D3_1微分中值定理;D3_2洛必达法则

1、1 1/22/22高等数学（上）高等数学（上）2. (32 ),.yfxfdy其中 可微 求2sin (1)1. ,.xyedy求 3.( )lnlnln(),(0),_.yf xxyxxoxxy 若若在在 处处满满足足则则2 2/22/22高等数学（上）高等数学（上）一、罗尔一、罗尔( (Rolle) )定理定理二、拉格朗日二、拉格朗日( (Lagrange) )中值定理中值定理 三、柯西三、柯西( (Cauchy) )中值定理中值定理 第一节第一节 中值定理中值定理 四、三个中值定理的关系四、三个中值定理的关系 3 3/22/22高等数学（上）高等数学（上）1.1.费尔马费尔马( (Fer

2、mat) )引理引理设设f( (x) )在在x0点的某个邻域内有定义点的某个邻域内有定义, ,若若f( (x) )满足满足: :(1) (1) 在在x0点取得最大值点取得最大值( (或最小值或最小值); );(2) (2) 在在x0可导可导( (即即f ( (x0) )存在存在); );则有则有f ( (x0)=0.)=0.4 4/22/22高等数学（上）高等数学（上）2.2.罗尔罗尔( (Rolle) )定理定理 设函数设函数f(x)满足满足: :(1) (1) 在在 a, b 上连续上连续; ;(2) (2) 在在( (a, b) )内可导内可导; ;(3) (3) f( (a)=)=f(

3、 (b). ).则至少存在一点则至少存在一点 ( (a, b), ),使使 f ( ( )=0.)=0.xyo)(xfy ab1 2 几何解释几何解释 端点等高连绵不断的光滑曲线必有水平切线端点等高连绵不断的光滑曲线必有水平切线. .5 5/22/22高等数学（上）高等数学（上）注意注意Rolle定理的定理的三个条件缺一不可三个条件缺一不可, ,否则结论未必成立否则结论未必成立. .1,010,)(xxxxf 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yOx1y1Ox1yO不连续在 1 , 0不可导在) 1 , 0() 1 ()0(ff例如例如6 6/22/22高等数学（上）高等数学（上

4、）例例1 1?,?3 , 03)( 则则若若满满足足条条件件上上是是否否满满足足罗罗尔尔定定理理的的在在xxxf例例2 2( )(1)(2),( )0?.f xx xxfx设不求导数 判断方程有几个实根 并指出根所在区间 ( )0,1,(0,1),(0)1,(1)0,:(0,1),( )1.f xfff 设设在在上上连连续续 在在内内可可导导 且且证证明明 至至少少存存在在一一点点使使例例3 37 7/22/22高等数学（上）高等数学（上）重要应用重要应用 设辅助函数的步骤：设辅助函数的步骤：1.1.将要证明的等式移项将要证明的等式移项, ,使左端是使左端是 的函数的函数, ,右端右端是零是零

5、; ; 2. 2. 用用x代替代替, ,将左端化为某函数的导数将左端化为某函数的导数, ,或通过恒或通过恒等变形化为某函数的导数等变形化为某函数的导数; ; 3.3.设此函数为设此函数为F(x).( )F x验验证证在在相相关关的的区区间间上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的三三个个条条件件, ,并并套套用用结结论论即即可可. .但要构造函数但要构造函数F( (x), ),使使F(x)满足中值定理条件满足中值定理条件. . 证明含有证明含有 的恒等式一般采取的恒等式一般采取Rolle中值定理中值定理, , ( )f8 8/22/22高等数学（上）高等数学（上）2( )1,2,(1,2), (1)0

6、,11(2):(1,2)( )2f xfff设在上连续 在内可导 且证明 至少存在一点使例例4 4101001,0,21:0(0,1)nnnnaaa aaanaa xa x设满足 证明 方程在内至少存在一个实根。例例5 5( )(1)( );ff (2)( )( )( )( )0;ffgg(3)( )2( )0;ff9 9/22/22高等数学（上）高等数学（上）( ) , ,( , ), ( )( )0,:( , )( )( )0f xa ba bf af ba bff练习：设在上连续 在内可导 且证明 至少存在使( )( ).xF xe f x1010/22/22高等数学（上）高等数学（上）

7、规律规律:要证等式要证等式辅助函数辅助函数0)()( kff)()(xfexFkx 0)()()( fgf)()()(xfexFxG )()(xgxG 例例如如0)(11)(2 ff要证等式为要证等式为)()(arctanxfexFx 设设辅辅助助函函数数1111/22/22高等数学（上）高等数学（上）2( )(2)( ).1ff123123( ), ), ()()(),:( , )( )0f xa bf xf xf xaxxxba bf例：设在(内具有二阶导数且其中：证明 至少存在使:1212/22/22高等数学（上）高等数学（上） 右图告诉我们右图告诉我们, ,如果曲线弧如果曲线弧AB是一

8、条是一条连续光滑连续光滑的曲线的曲线, ,且且端点处等高端点处等高, ,那么在那么在AB曲线段曲线段上上, ,至少能找到一点至少能找到一点P, ,过过P点作点作曲线的切线恰好平行于曲线的切线恰好平行于x轴也轴也平行于直线平行于直线AB. .xyo)(xfy ab1 P2 ABabafbff )()()( abxoy)(xfy ABC)()(afbf ab 1 1313/22/22高等数学（上）高等数学（上）若函数若函数f( (x) )满足满足: : (1)(1)在在 a, b 上连续上连续; ;(2)(2)在在( (a,b) )内可导内可导; ;则至少存在一点则至少存在一点 ( (a,b),

9、),使使 .abafbff 2.2.拉格朗日拉格朗日( (Lagrange) )中值定理中值定理 ( )( )( )()( , ).f bf afbaa b 结结论论亦亦可可写写成成-拉格朗日中值公式的常用形式拉格朗日中值公式的常用形式连续处处有切线的曲线连续处处有切线的曲线, ,必有平行于两个端必有平行于两个端 点所在直线的切线点所在直线的切线. .几何解释几何解释1414/22/22高等数学（上）高等数学（上）)()()()1(abfafbf ),(之间之间在在ba 拉格朗日公式的等价形式拉格朗日公式的等价形式说明说明 拉格朗日中值公式精确地表达了函数在一个区间拉格朗日中值公式精确地表达了

10、函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. .在函数和导数之间架起了桥梁在函数和导数之间架起了桥梁, ,为导数的应用奠定了理为导数的应用奠定了理论基础论基础. .1515/22/22高等数学（上）高等数学（上）0000(2) ()()( ),f xxf xfxxxx 在在之之间间( )yfx 即即xxfdyy )(0说明说明 函数的增量可以精确的表示为函数在这区间内某函数的增量可以精确的表示为函数在这区间内某(3),01,()( )( )()(),(01)aababaf bf af ababa令则即点处的导数与自变量改变量的乘积

11、点处的导数与自变量改变量的乘积, ,因此拉格朗日中值因此拉格朗日中值定理又称为有限增量定理定理又称为有限增量定理. .1616/22/22高等数学（上）高等数学（上）( )( , ),( )0,( )( , ).f xa bfxf xa b若函数在区间内可导 且则在区间内恒为常数推论推论2.2.定理的推论定理的推论(2)( )( ),.f xCxf xCC在使成立的范围内取 的某个特殊值代入求出 具体值( )f xC 用用推推论论证证明明的的一一般般方方法法: :注意在开区间注意在开区间内使用推论内使用推论(1)( )0,( );fxf xC先证推导出1717/22/22高等数学（上）高等数学

12、（上）. 1, 1,2arccosarcsinxxx例例7 7 证明证明: :当当0ab时时, ,l.nbabbabaa例例5 5 证明等式证明等式例例6 6 证明不等式证明不等式ln(1), (0).1xxxxx1818/22/22高等数学（上）高等数学（上）设函数设函数f(x), g(x)满足满足: :(1) (1) 在在 a, b 上连续上连续; ;(2) (2) 在在( (a,b) )内可导内可导, ,且且 x (a, b), g (x) 0则至少存在一点则至少存在一点(a,b),使使 .)()()()()( gfagbgafbf 三、柯西三、柯西( (Cauchy) )中值定理中值定

13、理1919/22/22高等数学（上）高等数学（上）f(a)=f(b)g(x)=xRolle定理定理Lagrange定理定理0)( fCauchy定理定理).()()( fabafbf)()()()()()( gfagbgafbf 微分中值定理的核心是拉格朗日中值定理微分中值定理的核心是拉格朗日中值定理,拉拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广格朗日中值定理是罗尔定理的推广, ,柯西定理是拉柯西定理是拉格朗日中值定理的推广格朗日中值定理的推广. .2020/22/22高等数学（上）高等数学（上）三、其他未定式的极限三、其他未定式的极限 二、洛必达法则二、洛必达法则 一、问题的提出一、问题的提出第二节第

14、二节 洛必达法则洛必达法则 2121/22/22高等数学（上）高等数学（上）30sinlimxxxx 两个无穷小量或两个无穷大量之商的极限两个无穷小量或两个无穷大量之商的极限, ,随着随着00( )函数形式的不同函数形式的不同, ,其极限值可能存在其极限值可能存在, ,也可能不也可能不存在存在; ;可能是无穷小量可能是无穷小量, ,也可能是无穷大量也可能是无穷大量, ,因此因此00被称之为被称之为“未定式未定式”，记为，记为 型或型或 型型. .2222/22/22高等数学（上）高等数学（上）定理定理1 (1 (0/0) )型的洛必达法则型的洛必达法则) )若若 且且 则则)()()(lim)

15、()(lim)()(/ )(lim, 0)(lim)(lim 或或或或AxgxfxgxfAxgxfxgxf例例1 1 计算计算30sinlimxxxx 例例2 2 计算计算320sin2 ln(13 )limxxxxxeex 2323/22/22高等数学（上）高等数学（上）注意注意1 洛必洛必达达法则是求解未定型极限的有效方法法则是求解未定型极限的有效方法, , 1)等价无穷小替换法等价无穷小替换法; ;洛必达法则的运算洛必达法则的运算; ;3)使用洛必达法则的同时使用洛必达法则的同时, ,结合化简结合化简. . 但是要结合各种方法但是要结合各种方法, ,以求最捷方式以求最捷方式. .2)将极

16、限存在的非零因子分离出来不参与将极限存在的非零因子分离出来不参与2424/22/22高等数学（上）高等数学（上）注意注意2 只要满足条件只要满足条件, ,可多次使用洛必可多次使用洛必塔塔法则法则. .即即( )0,( ),( ),( )0fxfxgxgx 若若仍仍属属型型 且且满满足足定定理理的的条条件件 则则( )( )( )limlimlim.( )( )( )f xfxfxg xg xgx但每次使用前都必须检验极限类型是否为但每次使用前都必须检验极限类型是否为 型；型； )00(如如3200lim278xxxee 32012lim94xxxee 2525/22/22高等数学（上）高等数学

17、（上）例例4 4 求求0tanlimsinxxxxx 例例5 5.1arctan2limxxx 求求例例3 3 求求xxxeexxxsin2lim0 2626/22/22高等数学（上）高等数学（上）332132lim1xxxxxx 例例6 6 求求2021lim.1 cosxxx练习： 求2727/22/22高等数学（上）高等数学（上）定理定理2 ( 2 ( 型洛必达法则型洛必达法则) )( ) 若若 且且 则则)()()(lim)()(lim)()(/ )(lim,)(lim)(lim 或或或或AxgxfxgxfAxgxfxgxf2828/22/22高等数学（上）高等数学（上）例例8 8 计

18、算计算lim()xnxenZx 例例7 7 计算计算0lnsinlimlnxxx 例例9 9 计算计算211000limxxex 例例10 10 计算计算limlnnnnen 2929/22/22高等数学（上）高等数学（上） 例例11计算计算limsinxxxx 例例12 12 计算计算 xxx21lim 在使用洛必在使用洛必达达法则时法则时, ,若若 不存在不存在, ,也不为也不为 , ,不能说不能说明原极限不存在明原极限不存在, ,此时洛必此时洛必达达法则法则“失效失效”, ,改用其他改用其他方法计算方法计算. . xgxfxx 0lim3030/22/22高等数学（上）高等数学（上）1)

19、 只有只有 才有才有洛洛必达法则必达法则; ;)(),(00 5) 其他类型的未定型其他类型的未定型, ,只有先转化为只有先转化为 后才有可后才有可)(),(00 2) 每用一次洛必达法则后每用一次洛必达法则后, ,都要检验能否继续使用都要检验能否继续使用; ;3) 要善于利用第一章中的方法要善于利用第一章中的方法, ,简化极限的计算简化极限的计算; ;4) 注意洛必达法则失效的情形注意洛必达法则失效的情形; ;使用洛必达法则使用洛必达法则注意事项注意事项: :能使用洛必达法则能使用洛必达法则. .3131/22/22高等数学（上）高等数学（上）型型)00(型型)0( 型型)( 型型0001 , 型型)( 未定式未定式: :基本类型基本类型: :其他类型其他类型: :3232/22/22高等数学（上）高等数学（上）型型 0. 1转化方式转化方式: :“化乘为除化乘为除”例例1 13 30limln .xxx计算 通常可以按照通常可以按照“反对幂三指反对幂三指”排序排序, ,排在前面排在前面的函数放在分子上的函数放在分子上, ,后面的函数放在分母上后面的函数放在分母上. .例例1414例例1515lim(arctan )2xxx计算01limlnln.xxx计算3333/22/22高等数学（上）高等数学（上）型型 . 2转化方式转化方式: :例例16