DSP第二章2.1

1、第二章第二章 时域离散信号和系统的频域分析时域离散信号和系统的频域分析2.2 序列的傅里叶变换及性质序列的傅里叶变换及性质2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶表示式周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶表示式2.4 序列的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变序列的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变 换之间的关系换之间的关系2.5 序列的序列的Z变换变换2.6 利用利用Z变换分析信号和系统的频域特性变换分析信号和系统的频域特性2.1 引言引言222| ( )|TTx tdt 设设x(t)是一周期信号，其周期为是一周期信号，其周期为T，若，若x(t)在一个周在一个周期内能量有限期内能量有限一、连续周期信号的傅

2、里叶级数一、连续周期信号的傅里叶级数则则x(t)可展成傅里叶级数，即可展成傅里叶级数，即00( )()jktkx tX ke2.1 引言引言x(t)由无穷多个由无穷多个复正弦复正弦所组成，第所组成，第k个复正弦频率是个复正弦频率是k00/20/21()( )TjktTX kx t edtT代表了代表了x(t)中中第第k次谐波的幅度次谐波的幅度。0=2/T。注意：注意： 傅立叶系数傅立叶系数 X(k0) 是第是第k次谐波的系数，所以次谐波的系数，所以X(k0) 在频率坐标轴上是离散的，间隔是在频率坐标轴上是离散的，间隔是0。系数系数X(k 0)时域连续周期时域连续周期频域非周期离散频域非周期离散

3、( )x tAtT220T0k0()X k非周期连续信号非周期连续信号xa(t)，假设其绝对可积：，假设其绝对可积：( )axtdt ()( )jtaaXjxt edtxa(t)的傅立叶变换：的傅立叶变换：二、连续非周期信号的傅里叶变换二、连续非周期信号的傅里叶变换 Xa (j)是是 的连续函数，称为信号的连续函数，称为信号xa(t)的频谱密度，的频谱密度， 简称频谱。简称频谱。1( )()2jtaaxtXjed连续信号可表示为具有不同角频率的连续信号可表示为具有不同角频率的复指数信号复指数信号e jt的的组合。组合。xa(t)的频谱的频谱Xa(j ) 描述了这些描述了这些复指数信号复指数信号

4、的振幅的振幅和初相位。和初相位。X a(j)的傅立叶反变换：的傅立叶反变换：时域连续非周期时域连续非周期频域非周期连续频域非周期连续( )x tA220考虑考虑输入为复指数序列输入为复指数序列时系统的输出时系统的输出令输入令输入( )j nx ne()( )( ) ()( )jn kkky nh k x nkh k e ( )jnj kkeh k e令令nnjjenheH)()(输出输出 系统的输出包含了和输入同频率的正弦，但受到一系统的输出包含了和输入同频率的正弦，但受到一复函数的调制。该复函数称为系统的复函数的调制。该复函数称为系统的频率响应频率响应，描述了，描述了复指数序列通过系统后幅度

5、和相位的变化，在系统分析复指数序列通过系统后幅度和相位的变化，在系统分析和综合中起到重要的作用。和综合中起到重要的作用。)()(jnjeHeny则则频率响应频率响应()( )jj nnH eh n e序列序列x(n) DTFT存在的存在的充分条件充分条件( )( )( )jnjnnnnx n ex nex n () ( )( )DTFTjj nnX ex nx n e序列序列x(n)的离散时间傅里叶变换的离散时间傅里叶变换(DTFT)定义定义为为：绝对可和绝对可和2.2 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换2.2.1 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 (DTFT)定义定义周期、连续周期、连续1

6、、一个稳定的序列是绝对可和的，因此稳定的序列都、一个稳定的序列是绝对可和的，因此稳定的序列都有有DTFT，从而任何稳定的系统都有有限且连续的频率，从而任何稳定的系统都有有限且连续的频率响应响应;2、任何有限长序列都是绝对可和的，都有、任何有限长序列都是绝对可和的，都有DTFT；3、不是绝对可和而是、不是绝对可和而是平方可和平方可和的序列也有的序列也有DTFT;4、既不满足绝对可和也不满足平方可和的序列，只有、既不满足绝对可和也不满足平方可和的序列，只有在频域引入冲激函数后，才可以有傅里叶变换。在频域引入冲激函数后，才可以有傅里叶变换。关于关于DTFT存在的存在的几点说明几点说明( )( )nx

7、 na u n00()()jnjnjnnnX ea eae11jae例例 求求DTFT存在的绝对存在的绝对可和条件可和条件解：解：1jae1a ( )(1)nx na un 即即同理可得同理可得DTFT存在的绝对可和条件为存在的绝对可和条件为1a 例例 设设x(n)=RN (n)， 求求 x(n)的的DTFT。10()( )Njj nj nNnnX eRn ee3arg()/ 22jX e设设N=4，sin(2)()sin(/ 2)jX e1je 11j Njee(1)/2sin(/ 2)sin/ 2j NNe/2/2/2/2/2/2()()j Nj Nj Nj NjjeeeeeeN=4;w=

8、0.00001:0.01:2*pi;x1=sin(N*w/2);x2=sin(w/2);y=abs(x1./x2);subplot(211)plot(w,y)title(长度为长度为4的矩形序列幅度频谱的矩形序列幅度频谱)xlabel(频率频率)ylabel(幅度幅度)w=0.00001:0.01:2*pi;angw=-(N-1)/2)*w+pi*fix(w/(pi/2);subplot(212)；plot(w,angw)；hold onw=0:0.01:2.5*pi;plot(w,0)title(长度为长度为4的矩形序列相位频谱的矩形序列相位频谱)xlabel(频率频率)ylabel(相位相

9、位)在在MATLAB中，如何求解并画出序列的频谱？中，如何求解并画出序列的频谱？ 1) 求出频谱函数后取出其稠密的离散点，连接成曲线求出频谱函数后取出其稠密的离散点，连接成曲线。作业：作业： 编写编写MATLAB函数，计算并图示函数，计算并图示序列的序列的DTFT。 function 幅度，相位等幅度，相位等=dtft (x,n,M)x:幅度向量幅度向量; n:时间向量；时间向量；M:频域点个数频域点个数如何编程序实现序列的傅立叶变换？如何编程序实现序列的傅立叶变换？2) 在在MATLAB中，利用编程中，利用编程计算出信号的频谱并画出。计算出信号的频谱并画出。为为 X(ej) 的离散时间傅立叶

10、反变换的离散时间傅立叶反变换IDTFT。离散时间傅里叶反变换？离散时间傅里叶反变换？()12jn medsin( -)( -)n mn m1 ()0 mnnmmn1( )()()T2ID FTjjj nx nX eX eed主要利用下式证明反变换公式主要利用下式证明反变换公式（复数正交性）（复数正交性） 证明：证明：1( )2jmj nmx m eed()1( )()2jn mmx med()12jn med1, ()0 mnnmmn1()( ) ()( )2jj nmX eedx mnmx n1()2jj nX eedjned- 可换成任意的可换成任意的2区间区间 序列序列x(n)可表示成频

11、率在可表示成频率在 2 区间范围内，区间范围内，1( )()2jj nx nX eed由由IDTFT公式公式无限小复正弦的叠加无限小复正弦的叠加由由 X(e j) 确定每一个复正弦分量相对大小确定每一个复正弦分量相对大小称称 x(n) 和和 X(e j)构成了构成了DTFT变换对变换对- ：|越大，频率越高；越接近越大，频率越高；越接近0，频率越低，频率越低(2()( ) ,jjM nnex n e）2.2.2 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换(DTFT)的性质的性质0和和2附近表示信号的低频成分，附近表示信号的低频成分， 附附近表示信号的高频成分近表示信号的高频成分1、 周期性周期性(P

12、eriodic)只分析一个周期内的只分析一个周期内的DTFT即可。即可。M为整数为整数02或()je可看成可看成x(n)在在e -jn 上的投影，上的投影，通常取通常取2、线性、线性 （Linearity）DTFT1212( )( )jjax nbx naXebXe 3、时移与频移、时移与频移/调制调制 （Time shifting and frequency shifting）0DTFT0()j njx nneX e 00DTFT( )jjnex nX e 式中，式中，a，b为常数。为常数。4、翻转、翻转(Time reversal)DTFT()jxnX e 5、共轭、共轭 (Conjuga

13、te) *( )()jx nXe*DTFT( )( )j nx nx n e()( )()jnjx n eXe( )j nx n e6、频域微分、频域微分(Differentiation in frequency)( )jdenx njd ( )() ( )jnjjndx n edejjjjn x n edd如果序列为如果序列为实序列实序列 DTFT()jjxnXeX e *()()jxnXe共轭翻转共轭翻转(Conjugate and Reversal) ( ) j nnx n e7、卷积定理、卷积定理(Convolution Theorem ) a) 时域卷积定理时域卷积定理DTFT( )

14、( )* ( )jjy nx nh neH e 证明：证明： ()DTFT ( )jY ey n( ) ()j nmnx mh nm eDTFT时移性时移性( ) ()j nnmx m h nm e ( )mx m()( )jj mmH ex m e()()jjH eX e ()jj mH ee()( ) ( )jj nnY ex n h n e证明证明：()1()( ) 2jjnnH ex n ed ()1() () 2jjH eX ed 1()()2jjX eH eb)频域卷积定理（调制定理，加窗定理）频域卷积定理（调制定理，加窗定理）( )( ) ( )y nx n h n1()2jjj

15、Y eeH e若若则则1( ) () 2jj nj nnx nH eedeh(n) 8、帕斯维尔定理（、帕斯维尔定理（Parsevals Theorem） 221( )2jnEx nX ed时域总能量等于频域总能量。时域总能量等于频域总能量。 9、 DTFT的对称性质的对称性质*( )()eex nxn(1) 共轭对称序列定义共轭对称序列定义写成实部虚部写成实部虚部：xe (n) = xer (n) + j xei (n)则则：xe* (-n) = xer (-n) j xei (-n)有：有：xer (n) = xer (-n)xei (n) = - xei (-n)实部为偶函数实部为偶函数

16、虚部为奇函数虚部为奇函数若序列满足：若序列满足：则称则称共轭对称序列共轭对称序列共轭对称序列的特点：共轭对称序列的特点：共轭对称序列的共轭对称序列的实部为偶函数实部为偶函数，虚部为奇函数虚部为奇函数 共轭对称的实序列称为共轭对称的实序列称为偶序列偶序列例：例：x(n)=ej n 的对称性。的对称性。*( )()oox nxn共轭反对称序列：共轭反对称序列：若序列满足：若序列满足：则称则称共轭反对称序列共轭反对称序列共轭反对称序列的特点：共轭反对称序列的特点：共轭反对称序列的共轭反对称序列的实部为奇函数实部为奇函数，虚部为偶函数虚部为偶函数 共轭反对称的实序列称为共轭反对称的实序列称为奇序列奇序

17、列有：有：xor (n) = - xor (-n)xoi (n) = xoi (-n)实部为奇函数实部为奇函数虚部为偶函数虚部为偶函数若：若： xo(n) = xor (n) + j xoi (n)则：则：- xo*(-n) = - xor (-n) + j xoi (-n)(2) 任意序列可表示成共轭对称序列任意序列可表示成共轭对称序列xe(n)与共轭反对称与共轭反对称 序列序列xo(n)之和。之和。x(n) = xe(n) + xo(n)x*(-n) = xe*(-n) + xo*(-n) = xe(n) - xo(n)xe(n) = x(n) + x*(-n)xo(n) = x(n) -

18、 x*(-n)( )( )( )eox nx nx n*1()()()()2jjjjeeXeXeX eXe*1()()()()2jjjjooXeXeX eXe 其中：其中：()()()jjjeoX eXeXe同样，同样，x(n)的的DTFT X(ej)也可分解成：也可分解成：( ) ( ) ( )rix nx njx n() () ()jjjeoX eXeXe( ) ( ) ( )eox nx nx n()()()jjjRIX eXejXe1 ）2 ）(3)序列序列DTFT的对称性质的对称性质( )1/ 2 ( ) ( ) rx nx nx n 1( ) ( ) ( )2ix nx nx nj

19、 1 ）实部、虚部的）实部、虚部的DTFTDTFTxr(n)Xe(ej )DTFTjxi(n)Xo(ej )j-1/ 2(e )() jXXe -1()2 (jjX eXej Xe(ej )Xo(ej )*( ) 1/2 ( ) ()ex nx nxn*( ) 1/2 ( ) ()ox nx nxn2 ）共轭对称、共轭反对称部分的）共轭对称、共轭反对称部分的DTFTDTFTxe(n)XR(ej )DTFTxo(n)jXI(ej )1/ 2 ()()jjX eXe1/ 2 ()()jjX eXejXI(ej )XR(ej )*()()()jjjeX eXeXe3) 实数序列的实数序列的DTFT满足共轭对称性满足共轭对