D7_1、2基本概念、可分离变量微分方程

1、目录 上页 下页 返回 结束 做人别太滑，自己像乱麻。天天算计人，迟早要挨砸。做人别太滑，自己像乱麻。天天算计人，迟早要挨砸。做人别太奸，都有一片天。你若想玩人，山外有座山。做人别太奸，都有一片天。你若想玩人，山外有座山。做人别太懒，经常把漏捡。没事多勤奋，何必去走险。做人别太懒，经常把漏捡。没事多勤奋，何必去走险。做人别怕累，总得遭点罪。你要想轻松，那就做残废。做人别怕累，总得遭点罪。你要想轻松，那就做残废。常微分方程yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的基本概念 第六节-1微分方

2、程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题目录 上页 下页 返回 结束 引例引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数)由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2. 列车在平直路上以sm20的速度行驶, 获得加速度,sm4 . 02a求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知4 . 0dd22ts,00ts200

3、ddtts由前一式两次积分, 可得2122 . 0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202 . 02说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) .制动时目录 上页 下页 返回 结束 常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数或偏导数 的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本部分内容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或本部分研究

4、的对象目录 上页 下页 返回 结束 ,00ts 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立独立的任意常数的个数个数与方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同阶数相同.特解特解21xy200ddtts引例24 . 022ddtsxxy2dd引例1 Cxy22122 . 0CtCts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 验证函数是微分方

5、程tkCtkCxsincos2122ddtx的通解,0Axt00ddttx的特解 . 解解: 22ddtxt kkCsin22)sincos(212tkCtkCkxk2这说明tkCtkCxsincos21是方程的解 . 是两个独立的任意常数,21,CC),(21为常数CCt kkCcos2102xk利用初始条件易得: ,1AC 故所求特解为tkAxcos,02C故它是方程的通解.并求满足初始条件 目录 上页 下页 返回 结束 求所满足的微分方程 .例例4. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 QPQxyOx解解: 如图所示, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 点

6、的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 转化 可分离变量微分方程 第六节-2解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy目录 上页 下页 返回 结束 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x),

7、目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y12221(

8、1)1yxx （或或）目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:目录 上页 下页 返回 结束 当一个原子在放射中失去一些质量时，原子的剩余部分就重新组为某种新的元素的原子，这个放射过程和变化称为放射性衰减放射性衰减，自然地经历这一过程的元素，则是放射性元素放射性元素。实验指出在任何给定的时间，放射性元素衰减的速率近似地正比于现存的放射性原子核的数目。目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 子的含量 M 成正比,0M求

9、在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意, 有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量, MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始条件, 得0MC 故所求铀的变化规律为.e0tMM然后积分:td)(已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO目录 上页 下页 返回 结束 例5（利用碳-14测定年代）注：001e2tMM 即1e,2t ln2t半衰期已知样本中原有的10%的原子核已经衰减。求样本的年代。解：由ln2t得ln257000.9teln0.9t 866 古生物学家利用这种方法来测定贝壳、种子和木质人造物的年龄，比如古画、衣物等含碳物。碳-14的半衰期为5700年。目录 上页 下页 返回 结束 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:根据几何关系、物理规律或微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 说明说明: 1、通解不一定包含方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程 y = x 及 y = C 2、解微分