为中心的简谐振动无阻尼自由振动是以平衡位置为中心的简谐振动 振动角频率振动角频率0是系统的固有特性，与初始条件无关是系统的固有特性，与初始条件无关kmfT

8、mkf2121200固有频率及固有频率及固有周期固有周期)sin(0tAx说明什么？说明什么？固有频率固有频率0称作无阻尼系统的固有（角）频率，单位为称作无阻尼系统的固有（角）频率，单位为 rad/stCtCx0201sincosmk /0固有频率及固有频率及固有周期固有周期kmfTmkf2121200固有频率和周期与初始条件无关，表现出线性系固有频率和周期与初始条件无关，表现出线性系统自由振动的等时性。统自由振动的等时性。 质量愈大，弹簧愈软，则固有频率愈低，周期愈长；质量愈大，弹簧愈软，则固有频率愈低，周期愈长；反之，质量愈小，弹簧愈硬，则固有频率愈高，周期反之，质量愈小，弹簧愈硬，则固有

9、频率愈高，周期愈短。愈短。 )sin(0tAx单自由度系统对初始条件的响应单自由度系统对初始条件的响应初始条件初始条件00)0(,)0(:0 xxxxt对初始条件的响应对初始条件的响应txtxx00000sincos)sin(0tAx00020020arctan,xxxxA能量法能量法保守系统保守系统无阻尼系统在自由振动中任一时刻的机械能保持无阻尼系统在自由振动中任一时刻的机械能保持常值常值机械能守恒机械能守恒计算单自由度保守系统固有频率的能量法计算单自由度保守系统固有频率的能量法 保守系统振动中动能与势能之和为常数常数 VT动能为零时势能达到最大值，将动能取最大值（平衡位置）时的势能取作零，

10、则有 maxmaxVT能量法（续能量法（续1 1）无阻尼单度系统无阻尼单度系统tAxtAx000cos,sin)(cos2121022022mAxmT202max21mAT)(sin21210222kAkxV2max21kAVmaxmaxVT系统动能系统动能系统最大动能系统最大动能系统势能系统势能系统最大势能系统最大势能能量守恒能量守恒mk /0能量法（续能量法（续2 2）瑞利法瑞利法计算固有频率的近似计算方法计算固有频率的近似计算方法 （计算系统的最低固有频率） 先对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式 （假设振型：通常按静变形曲线假设） 根据无阻尼自由振动的简谐规律计算系统动能和势能 写

11、为标准形式2max202max21,21kAVmAT利用利用maxmaxVT得到系统的（最低阶）固有频率得到系统的（最低阶）固有频率0能量法（等效参数法）能量法（等效参数法）所有单自由度黏性阻尼系统都可简化为质量所有单自由度黏性阻尼系统都可简化为质量- -弹簧弹簧- -阻阻尼系统尼系统选取选取x为广义坐标为广义坐标线性系统的动线性系统的动能可表示为能可表示为线性系统的势线性系统的势能可表示为能可表示为221xmTeq221xkVeq任意两个位置任意两个位置x1 1和和x2 2间由间由粘性阻尼力所作的功可粘性阻尼力所作的功可表示为表示为21xxeqdxxcW系统的固有频率系统的固有频率eqeqm

12、k0能量法练习题能量法练习题扭转振动扭转振动用角位移用角位移 作为独立座标来表达振动状态的角作为独立座标来表达振动状态的角振动问题振动问题 转动方程式转动方程式 MJ 式中J是转动物体对于转动轴的转动惯量，M为施加于转动物体上的力矩，它的方向与角位移一致时为正 扭振运动方程及其振动解扭振运动方程及其振动解020 JK20)sin(0tA20020A0001 tg课堂练习课堂练习 习题1.8 不计质量的等截面悬臂梁长为L，抗弯刚度为EI，自由端有集中质量m1和m2。梁静止时突然释放质量m1。试求m2的自由振动。课堂练习课堂练习单度系统无阻尼自由振动练习题单度系统无阻尼自由振动练习题单度系统无阻尼

13、自由振动练习题参考解答单度系统无阻尼自由振动练习题参考解答作业题作业题单自由度系统对初始条件的响应单自由度系统对初始条件的响应单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程020 xx 的解为的解为00)0(,)0(:0 xxxxt满足初始条件满足初始条件txtxx00000sincos或或)sin(0tAx00020020arctan,xxxxA自由振动的振幅自由振动的振幅初相角初相角 单自由度系统对初始条件的响应单自由度系统对初始条件的响应设在初始时刻，质点的位移和速度分别为设在初始时刻，质点的位移和速度分别为 00)0(,)0(:0 xxxxttxtxx00000sincostCtCx0201

14、sincos代入代入得得01xC 002xC单自由度系统自由振动方程单自由度系统自由振动方程质量质量弹簧系统弹簧系统 由一个可视为质点的物体由一个可视为质点的物体和弹簧组成。设质点的质和弹簧组成。设质点的质量为量为m，弹簧的质量不计，弹簧的质量不计，无扰动时弹簧不变形，质无扰动时弹簧不变形，质点处于平衡状态。点处于平衡状态。以平衡位置以平衡位置O为原点建立坐标轴为原点建立坐标轴x，当质点因初始，当质点因初始扰动而偏离平衡位置时，弹簧产生与位移扰动而偏离平衡位置时，弹簧产生与位移x成正比，成正比，方向与位移相反的恢复力方向与位移相反的恢复力F=-kx作用于质点，比例作用于质点，比例系数系数k称作

15、弹簧的刚度系数，单位为称作弹簧的刚度系数，单位为N/m。单自由度系统自由振动方程单自由度系统自由振动方程(广义广义)坐标选取坐标选取x坐标原点：静平衡位置坐标原点：静平衡位置 根据牛顿定律列写质点的自根据牛顿定律列写质点的自由振动方程由振动方程 0 kxxm 引入参数引入参数mk /0标准形式标准形式020 xx 单自由度系统自由振动方程的解单自由度系统自由振动方程的解运动微分方程运动微分方程020 xx mk /0令令tex代入上面方程代入上面方程 本征方程（特征方程）本征方程（特征方程） 0202相应的本征值相应的本征值 0i1i线性无关特解线性无关特解 tiex01tiex02方程的通解

16、为方程的通解为 titibeaebxaxx0021单自由度系统自由振动方程的解（续）单自由度系统自由振动方程的解（续）欧拉公式欧拉公式sincosieisincosieitbatbabeaextiti00sin)(cos)(00单自由度系统自由振动方程的通解为单自由度系统自由振动方程的通解为 tCtCx0201sincos其中其中C1、C2（或（或A、）为待定常数，）为待定常数，由初始条件决定。由初始条件决定。 或或)sin(0tAx等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动例例 1.1-2 以质量块以质量块m的水平位移的水平位移为坐标，试计算弹簧的等效为

17、坐标，试计算弹簧的等效质量。质量。假定弹簧的变形与离固定点的距离假定弹簧的变形与离固定点的距离成正比，成正比，弹簧端点的位移为弹簧端点的位移为x。微元长度微元长度d的质量的质量ddml弹簧距端点弹簧距端点截面的变形（位移）截面的变形（位移）xl弹簧距端点弹簧距端点截面的速度截面的速度xl解解 设弹簧的长度为设弹簧的长度为l，单位长度的质量为单位长度的质量为l，微元长度微元长度d的动能的动能2)(21xlddTl等效参数法等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动求解单自由度系统无阻尼自由振动微元长度微元长度d的动能的动能21)(21Txlddl将微元长度将微元长度d的动能在整个弹簧范围内积分，计

18、算弹簧的动能的动能在整个弹簧范围内积分，计算弹簧的动能T12002222131212121x ldlxdlxTllllllml1为弹簧质量为弹簧质量21321xm令弹簧质量的令弹簧质量的1/3为弹簧的等效质量，为弹簧的等效质量，则考虑弹簧质量的系统总动能为则考虑弹簧质量的系统总动能为 21321xmmT弹簧的势能与弹簧质量无关弹簧的势能与弹簧质量无关221kxV 仍利用能量守恒公式仍利用能量守恒公式maxmaxVT导出考虑弹簧质量的系统固有频率为导出考虑弹簧质量的系统固有频率为301mmk等效参数法法求解单自由度系统无阻尼自由振动等效参数法法求解单自由度系统无阻尼自由振动例例1.1-3 以梁端

19、横向位移为坐标，以梁端横向位移为坐标，试计算悬臂梁的等效质量试计算悬臂梁的等效质量 解 设悬臂梁的长度为l ，单位长度的质量为l ，抗弯刚度为EI其中E和I分别为梁的弹性模量和截面二次矩。自由端集中质量m相对平衡位置的位移为x。利用材料力学知识，当自由端有静挠度x时，距固定端距离为的截面处的静挠度为xllf33223)(将梁的静挠度曲线作为近似振型，计算梁的动能T1llxmdxllT02122332114033212321lml1为梁的质量梁质量的33/140为梁的等效质量。系统的固有频率为1140330mmk刚度系数为悬臂梁端点的抗弯刚度33lEIk 等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动

20、等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动例例1.1-4 1.1-4 试计算串联和并联弹簧的试计算串联和并联弹簧的等效刚度。等效刚度。 解 讨论弹簧刚度为k1，k2 的串联弹簧。设A点的位移x，两弹簧的伸长分别为x1和x2，则有 21xxx根据B点的静力平衡条件列出2211xkxk可以解出xkkkxxkkkx21122121,弹性势能为22212122221121212121xkxkkkkxkxkV串联弹簧的等效刚度系数2121kkkkk等效参数法等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动求解单自由度系统无阻尼自由振动对于并联弹簧，两弹簧的伸长均等于A点的位移x 2221222121212121x

21、kxkkxkxkV并联弹簧的等效刚度系数为21kkk如果A点处固定物体m，则动能为 221xmT不计弹簧的质量时，系统的固有频率为mk0等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动图示系统为一内燃机排气阀系统简图。已知摇杆AB对支点O的转动惯量为I0，气阀BC的质量为Mv，阀簧质量为Ms，计算时可近似地将ms/3集中于B点，挺杆AD的质量为mt，求此系统简化到阀门C点的等效质量。等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动内燃机排气阀系统等效质量广义坐标：阀门C点的垂直位移xc系统动能：222023121212121BsA

22、tABCvvmvmIvmT将系统动能表示为广义坐标一阶导数的二次函数CCxvbxbvbvCCBABCCBxvvCABAxbaav222222023121212121CsCtCCvxmxbamxbIxmTcx等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动等效参数法求解单自由度系统无阻尼自由振动内燃机排气阀系统等效质量广义坐标：阀门C点的垂直位移xc系统动能：222222023121212121CsCtCCvxmxbamxbIxmT222203121CstvxmmbabImT此系统简化到阀门C点的等效质量stveqmmbabImm312220 如果阀簧刚度系数为k此系统简化到阀门C点的等效刚度为k此系统

23、的固有频率stveqmmbabImkmk3122200扭转振动扭转振动讨论需要用角位移讨论需要用角位移 作为独立座标来作为独立座标来表达振动状态的角振动问题。表达振动状态的角振动问题。在这种情况下，运用牛顿运动定律在这种情况下，运用牛顿运动定律得到转动方程式得到转动方程式 MJ 式中式中J是转动物体对于转动轴的转动惯量，是转动物体对于转动轴的转动惯量， 是角加速度，是角加速度，M为施加于转动物体上的力矩，它的方向与为施加于转动物体上的力矩，它的方向与 角位移一致时为正。角位移一致时为正。 以扭转振动和复摆两种情况为例以扭转振动和复摆两种情况为例1.扭转振动 如图所示的一根垂直轴，下端固定着一个水平圆盘，圆盘的转动惯量为J。轴的扭转刚度为K。其含义是使轴转动一单位转角所需施加的力矩，单位是Nm/rad。对于一根长度为，直径为d的圆轴，根据材料力学，它的扭转刚度为 lGdlGIKp324G为材料的剪切弹性模量。轴本身质量忽略不计。 当系统受到某种干扰，如在圆盘平面上加一力偶，然后突然除去，系统便作扭转自由振动。如果没有阻尼，振动将永远继续