第一讲曲线参数表示的基础知识(一)

1、第一讲曲线参数表示的基础知识（一）姜献峰577567实验室A213曲线参数表示的基础知识n曲线的概念n光滑曲线 曲线的正常点n曲线的切线和法线（主法线、副法线）n曲线的弧长 自然参数（弧长参数）n曲率、挠率 Frenet标架n一般参数曲线的曲率、挠率计算 曲线的概念1、把曲线看成是两个曲面的交线2、把曲线看成是动点运动的轨迹3、用映射观点来定义交线00:G(x,y,z)F(x,y,z) )(:21,ttttPPP (t)O )(: lrr BAr10 )1 ()(,tBttAtll弯曲变形表示形式复杂表示依赖运动速度变形前表示形式？几何设计中曲线表示n曲线参数表示形式

2、n综合弯曲变形和运动的思想n参数t 表示不唯一n下面代表同一条曲线 )(:21,ttttrr )( )(:21at,att tartrr几例参数曲线例1：开椭圆弧的向量参数表示(0t2 )几例参数曲线例2：圆柱螺线的向量参数表示r = a cost, a sint, bt (- t )光滑曲线 曲线的正常点n定义：如果曲线的参数表示式 或 中的函数是 阶连续可微的函数，则把这类曲线称为 类曲线。当 时， 类曲线又称为光滑曲线。n对于光滑曲线 ，假设对于曲线 上 有 则这一点称为曲线的正常点。n曲线上所有点都是正常点时，则称曲线为正则曲线。( )( )( )xx tyy tzz tatb ( )

3、rr tkC1C1k atb k( )rr t,0( )0r t( )rr t0tt曲线的切线n割线 的极限位置称为曲线在 点的切线，定点 称为切点。n对于曲线 ，称 为曲线的切向量。n切线的向量式方程为n其中 为切线上的参数。n切线的坐标式的方程)(trPQPP)(tr)()(0trtr)()()()()()(000000tztzZtytyYtxtxX曲线的法面n法面：经过切点，而垂直于切线的平面称为曲线的法面。n曲线的法面向量式方程：n曲线的法面坐标式方程：0)()(0trtr0)()()()()()(000000tztzZtytyYtxtxX曲线的弧长 自然参数n定义：对于正则曲线 称积

4、分 为曲线 从点 到 的弧长。n自然参数：以弧长作为曲线参数，称自然参数，记为s。曲线表示为n自然参数性质：n参数唯一，可能会差一个常数n切矢量单位长度n :( ),rr tottttrts0d)()()(srr 1d)(d)(ssrsr r(t0) r(t0) r(t0+t)r(t0) r(t0+t) O f)()(srsr 几例参数曲线弧长参数表示n例1：开椭圆弧n例2：圆柱螺线r = a cost, a sint, bt (- t )(0t2 )0)()(sin)()(cos)(2222szbasbsybasasx)(- ),sin(),cos()(222222sbabsbasabasa

5、sr2220bas空间曲线曲率挠率和Frenet公式n曲率：n主法向：n副法向：n其中切向量：n挠率：nFrenet标架： r(t0) r(t0) r(t0+t)r(t0) r(t0+t) O f)()(srsk ssks0lim)()(s)1)(srksN )()()(sNsTsB)()(srsT)(),(),(: )(sBsNsTsr)()()(sNsBsFrenet标架 局部运动坐标系)(sN)(sT)(sB)(sN)(sT)(sB空间曲线曲率挠率和Frenet公式n曲率刻画了曲线的弯曲程度，刻画了曲线偏离切线程度。n挠率刻画了曲线偏离密切面的程度，是曲线非平面化的量n若曲线在T正向的一

6、方，且在密切面的上面，即也在B正向的这一面，这时挠率 取正。n若曲线在正向的一方，且在密切面的下面，挠率 取负00空间曲线曲率挠率和Frenet公式nFrenet公式n性质： 与 唯一决定空间曲线n自然参数条件下)()()()()()()()()()()(sNssBsBssTsksNsNsksT)()()(0 ),( , 0 )( , 0 ),(0 ),( , 0 )()()(sBsNsTsssksksBsNsT)(s)(sk平面曲线曲率挠率和Frenet公式nFrenet标架：nn 平面法向；主法向：n曲率：n曲率可以负数； ：拐点n挠率：nFrenet公式：nsTnsTr),(),(: )

7、 s ()()()(srsTnsk 0)(s)()()()()()(sTsksNsNsksT)()( 0 ),()( , 0 )()(sNsTsksksNsT)()(sTnsN0)(0sk拐点一般参数曲线的曲率、挠率计算n空间曲线：n曲率： 挠率：n平面曲线：n参数表示： ，曲率：n对于曲线方程y=f(x)，曲率：n对于曲线方程F(x,y)=0，曲率：( )rr t3)( )( )( trtrtrk2)()()()()(trtrtrtrtr ( )rr t3)()()(trntrtrk 232)(1ffk 232222)()()(2)(yxxyyyxxyyxxFFFFFFFFFk几例参数曲线的

8、曲率、挠率n例1：开椭圆弧n平面曲线。n曲率：0)()(sin)()(cos)(2222szbasbsybasasx(0t2 )2220bas)(cos)(sin )0),(cos),(sin() 1 , 0 , 0()0),(sin),(cos()0),(cos),(sin()(22223tbtaabtbtatbtatbtatk几例参数曲线的曲率、挠率n例2：圆柱螺线n空间曲线。n曲率：n挠率：r = a cost, a sint, bt (- t )(- ),sin(),cos()(222222sbabsbasabasasr223),(cos),(sin()0),(sin),(cos(),

9、(cos),(sin()(baabtatatatabtatatk223),(cos),(sin()0),(cos),(sin()0),(sin),(cos(),(cos),(sin()(babbtatatatatatabtatat几例特殊曲率挠率的参数曲线n由Frenet公式n（1）如为广义螺线，即：作参数变换：于是：)()()(0 ),( , 0 )( , 0 ),(0 ),( , 0 )()()(sBsNsTsssksksBsNsTs0d)()(uukst0 )(/ )(kcsks)()()(0 , , 0 , 0 , 1 0 , 1 , 0 )()()(ddtBtNtTcctBtNtTt

10、几例特殊曲率挠率的参数曲线n因此n于是(0) d)d(1(cosd)d(1(sin11)( 0020022rcsEuvvkcBuvvkcAcsrsusu)()()(0 , , 0 , 0 , 10 , 1 , 0 )()()(ddtBtNtTcctBtNtTt0 0 0 1 1 1 )d(1(cos)d(1(sin1)()d(1(cos)d(1(sin11)()d(1(sin)d(1(cos)(02022020220202AEEBBAEBAEvvkcBvvkcAcctBcEvvkcBvvkcActTvvkcBvvkcAtNuuuuuu其中几例特殊曲率挠率的参数曲线n特别 时，平面曲线n当 时：n 为常数，则：n 为线性函数，则0c(0) d)d(cosd)d(sin)( 0000ruvvkBuvvkAsrsusu(0) d)1(cosd)1(sin11)( 0020022rcsEuukcBuukcAcsrss0c0)(kvk(0) d)(1(cos d)(1(sin11)( 02102021022rcsEuvkvkcBuvkvkcAcsrssvkkvk10)(几例特殊曲率挠率的参数曲线n 时，平面曲线n 为常数，则：n 为线性函数，则n 为二次函数，则(0) d)d(cosd)d(sin)( 0000ruvvkBuvv