材料力学第14章(静不定)-06

1、第十四章第十四章 超静定结构超静定结构141 超静定结构超静定结构142 用力法解超静定结构用力法解超静定结构143 对称及反对称性质的应用对称及反对称性质的应用 用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为为超静定结构超静定结构，也称为，也称为静不定结构静不定结构。 在超静定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为在超静定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多多余约束余约束，多余约束相对应的反力称为，多余约束相对应的反力称为多余约束反力多余约束反力，多余约束的，多余约束的数目为结构的数目为结构的超静定次数超静定次数。14-

2、1 超静定结构概述超静定结构概述超静定问题分类超静定问题分类第一类：第一类：外力超静定。外力超静定。仅在结构外部存在多余约束，仅在结构外部存在多余约束，即支反力是超静定的。即支反力是超静定的。超静定问题分类超静定问题分类第一类：第一类：外力超静定：外力超静定：仅在结构外部存在多余约束，仅在结构外部存在多余约束，即支反力是超静定的。即支反力是超静定的。第二类：第二类：内力超静定：内力超静定：仅在结构内部存在多余约束，仅在结构内部存在多余约束，即内力是超静定的。即内力是超静定的。FFFFFFACFDBCFDBFF超静定问题分类超静定问题分类第一类：第一类：外力超静定：外力超静定：仅在结构外部存在多

3、余约束，仅在结构外部存在多余约束，即支反力是超静定的。即支反力是超静定的。第二类：第二类：内力超静定：内力超静定：仅在结构内部存在多余约束，仅在结构内部存在多余约束，即内力是超静定的。即内力是超静定的。第三类：第三类：混合超静定：混合超静定：在结构外部和内部均存在多余约在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内力是超静定的。束，即支反力和内力是超静定的。分析方法分析方法1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。力法：以未知力为基本未知量的求解方法。2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。一、力法的基本思路（举例说明）一、力法的基本思路（举例说明

4、）解：解：判定静不定次数（一次）判定静不定次数（一次） 例例1 如图所示，梁如图所示，梁EI为常数。为常数。试求支座反力，作弯矩图。试求支座反力，作弯矩图。14-2 用力法解超静定结构用力法解超静定结构选取并去除多余约束，得到静定选取并去除多余约束，得到静定基，见图基，见图(b)。 ClFABl(a)X1F(b)CAB列出变形协调方程：列出变形协调方程：01 加上原载荷加上原载荷,加上多余约束反力，加上多余约束反力，（ 1表示表示B点沿点沿X1方向的位移）方向的位移）A111 应用叠加法：应用叠加法：11111 XX 由由F1 FB11X X101111 XF01111 XF 变形协调方程变形

5、协调方程01111 FX 或：或：力法正则方程力法正则方程系数系数 11和和1F可由莫尔定理求得可由莫尔定理求得(积分或图乘积分或图乘)系数系数 11和和1F可由莫尔定理可由莫尔定理(积分或图乘积分或图乘)求得求得(图图c、d)265()21(11llFlEIF )232()2221(111lllEI AB1(d)(c)FBFl2lEIFl65 3 EIl3 83 0653 8313 EIFlXEIlFX165 1 llCFAB165F求其它约束反力求其它约束反力 由平衡方程可求得由平衡方程可求得 A 端反端反力，其大小和方向。力，其大小和方向。作弯矩图，见图作弯矩图，见图(e)。1611F8

6、3Fl(e)83Fl165Fl+注意注意：对于同一超静定结构，若选取不同的多余约束，则基对于同一超静定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图所示的简支梁。余约束，基本静定系是如图所示的简支梁。CFABX1二、力法正则方程二、力法正则方程01111 FX 11在基本静定系上，在基本静定系上， X1取单位值时引起的在取单位值时引起的在X1作用点沿作用点沿 X1方向的位移；方向的位移；变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。X1多余未知

7、量；多余未知量； 1F在基本静定系上，在基本静定系上， 由原载荷引起的在由原载荷引起的在X1作用点沿作用点沿 X1方向的位移；方向的位移；力法解超静定的基本步骤：力法解超静定的基本步骤：判定超静定次数。判定超静定次数。选取并去除多余约束，代以多余约束反力选取并去除多余约束，代以多余约束反力。 建立力法正则方程：建立力法正则方程：画出两个图：原载荷图和单位力图。画出两个图：原载荷图和单位力图。 计算正则方程的系数：计算正则方程的系数： 1F和和 11，两图互乘得，两图互乘得 1F ，单，单位力图自乘得位力图自乘得 11。01111 FX 试求图示曲杆的支座反力。试求图示曲杆的支座反力。例例2OF

8、AaOj jFAX1Oj jABOj jFABOj j1 1FAOj j1 1A1B2F2F1)cos(2 )(11j jj jRRFM )cos1(2 1j j FR11sin)(j jj jRM j j2 2j j2 2)cos(2 )(22j jj jRRFM )cos1(2 2j j FR22sin)(j jj jRM 201111d)()(2 j jj jj jEIRMMF 201113d)sincos1( j jj jj jEIFREIFR2 3 Oj j1 1FAOj j1 1AB2F2F11sin)(j jj jRM j j2 2j j2 222sin)(j jj jRM 20

9、11111d)()(2 j jj jj j EIRMM 201123dsin2 j jj jEIREIR2 3 01111 FX FX 1 求解图示超静定结构中拉杆求解图示超静定结构中拉杆CD的轴力。设刚架的轴力。设刚架ABC的的抗弯刚度为抗弯刚度为EI，拉杆拉杆CD的抗拉刚度为的抗拉刚度为EA。解：解：刚架有一个多余约束。刚架有一个多余约束。建立力法正则方程建立力法正则方程例例301111 FX 选取并去除多余约束，代以多选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。余约束反力，得到相当系统。计算系数计算系数 11和自由项和自由项 1FFaABaCDFaABaCDX1X1011111

10、 FX FaABaCDX1X1FaaCDaCD11Faaa)21(11aaFaEIF 11 EIFa23 EAa32211aaaaaaEI EIaEAa343 )34(2 21 AaIFX试画出图示刚架弯矩图，刚架试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。为常数。解：解：刚架有一个多余约束。刚架有一个多余约束。建立力法正则方程建立力法正则方程例例401111 FX 选取并去除多余约束，代以多选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。余约束反力，得到相当系统。计算系数计算系数 11和自由项和自由项 1FqaABaX1qAB 32221121aaqaEIF 3221111aaaEI AB1

11、图图M22qa22qa图图MaaqAB852322aaqa EIqa834 EIa323 3221aaa 2qa2qaqa11108332413 EIqaXEIa01111 FX 169 1qaX 代入力法正则方程：代入力法正则方程：得得X1qAB169qa X1qAB169qa 167qa16qa16qaX1qAB169qa 167qa16qa16qa162qa162qa512492qa试画出图示刚架弯矩图，刚架试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。为常数。解：解：刚架有一个多余约束。刚架有一个多余约束。建立力法正则方程建立力法正则方程例例501111 FX 选取并去除多余约束，代以多选取并

12、去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。余约束反力，得到相当系统。计算系数计算系数 11和自由项和自由项 1FaABaaFX1aABaaF2222111aaFaEIF aaaEI32221111 2Fa图图MABF图图M1BaaEIFa43 3221aaa EIa3 01111 FX 4 1FX 2F2F0121214 F X1aABaaF图图MFa83Fa41Fa41已知各杆的已知各杆的EA相等相等，求，求各杆的内力各杆的内力。题题14-(b)(P141)X1X111111XF 01 切口两侧截面的相对位移等于零：切口两侧截面的相对位移等于零：0 01111 FX FlD312 Fl

13、D312 sin21FF 011lD312 FlD312 sin2 3FF 02 F cos211 F cos21 3 F12 F F1EA1iiilFF NN1111 FX cos1ll cos3ll ll 20 已知：已知：F，a ，EA，求，求桁架各杆的内力桁架各杆的内力。例例14-2（P122）FABaaDC432156X1X1BF11111XF 01 切口两侧截面的相对位移等于零：切口两侧截面的相对位移等于零：0 01111 FX ADC432156EA111 iiilFF NNiiilFF NNEAF1 1 NF计算计算ABDC432156FNF计算计算11ABDC432156EA

14、111 iiilFF NNiiilFF NNEAF1 1 杆件杆件编号编号 123 45 6 ( P123) 表表14.1iFNF2Fa22 a2)222( Faa)21(4 iiilFF NN2 2 a2a22a22iiilFF NNiiilFFNN1111000FFaaaaFaFa000iliFNiiilFFNNaaaaFaEA)222( EAa)21(4 EAF1 1 EA111 1111 FX 01111 FX 2F iiilFF NNiiilFF NNX1X1BFADC432156求求桁架各杆的内力桁架各杆的内力应用叠加法求应用叠加法求桁架各杆的内力桁架各杆的内力FABaaDC432

15、156F2F2FABDC432156ABDC432156FABDC43215611 X 11 X 应用叠加法求应用叠加法求桁架各杆的内力桁架各杆的内力21FX 杆件杆件编号编号FNi1F12F13 014015 F60 ( P123) 表表14.122 2 1NNNXFFFiiFi iFN2/F 2/F 2/F2/F2/F2/F 21FX 求三杆的轴力，各杆的求三杆的轴力，各杆的EA相等。相等。解：解：题题2-42F132laaX1X1F132laaF132laa11132laaFF 1N0N2 F0N3 F21 1N F1N2 F21 3N FiiiFlFFEA 1 NN1EAFl2 EAl

16、23 iiilFFEA 1NN11 1111 FX 01111 FX 3F F132laa11132laaFN3F132aaX1FN1A1X3F 6 3NFF 651NFF F132laa试画出图示刚架弯矩图，刚架试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。为常数。解：解：刚架为一次超静定。刚架为一次超静定。选取并去除多余约束，代以多选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。余约束反力，得到相当系统。qABX1建立力法正则方程建立力法正则方程01111 FX 计算系数计算系数 11和自由项和自由项 1F题题14-4(b)(P141)qaABa也可以应用莫尔积分也可以应用莫尔积分计算自由项

17、计算自由项 1F和系数和系数 11可以用莫尔图乘法可以用莫尔图乘法计算自由项计算自由项 1F和系数和系数 11qABx1x2 01F102111d(1xxEIa AB1x1x2EIqa64 )d202xaa EIa343 2220d)21(1xaqxEIa 应用莫尔积分应用莫尔积分计算自由项计算自由项 1F和系数和系数 110)(1 xM22221 )(qxxM 11)(xxM axM )(2qABx1x2 F1 11 AB101111 FX 8 1qaX 代入力法正则方程：代入力法正则方程：x1x2EIqa6 4 EIa3430634413 EIqaXEIa得得qAB F1 11 AB101

18、111 FX 8 1qaX 代入力法正则方程代入力法正则方程EIqa6 4 EIa3430634413 EIqaXEIa得得ABAB22qaaa画弯矩图画弯矩图qAB8qa82qa82qa832qa82qa832qa试画出图示刚架弯矩图，刚架试画出图示刚架弯矩图，刚架EI为常数。为常数。解：解：刚架有三个多余约束。刚架有三个多余约束。例例6选取并去除多余约束，代以多选取并去除多余约束，代以多 余约束反力，得到相当系统。余约束反力，得到相当系统。qaABaX1ABqBX2X3列出变形协调方程：列出变形协调方程：01 02 03 （X1方向上的位移）方向上的位移）（X2方向上的位移）方向上的位移）

19、（X3方向上的位移）方向上的位移）应用叠加法应用叠加法ABBX3032111111 XXXFABqBX1ABBABBX201313212111 FXXX 032122222 XXXF02323222121 FXXX 032133333 XXXF03333232131 FXXX 应用叠加法应用叠加法F1 11X 21X 31X 对于有对于有n个多余约束反力的超静定系统的正则方程如下：个多余约束反力的超静定系统的正则方程如下：0 0022112222212111212111 nFnnnnnFnnFnnXXXXXXXXX 由位移互等定理知：由位移互等定理知：jiij ij 影响系数，表示在基本静定系

20、上由影响系数，表示在基本静定系上由Xj 取单位值时引起的取单位值时引起的 在在Xi 作用点沿作用点沿Xi 方向的位移；方向的位移； iF 自由项，表示自由项，表示在基本静定系上，在基本静定系上， 由原载荷引起的在由原载荷引起的在Xi 作用点沿作用点沿Xi 方向的位移。方向的位移。一、对称结构的对称变形与反对称变形一、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为轴，则称此结构为对称结构对称结构。当对称结构受力也对称于结构对。当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生称轴，则此结构将产生对

21、称变形对称变形。若外力反对称于结构对称轴，。若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生则结构将产生反对称变形反对称变形。E1I1E1I1EI对对称称轴轴E1I1E1I1EI对对称称轴轴E1I1E1I1EI对对称称轴轴14-3 对称及反对称性质的应用对称及反对称性质的应用 正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：大大简化计算过程：对称变形对称截面上，反对称内力为零对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。例如：例如：对对称称轴轴FF

22、FX3X2X1FX3X2X1X3FX1FX3X1由于对称性，反对称内力为零：由于对称性，反对称内力为零： X2 =0又如：又如：对对称称轴轴FFX3X2X1FFX3X2X1FX2FX2由于载荷的反对称性，由于载荷的反对称性，对称内力为零：对称内力为零：X1 =0， X3 =0试求图示刚架的全部约束反力。刚架试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。为常数。解：解：01111 FX 例例32aaaqqqqX1X1011111 FX 取左边一半计算取左边一半计算EIqaF8941 EIa37311 08937413 EIqaXEIa则则qaX56271 由平衡方程求得由平衡方程求得：， 5629

23、qaFA 562qaMA q1qqaX56271 Aaa22qa22qaMAFA图示刚架有两个多余未知力。但由图示刚架有两个多余未知力。但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截面上反对称内力横截面上反对称内力X2为零，只有一为零，只有一个多余未知力个多余未知力X1，只需列出一个正则方，只需列出一个正则方程求解。程求解。试画图示刚架弯矩图。刚架试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。为常数。解：解：例例72aaaFF/2F/2X1X2X1X2图示刚架有两个多余未知力。但由图示刚架有两个多余未知力。但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截

24、面上反对称内力横截面上反对称内力X2为零，只有一为零，只有一个多余未知力个多余未知力X1，只需列出一个正则方，只需列出一个正则方程求解。程求解。试画图示刚架弯矩图。刚架试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。为常数。解：解：01111 FX 例例72aaaFF/2F/2X1X1011111 FX 试画图示刚架弯矩图。刚架试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。为常数。解：解：01111 FX 例例72aaaFF/2X1图示刚架有两个多余未知力。但由图示刚架有两个多余未知力。但由于结构是对称、载荷对称，故对称轴于结构是对称、载荷对称，故对称轴横截面上反对称内力横截面上反对称内力X2为零，只有一为零，只有

25、一个多余未知力个多余未知力X1，只需列出一个正则方，只需列出一个正则方程求解。程求解。011111 FX 01111 FX X1F/2F/21EIFaF31 EIa38311 038313 EIFaXEIaFX83 1 2a2Fa2Fa解：解：F/2FX831 2Fa2Fa4Fa2Fa2Fa4Fa2Fa2Fa4Fa画刚架弯矩图。画刚架弯矩图。2aaaF试画图示刚架弯矩图。刚架试画图示刚架弯矩图。刚架EI为常数。为常数。01111 FX 例例82aaaqqqX1X1解：图示刚架有两个多余未知力。但解：图示刚架有两个多余未知力。但由于结构是对称、载荷对称，故对称由于结构是对称、载荷对称，故对称轴横

26、截面上反对称内力为零，只有一轴横截面上反对称内力为零，只有一个多余未知力，只需列出一个正则方个多余未知力，只需列出一个正则方程求解。程求解。EIqaF41 EIa38311 038413 EIqaXEIa则qaX831 q1qqaX831 2aq22qa22qa22qa22qa42qaABl/2l/2C 题题6-20a(P198)6-20a(P198) 求梁的支反力。求梁的支反力。MeABl/2l/2CFCMC 单单题题6-20a(P198)6-20a(P198) 求梁的支反力。求梁的支反力。MeABl/2l/2CMCMAABl/2l/2CMeMA= MC 刘刘题题14-3(a)(P94)14

27、-3(a)(P94) 求梁的支反力。求梁的支反力。FAABlqMBABlMA= MBMBMAFBqFB试求试求AB 直径的长度变化。圆环的直径的长度变化。圆环的EI为常数。为常数。例例14-5 （P132） A BCFFa D ACF D BCF D由于结构是对称、载荷对称，故水由于结构是对称、载荷对称，故水平对称轴横截面上反对称内力为零平对称轴横截面上反对称内力为零 A BCFFa D ACF D BCF D例例14-5 （P132）试求试求AB 直径的长度变化。圆环的直径的长度变化。圆环的EI为常数。为常数。ACF DF/2F/2 DAF/2X10 yFX1X101111 FX DAj j101111 FX )cos1(2j j FaM 201d j jEIaMMF1 Mj jj j d)1)(cos1(202 EIFa)12(22 EIFa 2011d j j EIaMMj j d)1(202 EIa