第五章 杆件内力(Lu_x)

1、HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力5-1 内力内力 的的 概概 念念 由于物体受到外力作用所引起的内部各质由于物体受到外力作用所引起的内部各质点间相互作用力的改变量点间相互作用力的改变量“附加内力附加内力”，简称为内力。简称为内力。HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力xzyoFx轴向力轴向力Fy、 Fz剪力剪力Mx扭矩扭矩My、 Mz弯矩弯矩ABCF1FnF1F2以上分析内力的方法以上

2、分析内力的方法F1F2ABFRMoFyFzFxMyMxMzHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力ABFNAFNA外力外力：作用线沿杆轴线方向。作用线沿杆轴线方向。ABFNAFNA变形变形：沿轴向伸长或缩短，沿横向（垂直于轴向）沿轴向伸长或缩短，沿横向（垂直于轴向）缩小或增大。缩小或增大。轴向拉轴向拉压杆件压杆件HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力FNAFNBABmmFNAFNIFN (x) = FNA 内力（轴力）方程内力（轴力）方程FN (x) 轴轴 力。力。规定：规定： 杆受拉

3、，杆受拉，FN 为正。为正。杆受压，杆受压，FN 为负。为负。xxHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力根据轴力方程画出的内力图根据轴力方程画出的内力图 轴力图轴力图。FNAFNBABmmFNAxFN内力方程：内力方程：FN（x）=f（x）轴力方程轴力方程HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力4kN4kNABmmFN = 4kN=常量常量4kNFN例例1 1：HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力例例2：求求AD杆的轴力并画轴力

4、图。杆的轴力并画轴力图。10KNFN1CD 段：由段：由Fix = 0，10 - FN1 = 0 FN1 = 10 kNFR10KND221133BA10KN20KNCxHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力BC段：由段：由Fix = 0，10 - 20 - FN2= 0， FN2 = - 10 KN。10KNFN220KNFR10KND221133BA10KN20KNCxHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力10KNFN320KN10KNAB段：由段：由Fix = 0，10 - 2

5、0 - 10 - FN3= 0， FN3 = - 20 KN。FR10KND221133BA10KN20KNCxHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力102010FN（kN）内力图的一些特点内力图的一些特点!FR10KND221133BA10KN20KNCxHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力 例例 3 3：杆除在杆除在A A、D D端各有一集中力作用外，端各有一集中力作用外，BCBC段作用有沿段作用有沿杆长均匀分布的轴向外力，集度为杆长均匀分布的轴向外力，集度为2 2kN/ /m

6、，作杆的轴力图。，作杆的轴力图。3kN1kN2kN/ mABCD2m2m2m由由Fix = 0， - 3 +2x + FN (x) = 0， FN (x) = 3 - 2x . x = 0 时时 , FN (x) = 3 kN . x = 2m 时时 , FN (x) = - 1 kN. 3kN2mABxFN(x)xHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力13FN（KN）3kN1kN2kN/ mABCD2m2m2mHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力外力外力：力偶，且作用在垂直与轴线

7、的平面内。力偶，且作用在垂直与轴线的平面内。变形变形：各横截面绕杆轴线作相对转动。任两截面间各横截面绕杆轴线作相对转动。任两截面间相对转动的角度相对转动的角度扭转角；杆的纵线也转过一角扭转角；杆的纵线也转过一角度度，变，变成螺旋线。成螺旋线。TT纵线纵线轴线轴线HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力圆形截面的扭转构件圆形截面的扭转构件圆轴。圆轴。以扭转变形为主要变形的受力杆件以扭转变形为主要变形的受力杆件轴轴。TT纵线纵线轴线轴线HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力一、扭矩的计算（

8、内力的计算）一、扭矩的计算（内力的计算）截面法截面法 Mx （x） = T 扭矩方程扭矩方程 Mx 扭扭 矩矩 规定：按右手法则，力矩矢的方向指向横截规定：按右手法则，力矩矢的方向指向横截面的外法线方向为正，反之，为负。面的外法线方向为正，反之，为负。mmTTMxTmmxHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力151Mx1二、扭矩图二、扭矩图段：段：Mx1= -5 Nm1122115Mx21122331152Mx3段：段：Mx2 = 11-5=6 Nm段：段：Mx3 = 11-5-2=4 Nm11223311Nm5Nm2Nm4Nm单位: N

9、mHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力11223311524645Mx(Nm)HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力80kNm2m8m10kNm/m例题例题 作图示桩的扭矩图作图示桩的扭矩图Mx:80kNmHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力一、概述一、概述外力外力:外力或外力偶作用在包外力或外力偶作用在包 含轴线的纵对称平面内。含轴线的纵对称平面内。变形变形:轴线弯曲。横截面转动。轴线弯曲。横截面转动。以弯曲为主要变形的杆

10、以弯曲为主要变形的杆梁梁。若外力或外力偶作用在纵向对称面内，杆的轴线在若外力或外力偶作用在纵向对称面内，杆的轴线在此平面内弯成一平面曲线此平面内弯成一平面曲线平面弯曲平面弯曲。纵向对称面纵向对称面轴线轴线HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力 梁的种类梁的种类A、简支梁、简支梁B、外伸梁、外伸梁C、悬臂梁、悬臂梁F1F2F1F2F1F2HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力MZFRBFQBFP2FQ剪力剪力MZ弯矩弯矩由由Fiy =0， FRA- FP1 - FQ =0 得得FQ =

11、 FRA- FP1 由由MiC =0， FRA x - FP1（x-a）- MZ =0 得得 MZ = FRA x - FP1（x-a）FP1FRAFQMZxxyAFP1FP2FRAFRBmmxaBAHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力规规 定：定：MZ：MMZMMZ上凹下凸弯矩正上凹下凸弯矩正, 反之为负反之为负左下右上剪力正左下右上剪力正, 反之为负反之为负FQ FPFQ FPFQ：HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力例题：例题：已知已知 q=2 kN / m，求，求 1-1

12、，2-2，3-3 截面上的内截面上的内力。力。yqx3322MAFRA112 m1 m1 m1-1 截面截面：FQ1 = 22 = 4 kN，Mz1 = -2 2 3 = - 12 kNm2-2 截面截面：FQ2 = 22 = 4 kN， Mz2 = -2 2 1 = - 4 kNm3-3 截面截面：FQ3 = 21 = 2 kN， Mz3 = -2 1 0.5 = - 1 kNmHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力FQ = FQ（x） 剪力方程剪力方程Mz = Mz（x） 弯矩方程弯矩方程方程用图来表示方程用图来表示- 剪力图和弯矩图

13、剪力图和弯矩图!xBAqlHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力 例例1：已知：已知q，求剪力方程和弯矩方程。并画，求剪力方程和弯矩方程。并画出出FS图和图和 Mz 图。图。解：解：1求支座反力求支座反力 FRA = FRB = q l / 22求方程求方程 FQ(x) = q l / 2 - q x Mz (x) = qlx / 2 - qx2 / 2 ( 0 xl ) xBAqlFRAFRBxMzAqFRAFQHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力ql 2 / 8Mzql / 2

14、FQql / 23 3画剪力弯矩图画剪力弯矩图由由 FQ(x) = q l / 2 - q x ( 0 xl ) Mz (x) = qlx / 2 - qx2 / 2 ( 0 xl ) 取取 x = 0, FQ(x) = q l / 2 ， Mz = 0 x = l, FQ(x) = - q l / 2，Mz = 0由由 d Mz(x) / d x = 0 , 当当 x = l / 2 Mz max = ql 2 / 8 由图看出由图看出: : FQmax = q l / 2 ， 发生在梁两端截面上。发生在梁两端截面上。 Mz max = ql 2 / 8，发生在梁跨中截面上。发生在梁跨中截面

15、上。xBAqlFRAFRBHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力例例2： 已知已知 FP，求，求FQ(x)和和 Mz (x)。并画出并画出 FQ图和图和 Mz 图。图。 1求支座反力求支座反力 由由MB =0 , FRA = FPb / l 由由MA =0 , FRB = FPa / l解：解：xBAFPlFRAFRBabc 2求求FQ(x)和和 Mz (x)。 AC: FQ (x) = FRA = FPb / l (0 x a) Mz (x) = FRAx = FPbx / l (0 x a)BC: FQ(x) = FRA -FP= F

16、Pb / l -FP= -FP a / l (ax l) Mz (x) = FRAx - FP (x -a)= Fpa(l - x) / l (axl)HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力3画画 FQ(x)图和图和 Mz (x)图图。 AC: FQ(x) = FRA = FPb / l (0 x a) Mz (x) = FRAx = FPbx / l (0 x a)BC: FQ(x) = FRA -FP= FPb / l -FP= -FP a / l (ax l) Mz (x) = FRAx - FP (x -a)= Fpa(l - x

17、) / l (axl)FQFPb / lFP a / lMzFPba / l FpFQMzHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力 2求求FQ(x)和和 Mz (x)。 AC: FQ(x) = - FRA = - m / l (0 x a) Mz (x) = - FRAx = - mx / l (0 x a) BC: FQ(x) = - FRA = - m / l (ax l) Mz (x) = m - FRAx = m (l -x ) / l (axl) 例例 3： 已知已知m，求，求FQ(x)和和 Mz (x)。并画出并画出FQ图和图和

18、 Mz 图。图。 1求支座反力求支座反力 FRA = FRB = m / l解：解：3画画 FQ(x)图和图和 Mz (x)图图。mxBAlFRAFRBabcHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力FQm/lMzma/lmb/lHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力QQQHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力dxFQ(x)q(x)FQ(x)+dFQ(x)MZ(x)MZ(x)+dMZ(x)由由Fiy=0， FQ(x)+q(x)dx

19、-FQ(x)+dFQ(x)=0由由Mic=0， FQ (x)dx+ MZ(x)+q(x) dxdx/2-MZ(x)+d MZ(x)=0 d FQ(x) / dx=q(x) （1）d MZ(x) / dx= FQ (x) （2）d2 MZ(x) / dx2=q(x) （3）FPxdxxyq一、一、FQ(x),M(x),q(x)的微分关系的微分关系HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力（1） FQ图上某一点切线的斜率就等于梁上该点图上某一点切线的斜率就等于梁上该点的荷载梁度的荷载梁度 q（x）。）。（2）Mz图上某一点切线的斜率就等于梁上该点

20、图上某一点切线的斜率就等于梁上该点处的剪力处的剪力FQ（x）。）。（3）可帮助判断）可帮助判断Mz图的凹凸。图的凹凸。d MZ(x) / dx= FQ (x)d2 MZ(x) / dx2=q(x)HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力 d FQ(x) / dx=q(x) d MZ(x) / dx= FQ(x) d2 MZ(x) / dx2=q(x)讨论特例讨论特例 q=0: FQ=c (）. Mz=线性线性, FQ0 ( ); FQ0 ): FQ=线性线性( / ), Mz=抛物线抛物线( ) (0 ): FQ=线性线性( ), Mz=抛

21、物线抛物线( ) FQ=0: Mz取极值。取极值。HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力例例 ： 画出画出 FQ图和图和 Mz 图。图。20KNABCD12 3562m8m2m160KNm20KN/mFRAFRB解：解：1求反力求反力由由MA= 0，FRB= 148 KN. MB= 0，FRA= 72 KN.2画画FQ、M图。图。分段分段ACCBBDqq=0 q=c (0) q=c (0)FQ图图水平线水平线斜直线斜直线( )斜直线斜直线( )M图图斜直线斜直线( )下凸曲线下凸曲线()下凸曲线下凸曲线()HOHAI UNIVERSITY

22、静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力x = 3.6m20608872FQ(KN)FQ：6个控制截面个控制截面FQ1 = FQ2 =FQ3 =FRA =72 KNFQ4 =72 - 208 = - 88 KNFQ5 =72 - 208 + FRB =60 KNFQ6 = 72 - 2010 + FRB = 20 KN20KNABCD12 3562m8m2m160KNm20KN/mFRAFRBHOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力8016144113.6Mz(KNm)Mz：需：需 7 个控制截面个控制截面Mz 1 =

23、 0， Mz 2 = 722 =144 KNmMz 3 = 72 2 - 160 = - 16KNmMz 4 =72 10-160-1604 = - 80 KNmMz 5 = Mz 4 = - 80 KNmMz 6 = 7212 - 160 - 20105 -1482= 0当当FQ（x）=0时，时， Mz （x）有极值。）有极值。x = 3.6处，处， FS（x）=0 。即即Mz7 = 72 5.6 - 160 - 203.6 3.6 / 2 = 113.6 KNm 全梁的最大剪力在全梁的最大剪力在 4 截面处截面处, |FQmax |= 88 KN, 最大弯矩在最大弯矩在 2 截面处截面处,

24、 Mz max =144 KNm.HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力例题：画剪力和弯矩图例题：画剪力和弯矩图3kN/m2kN/m4kNm4kNmAB2m2m4mFAFB解：解：1 1、求约束反力、求约束反力FA=29/3kN，FB=13/3kN2 2、取控制截面，分析每段剪、取控制截面，分析每段剪力弯矩的分布规律力弯矩的分布规律12 34 56 q -3 0 -2FQMz 斜线斜线3 3、求控制截面的剪力和弯矩、求控制截面的剪力和弯矩FQ1=0；FQ2=-6kN FQ3=FQ4=FQ5=11/3kNFQ6=-13/3kN画剪力图画剪力图611/313/3FQ（kN）Mz1=4; Mz2=Mz3=-2; Mz4=16/3;Mz5=4/3; Mz6=04216/34/34.69Mz(kNm)1.83HOHAI UNIVERSITY静力学电子教案静力学电子教案第五章第五章 杆件的内力杆件的内力在小变形的范围内，在几个因素（力）共在小变形的范围内，在几个因素（力）共同作用下所产生的结果，就等于各个因素（力