线性代数精品课件

1、线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。在考研中的比重一般占到22%左右。在数学中的地位线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（

2、二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著九章算术）。 线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位； 在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分； 该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的； 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，

3、线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。 一、引言、引言 1995年国家教委颁布的教学大纲中指出：线性代数是高等工科本科各专业的一门重要的基础理论课。 本课程的重要性在于：本课程的重要性在于： 1.涉及变量之间线性关系的问题大量存在； 2.许多非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题； 3.随着计算机的普及，人们处理多变量、多方程的能力 大大提高； 4.与其它学科相互渗透，是许多学科的基础。二、课程特点二、课程特点：时间紧、进度快；内容较为抽象。 三、教学安排：三、教学安排： 共32学时，计划讲授前5章； 期末总评成绩按：平时占20%左右，期末考试占 80%左右计算。

4、 1.要注意预习、复习； 2.及时独立完成作业（每一章交一次作业）课代表将作业按照学号排好顺序； 3.多思考、多做习题； 4.注意培养自己的解理论证明题的能力。五、参考书目：五、参考书目： 王子亭等编线性代数典型题目分析与学习指导 相关的考研辅导书。四、几点要求四、几点要求： 本章介绍 排列的一些性质；逆序数的计算排列的一些性质；逆序数的计算 n n 阶行列式的定义、性质和计算；阶行列式的定义、性质和计算； 克莱姆法则。克莱姆法则。 学习重点： 行列式的性质和计算行列式的性质和计算第一章 n阶行列式1 1 全排列及其逆序数全排列及其逆序数1全排列及其逆序数全排列及其逆序数引例引例 用用1，2，

5、3三个数字，可以组成多少 个没有重复数字的三位数？解：百位 1，2 ，3 23 13 12 32 31 21 可以组成6个没有重复数字的三位数注：在数学上，我们把考察的对象，例如数字1，2，3称为元素。那么，把n个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法呢？这就是全排列。定义：把定义：把n个个不同的元素不同的元素排成一列，叫做这排成一列，叫做这n个元素的个元素的全排列全排列。 nP!12)1(nnnPn问题：任取一个排列，怎么来描述这个排列呢？ 这里我们可以引进一个次序，例如：对自然数，规定 从小到大为标准次序。记作：记作： 定义：当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称为一个逆序逆序;一

6、个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数逆序数，记作t。逆序数为奇数的排列叫做奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列叫做偶排列偶排列。（标准排列的逆序数为0,故为偶排列。）例如nppp21是自然数1，2，n的一个全排列，ip前面比它大的数字个数为it 个,则元素ip的逆序数为 ，it 则这个排列的逆序数为：niitt1例1：求排列3 2 5 1 4的逆序数。 解：方法一：3排在首位，逆序数为0； 2前面只有3比它大，所以2的逆序数为1； 5前面没有比它大的数字，逆序数为0； 1前面有三位数字比它大，所以1的逆序数为3； 4前面只有5比它大，所以它的逆序数为1. 整个排列的逆序数为：0+1+0+3+

7、1=5，这是一个奇排列。 方法二：按从小到大的顺序，依次求出1到5的逆序数，然后 相加。追问：还有别的方法吗？(练习)例2：求排列n (n-1) (n-2)2 1的逆序数。解：解：t=0+1+2+(n-2)+(n-1)=2)1(nn4 ,41,42,43nknknknk偶偶奇，奇当 k为偶数时，这是一个偶排列，当 k为奇数时，这是一个奇排列。的逆序数。kkkkkkk)1)(1()32( 3 )22( 2 )12( 1 )2(例3 求排列解解: :222) 1() 1() 1(22110kkkkkkkt思考题：n个自然数的全排列中，偶排列共有多少个？奇排列共有多少个？2. 排列的对换及其性质排列

8、的对换及其性质 定义：在排列中，将其中任意两个元素对调，其余元素不动,就得到另一个排列，这样一个变换叫做对对换换, 如 nijppnjippppppppji11 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换。 对换后，我们首先要考虑的是排列的逆序数变没变？那么奇偶性呢？ 当 时，对换后， 的逆序数增加1，而 的逆序数不变，其余元素的逆序数不变； 当 时，对换后， 的逆序数不变，而 ba baaa定理定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性变奇偶性。bbba,11lmaa abbb11lmaababb证明：先证相邻对换的情形。设原排列为相邻对换原排

9、列变为的奇偶性不同，即相邻对换改变排列的奇偶性。 再证一般对换的情形：mlmlbbabaababbaa1111与与排排列列排排列列的逆序数减少1，其余元素的逆序数不变。故知，nmlcbcbabaa111设设原原排排列列为为nmlcacbbbaaba111,后后为为对对换换这可看成是经过一系列相邻对换而得到：注意相邻对换的次数共2m+1次，故排列的奇偶性发生改变。nmlnmlnmlcacbbbaamccbabbaamcbcbabaa1111111111次次相相邻邻对对换换经经次次相相邻邻对对换换经经 证证 毕毕推论推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶

10、排列调成标准排列的对换次数为偶数。偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。2 n阶行列式的定义1. 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式)2() 1 (22221211212111bxaxabxaxa引例：二元线性方程组消元法得：211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax021122211aaaa分析：（1）分子，分母都是四个数分两对相乘，再作 差得到的。021122211aaaa（2）分母相同且这四个数恰好是方程组中，未知量的系数。把这四个数按照它们在方程组中的位置排列出来：22211211aaaa称此为一个两行两列的数表，其中横排为行，竖排为列

11、。在这个数表两侧加上两条竖线：22211211aaaa称为由上述数表所确定的二阶行列式，用D表示。行列式的值就是分母的值：21122211aaaa2112221122211211aaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaa记作：其中数ija（i,j分别代表这个数所在的行与列，称为行标与列标）由二阶行列式的定义有以下结论：（1）行列式的行数与列数是相等的，称为行列式的阶数。同理有三元线性方程组可以得到三阶行列式：312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa称为行列式的元素或元。 上述计算二阶与三阶行列式的

12、方法叫做对角线法则。注：（1）对角线法则只适用于二阶和三阶行列式，对更高阶行列式不再适用。(后面解释为什么) （2）三阶行列式共有6项，每一项都是位于不同行不同列的元素相乘得到的，其中三项为正三项为负。2122212221211baabababD（2）应用对角线法则，前面1x的分子可以记作：2112112211112abbababaD的分子可以记作：2x方程组的解：DDxDDx2211,同理对于三元线性方程组有：DDxDDxDDx332211,例1 用二阶行列式解方程组1212232121xxxx解：072)2(131223D141)2(112112121D2121213121232D3721

13、, 27142211DDxDDx 例2.计算三阶行列式1448243264411)2()2(2)3(2)4(4)2()4()3(12)2(21243122421D243122421D094321112xx解：例3.解方程（练习）解：3, 221xx例4.用三阶行列式解三元线性方程组：013222321321321xxxxxxxxx05111312121D51103111221D解：101013121212D50111122213D1, 2, 1332211DDxDDxDDx例5.求一个二次多项式f（x),使：f（1）=0,f(2)=3,f(-3)=28.解：设cbxaxxf2)(则：(1)0(

14、2)423( 3)9328fabcfabcfabc020139124111D4013281231101D6012891341012D2028393240113D132)(2xxxf即：a=2,b=-3,c=12.n阶行列式的定义阶行列式的定义333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa分析三阶行列式：（1）这里，每一项都是按照先写第一行的元素，再写第二行的元素，最后写第三行的元素的顺序来写的，所以右端每一项的行标排列都是1

15、2 3.（2）列标排列：取正号的项：1 2 3；2 3 1；3 1 2.“偶排列” 取负号的项：3 2 1；1 3 2；2 1 3.“奇排列”321321) 1(ppptaaa其中t为列标排列321ppp的逆序数，表示对1，2，3三个数的所有排列取和。nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaa2121212222111211) 1( 其中 为自然数1,2,n的一个排列，t 为这个排列的逆序数，表示对1，2，n 的所有排列取和。nppp21注:以上定义式也称为行列式的行顺序表示法行顺序表示法。这是n阶行列式的第一种表示方法。一阶行列式推广到n 阶行列式： 定义：1111aa关于定义,提请注

16、意以下几点： n 阶行列式一共有n!项，结果是一个数数。 右端每一项都是 n 个元素的乘积（称为一个乘积项乘积项）,这n 个元素是由行列式的不同行、不同列的元素构成的。 任一乘积项符号的确定：先把该项的n个元素 按行标排成标准顺序，然后由列标所成排列 的奇偶性来决定这一项的符号。n阶行列式的定义分三步走：取项，冠符，求和。取项，冠符，求和。数 称为行列式 的元素。nnnnnnijijaaaaaaaaaaaD212222111211)()det(ija)(ija下面是几种特殊类型的行列式，大家要记住这些例子的结论。常记例6 证明对角行列式对角行列式nnnnnn212)1(212121)1(证明：

17、 第一式是显然的，为证第二式，我们记除对角线上元素可能不为零外，其它元素皆为零 11,2121nnnnaaa11,2211,nnnnaaa于是ntnnntaaa2111, 21) 1() 1( 其中 t 为排列 的逆序数，故11,2121nnnnaaa21) 1(nn2) 1(nnt11,2211,nnnnaaa于是ntnnntaaa2111, 21) 1() 1(例7：证明下三角行列式下三角行列式nnnnnnaaaaaaaaaD221121222111 对角线上方的元素全为零。证明：证明：D中可能不为0的项只有1) 1() 1(0tnnaaaD2211nntaaa2211) 1(所以此项的符

18、号注：同理，上三角行列式：nnnnnnaaaaaaaaa221122211211上三角行列式与下三角行列式统称为三角行列式。3.行列式的列顺序表示行列式的列顺序表示nnppptnnnnnnaaaaaaaaaaaa2121212222111211) 1(任取一项：njinpjpipptaaaa)(111是标准排列，t为njipppp1nji1的逆序数nijnpipjpptaaaa)(111新的行标排列为nij1新的列标排列为nijpppp1则它的逆序数r为奇数，即1) 1(r记它的逆序数为1t，则11111trtt)()()(结论结论 调换行列式的乘积项中两元素的次序，标排列与列标排列调换行列式的乘积项中两元素的次序，标排列与列标排列的的 逆序数之和不改变奇偶性。（调换若干次以后，列表排列逆序数之和不改变奇偶性。（调换若干次以后，列表排列 为标准排列）为标准排列）npppsnaaaD2121) 1(nppp2