材料力学答案1-6(桂电)

1、材料力学答案1-6（桂电）第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能2-1试画图示各杆的轴力图。题2-1图N k17 / 87解：各杆的轴力图如图 2-1所示。2-2试画图示各杆的轴力图， 并指出轴力的最大值。 图a与b所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为q。题2-2图(a)解:由图2-2a(1)可知,FN(x)=2qa-qx轴力图如图2-2a(2)所示，FN,max=2qa图 2-2a(b)解:由图2-2b(2)可知，FR = qaF N (xi) - FR - qaFn(X2)= Fr -q(x2 -a) =2qa -qx2轴力图如图2-2b(2)所示,F N,max - qa图 2-2b2-3

2、 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm2,载荷F=50kN。试求图不斜截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。题2-3图解：该拉杆横截面上的正应力为F 50 103N8_。=匚=50 10 J ”1.00 108Pa=100MPaA 500 10 6m2斜截面m-m的方位角a = -50 ；故有22 ,%_= cos a=100MPa cos (-50 )=41.3MPaq=in2 a=50MPa sin(100 =M9.2MPa 2杆内的最大正应力与最大切应力分别为omax =(r=100MPa百ax=50MPa22-5某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还

3、同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量 E、比例极限仃、屈服极限仃s、强度极限Db与伸长率每，并判断该材料属 于何种类型（塑性或脆性材料）。05101520253000.050.100.150200.250.30题2-5解：由题图可以近似确定所求各量。E =4 220 106Pa=220 109Pa=220GPaA 0.001午定220MPa ,os 之 240MPa0b -440MPa,汁 29.7%该材料属于塑性材料。2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题 2-6图所示。若杆径 d =10mm,杆长l =200mm,杆端承受轴向拉力 F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸

4、去后杆的轴向变形。00.20,40.60.31.01.2eA题2-6图3 ,解：(T=F = 4 20 10 N = 2.55 M 108Pa = 255MPaA m0.0102m2查上述b- e曲线，知此时的轴向应变为 =0.0039 =0.39% 轴向变形为Al =l=(0200m)x0.0039=7.8x10m=078mm拉力卸去后，有2二0.00364 ,=0.00026故残留轴向变形为5Al =l p = (0.200m)父0.00026 = 5.2 父10 m = 0.052mm2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷 F作用。已知载荷F =32kN ,板宽b =100mm, 板厚6=

5、15mm,孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题2-9图解：根据d/b= 0.020m/（0.100m） = 0.2查应力集中因数曲线，得K =2.42根据max而ax = K On =KF _2.42X32X103N(b d)(0.100 0.020) X0.015m2=6.45x107Pa= 64.5MPa2-10 图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN,板宽b1=90mm , b2=60mm ,板厚6=10mm,孔径d =10mm ,圆角半径 R =12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题2-10图解：1.在圆孔处根据d = 0

6、.010m =01111b10.090m查圆孔应力集中因数曲线，得K12.6故有而ax = K1a1KiF2.6 36 103N7； 二2山一d) S (0.0900.010) M0.010m2- 1.17 108Pa=117MPa2.在圆角处 根据D _ b1 0.090md -b2 -0.060mR =_R _0.012m =02 d -b2 - 0.060m 一 .查圆角应力集中因数曲线，得K21.74故有Cmax = K 20n 2K2F一 b2 s1.74 36 1 03N-0.060 0.010m2= 1.04 108Pa = 104MPa3.结论omax=117MPa （在圆孔边

7、缘处）F作用。设各杆的横截面面积均为A,许用应力均为2-14 图示桁架，承受铅垂载荷 5,试确定载荷F的许用值F。题2-14图解：先后以节点 C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为Fni = 2FFn2 = Fn3 = F小二根据强度条件，要求由此得F =二A、22-15 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为仃。若在节点B和C的位 置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的口值（即确定节点 A的最佳位置）。题2-15图解：1.求各杆轴力设杆AB和BC的轴力分别为Fn1和Fn2 ,由节点B的平衡条件求得FN2 = Fctan aF 二rN1sin a2.求重量最轻的a值 由强度条件得A1

8、 =Fsin -A2-Fctan a同结构的总体积为V =AJ1 A212 =F 旦ctana=_F_(_2_ ctan”)osin a cos a o司 sin2 aIdV=0d a23cos a-1 =0由此得使结构体积最小或重量最轻的a值为%pt =54 442-16 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为仃。若节点A和C间的指定距离为i,为使结构重量最轻，试确定 e的最佳值。题2-16图解：1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有Fni =Fn2F2sin e2.求8的最佳值由强度条件可得结构总体积为由得由此得e的最佳值为V =2A1l1A1 =A2f2 dsin 0F l F

9、l(rsin 0 2cose dsin2 e*d ecos2 9 = 0%t =452-17 图示杆件，承受轴向载荷 F作用。已知许用应力司=120MPa,许用切应力印 = 90MPa,许用挤压应力qs= 240MPa,试从强度方面考虑，建立杆径 d、墩头直径 D及其 高度h间的合理比值。题2-17图解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷 F的许用值分别为把2Ft =三二（a）42 2、Fb = M /d）二bs（b）4Fs=Mhi（c）理想的情况下，Ft =Fb =Fs在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b）,分别得h 口4D = 1-d二bs于是得。a（D : h : d =

10、. 1 + l: 1Pbs 4t由此得D:h:d =1.225:0.333:12-18 图示摇臂，承受载荷 F1与F2作用。已知载荷 F1=50kN, F2=35.4kN ,许用切 应力i=100MPa ,许用挤压应力5s =240MPa。试确定轴销B的直径d。与AD-D题2-18图解：1.求轴销处的支反力由平衡方程FX Fx =0与Fy =0 ,分另得FBx -F1 _F2cos45、u25kNFBy =F2sin45=25kN由此得轴销处的总支反力为FB = , 252 252kN =35.4kN2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件(这里是双面剪)Fs 2FB , p=2 - dA成I2

11、d_ 2FB = 2 35.4 103 m = 0.015m、冗nx100x106由轴销的挤压强度条件FB%s =d、. d、.35.4 103d的一4 Obs 0.010M240M106m =0.01475m结论：取轴销直径 d之0.015m =15mm 。2-19 图示木棒接头，承受轴向载荷F = 50 kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。100OO题2-19图解：剪应力与挤压应力分别为50 103N=5 MPa(0.100m)(0.100m)50 103N.-bs 12.5 MPa(0.040m)(0.100m)2-20 图示娜接接头，挪钉与板件的材料相同，许用应力司=160MPa,许用

12、切应力胃=120 MPa ,许用挤压应力obs = 340 MPa，载荷F = 230 kN。试校核接头的强度。题2-20图解：最大拉应力为max230 103 N(0.170 0.020)(0.010)(m2)= 153.3 MPa最大挤压与剪切应力则分别为-bs_ 3230 103 N5(0.020m)(0.010m)二230 MPa4 230 103 N-5 Tt (0.020m)=146.4 MPa2-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F = 45kN作用。已知木杆的截面宽度Obs=10MPa,许用切应力b =250mm ,沿木纹方向的许用拉应力cr=6MP

13、a,许用挤压应力T=1MPao试确定钢板的尺寸 6与l以及木杆的高度ho解：由拉伸强度条件得题2-21图(j=W db(h -2 6)F 45 103(a)h -2 3-F- =-4506 m =0.030mb c 0.250 父6 M106由挤压强度条件由剪切强度条件(b)B F 二45 10m = 0.009m =9mm2b cbs 2x0.250x10/106e-F- T2bl3l =6 m =0.090m =90mm2b 2 0.250 1 10取B=0.009m代入式(a),得h ,(0.030 2 0.009)m =0.048m =48mm结论：取B之9mm , l 之 90mm

14、, h 之48mm 。2-22 图示接头，承受轴向载荷 F作用。已知挪钉直径d=20mm ,许用应力cr=160MPa,许用切应力口=120MPa ,许用挤压应力obs =340MPa。板件与挪钉的材料相 同。试计算接头的许用载荷。题2-22图解：1.考虑板件的拉伸强度 由图2-22所示之轴力图可知,fni =F ,fn2 =3F /4dA1(bd)BF (b-d)用(r=(0.200-0.020)M0.015M160M106N =4.32m105N =432kNFN2 3F02 = dA 4(b2d)BF 4(b-2d) q 司=4(0.200-0.040)x0.015M160M106N =

15、5.12M105N =512kN 332 .考虑挪钉的剪切强度图 2-22FsT=A4F8dF )F 2EA 44EA(b)解：各杆编号示如图 b列表计算如下：iFNiliFN2ili1FlF2l20l03FlF2l4FlF2l5应Fv2l2亚F2lZ(3 + 2&)F2l于是,V 生 _(3 2、,2)F2l一二 2EA 2EA依据能量守恒定律,可得FA2=V =(3 2 2)Fl ()EA3-16 图示桁架，承受载荷 求节点B与C间的相对位移4/c。F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试用能量法题3-16图解：依据题意，列表计算如下：iFNiliFNili1场/ 2lF2l /22%/

16、 2lF2l /23解F/21F21 /24瓶F/21F21 /25-F21V一F21Z(2+V2)F21由表中结果可得V x5 FN2ili （22）F2lV S 一乙 一 i 4 2EA 2EA依据W 二V .得1（2 2）Fl 4/c =ea（）3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷 F作用。已知板的厚度为3,长度为1,左、右端的宽度分别为bi与b2,弹性模量为E,试用能量法计算板的轴向变形。题3-17图33 / 87解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为V;22，段产。言产(a)由图可知，若自左向右取坐标x,则该截面的宽度为b(x) =b1将上式代入式（a）,并考虑到Fn=F ,于是

17、得VeF2=0F21b2dx1n 一2ES(b2 -b1) b1设板的轴向变形为 A1,则根据能量守恒定律可知,亨=VFAlF21, b2=1n -22E8(b2 -b1) b1由此得Al Fl . b2Al =ln Eg-bJb13-19 图示各杆，承受集中载荷 F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均 为EA,试求支反力与最大轴力。向题3-19图(a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为、Fx=0，F F-Fax-Fbx=0一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图 3-19aAC, CD与DB段的轴力分别为Fni =Fax，Fn2 =Fax-F,Fn3=Fax-2F

18、由于杆的总长不变，故补充方程为,l 二七,FAx-F a . Fax-2F a _0EA EAEA得Fax-F =0由此得Fax =FFbx =2F - Fax =F杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为材料力学答案1-6(桂电)FN,max =F(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为% Fx =0, qa - Fax -Fbx =0一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图 3-19b37 / 87AC与CB段的轴力分别为Fni =Fax,Fn2 =Fax -qx由于杆的总长不变，故补充方程为F. a a-：lnEAa EAo FAx-qxdx=0EAI2Fa由此

19、得杆的轴力图如3-19b(2)所示,Faxqa4FBx =qa -FAX最大轴力为3qa4Fn3-20 图示结构，杆1与卞f 2的横截面面积相同，弹性模量均为 巳梁BC为刚体, 载荷F=20kN ,许用拉应力5=160MPa,许用压应力5=110MPa ,试确定各杆的横截面面积。2F题3-20图Fn2为拉力,解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同,Fni为压力，且大小相同，即FN2 =FN1以刚性梁BC为研究对象,较支点为矩心，由平衡方程 M =0, FN2 a FN1 a-F 2a =0由上述二方程，解得FN2 =FN1 = F根据强度条件,A1 =3Fn120 1

20、0 N二 c 110 106Pa=1.818 104m2星:20 103N =1.25 10m2 0t 160 106Pa2A| = A2 = 182mm力。3-21 图示桁架,承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同,试求各杆轴AB为研究对象，由 Fy=0,得(a)题3-21图(a)解：此为一度静不定桁架。设FN,AB以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆F +F - FN,BC N, AB后取节点A为研究对象，由Fx=0和Fy=0依次得到材料力学答案1-6（桂电）39 / 87Fn ,AD = FN,AG及2Fn,adcos45 =Fn,ab在节点A处有变形协调关系（节点 A铅垂向

21、下）Albc Nab =AD- = 2- adcos45物理关系为l BCFN,BClEAAl ABFN,ABl一 EAAl ADFN ,AD 21 EA将式（e）代入式（d）,化简后得Fn,bc - Fn,ab =2Fn,ad(b)(c)(d)(e)(d)联解方程（a）, （c）和（d）,得2 ；：/2工一F （压），2 -1,AD - F N,AG -21,2FN,BC =-2- F （拉）， FN ,AB （b）解：此为一度静不定问题。考虑小轮A的平衡，由2 Fy =0 ,得FN1sin45 -F =0由此得Fni =、2F在F作用下，小轮 A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下,

22、FN2 =0Fni的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。3-22 图示桁架，杆 1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为Q1=40MPa,仃2=60MPa, 。3=120MPa ,弹性模量分另为E1二160GPa, E2=100GPa,E3=200GPa。若载荷F=160kN , Ai= A2= 2A3,试确定各杆的横截面面积。解：此为一度静不定结构。节点由图a可得平衡方程由图b得变形协调方程为根据胡克定律，有题3-22图C处的受力图和变形图分别示如图图 3-22、Fx =0, FniFn221 Fy 2FN2N3,“0、 A12,11ctan30 +A13sin303-22a

23、 和 bo(a)(b)(c),FN1l1 _ FN1l1, FN2l2 _ FN2l1, FN3l3 _ FN3l111 二二 ,Z12 = ,AI3 -二 尸1 E1A 2E1AE24.3E2A33E3A3-3E3A3(d)将式（d）代入式，化简后得补充方程为15Fn1 32Fn2 =8Fn3（c）联解方程（a） , （b）和（c）,并代入数据，得FN1 =22.6kN （压）,FN2 =26.1kN （拉），FN3 =146.9kN （拉）根据强度要求，计算各杆横截面面积如下:A1 一Fni加二 22.6 103一 40 106m2 =5.65 102=565mmF N226.1 103

24、24 22A2 -jn2 =7-m =4.35 10 m = 435mm切60M106材料力学答案1-6(桂电)A3 _FN3 =146.9 1，m2 =1.224 10-m2 =1224mm2一o3120x106根据题意要求，最后取 23-23 图a所示支架,A =A2 =2自 _ 2450mm由刚体ABC并经由钱链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C点处承受铅垂载荷 F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为 1=100 mm, A=100 mm2, E=200 GPa。设由千分表测得 C点的铅垂位移5y=0.0方mm,试确定载荷F 与各杆轴力。(a)47 / 87题3-2

25、3图解：1.求解静不定在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的 变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。由平衡方程：1MA =0 ,得F N2fni -F=0（a）2由变形图中可以看出，变形协调条件为. 1 =2.”2（b）根据胡克定律，41= 白2=.EAEA将上述关系式代入式（b）,得补充方程为Fni =2Fn2联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得(d)F -4F F.2FFN1,FN2552.由位移可确定载荷F与各杆轴力变形后,C点位移至C（CC _LAC）（图b）,且直线AC与AB具有相同的角位移 仇 因此,C点的总位移为-AC、.=

26、CC =_.：l1J1AB又由于二二2,由此得-l 1 = y将式(c)与(d)的第一式代入上式，于是得5EA,y 5(200 109 Pa)(100 10m2)(0.075 10，m)4F = =1 =1.875 10 N4l4(100 10,m)并从而得FN1 =1.5 104N,FN2 =7.5 103N3-24 图示钢杆，横截面面积 A=2500mm2 ,弹性模量E=210GPa,轴向载荷F=200kN。 试在下列两种情况下确定杆端的支反力。(a)间隙 -0.6 mm ;(b)间隙&0.3 mm。题3-24图解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为.旦二驾 *)

27、0=0.57mmEA (210 109Pa)(2500 10 m2)当间隙乐0.6 mm时,由于许6 ,杆两端将存在支反力，杆的受力如图 3-24所不。图 3-24杆的平衡方程为补充方程为由此得F -Fbx -Fcx =0Fa Fbx 2 aEA 一 EA 一F 、EA2 2a200 103N(0.0003m)(210 109P项2500 102) wkN2(1.5m)而C端的支反力则为FCx =F _FBx _200kN -47.5kN 152.5kN3-25 图示两端固定的等截面杆 AB,杆长为l。在非均匀加热的条件下，距 A端 处的温度增量为 AT =ATbX2/12 ,式中的ATB为杆

28、件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨 胀系数分别为E与ai。试求杆件横截面上的应力。X A 2 B题3-25图解：1.求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在 x处的杆微段dx就会因温升而有个微伸长a &rX2d(Alt) = 3 ATdx =Bdx全杆伸长为Altl22dx ;华32.求约束反力设固定端的约束反力为F ,杆件因F作用而引起的缩短量为由变形协调条件lF = A1t可得3.求杆件横截面上的应力EA aATbI T 3EAog ATb_3Fn cr=AF EHbA 二 33-26 图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为G强制地连接在一起，试

29、计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为。如使杆端B与节点EAo题3-26图解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号15。杆13受拉，杆4和5受压。装配后节点 G和C的受力图分别示如图图 3-26根据平衡条件，由图 a可得FN1 =FN2 =FN3由图b可得FN4 = FN5，F n3 =2Fn4 cos30 - 3F n4变形协调关系为(参看原题图)= 口 二4 /人3cos60 cos30依据胡克定律，有川=看(i=i)由强制装配容易判断, 3-26a 和 b。(a)(b)(c)(d)将式(d)代入式(c),得补充方程(e)41 2Fn4 -31 国一 EA 、3EA -Ea联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b),最后得(9 -2 . 3) EA(3、. 3 -2)EA AFn3 Fn4 231231(9-2 3)EA A ,仔、Fn,BC =Fn,GD =