大学概率论与数理统计必过复习资料

1、概率论与数理统计复习提要第一章随机事件与概率1 .事件的关系AuBA=BABABAQ*AB=*2 .运算规则(1)A，jB=B=AAB=BA(2) (A一B)一C=A(B一C)(AB)C=A(BC)(3) (A一B)C=(AC)一(BC)(AB)一C=(A_C)(BC)(4) A_BABABA_B3.概率P(A)满足的三条公理及性质：(1)0<P(A)<1(2)P(C)=1nn(3)对互不相容的事件Ai,A2,，An,有P(UAk)=£P(Ak)(n可以取8)k4k1(4)P=0(5)P(可=1P(A)(6)P(A-B)=P(A)-P(AB)，若AuB,则P(B_A)=P

2、(B)-P(A),P(A)<P(B)P(AB)=P(A)P(B)-P(AB)(8)P(A一B一C)=P(A)P(B)P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)P(ABC)4 .古典概型：基本事件有限且等可能5 .几何概率6 .条件概率(1)定义：若P(B)>0,则P(A|B)=P(AB)P(B)(2) 乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)若B1,B2，Bn为完备事件组，P(Bi)>0,则有n(3) 全概率公式：P(A)=£P(BJP(A|Bj)i1(4) Bayes公式：P(Bk|A)='、P(Bi)P(A|Bi)1 17.事件的独立性：A,B独立u

3、P(AB)=P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 .离散随机变量：取有限或可列个值，P(X=Xi)=Pi满足(1)Pi之0,(2)£Pi=1(3)对任意DuR,P(XwD)=£pii:为.D2 .连续随机变量：具有概率密度函数f(x),满足(1)f(x)>0,-f(x)dx=1；.一二二bP(aWXWb)=ff(x)dx；(3)对任意awR,p(x=a)=03.几个常用随机变量名称与记号分布列或爸度数学期望力差两点分布B(1,p)P(X=1)=p,P(X=0)=q=1pppq二项式分布B(n,p)P(X=k)=C：pkqn”,k=0,1,2，

4、n,npnpqPoisson分布P(九)-kP(X=k)=e±,k=0,1,2,k!九X几何分布G(p)P(X=k)=qk，p,k=1,2,1pq2p均匀分布U(a,b)-1.f(x)=,aExWb,b-aa+b2(b-a)F()=0,F()=1;(2)单调非降；(3)右连续；(4)P(a<X<b)=F(b)F(a),特另IJP(X>a)=1F(a);(5)对离散随机变量，F(x)=£Pi；i：%二xx,(6)对连续随机变量，F(x)=Lf(t)dt为连续函数，且在f(x)连续点上，F(x)=f(x)5.正态分布的概率计算以小(x)记标准正态分布N(0,1

5、)的分布函数，则有2x-L(1)(0)=0.5；(2)阳x)=1G(x)；(3)若XN(R,o)，则F(x)=中(一)；12指数分布E(*Jf(x)=ee,x>01九1TTA正态分布N(N,。2)1_(x42f(x)-=e2c2V2n。2CJ4.分布函数F(x)=P(X<x),具有以下性质(4)以U值记标准正态分布N(0,1)的上侧0分位数，则P(X>ua)=a=1-C>(ua)6.随机变量的函数Y=g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则fY(y)=fx(g,(y)l(g,(y)'l

6、,若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量1 .二维离散随机向量，联合分布列P(X=x,Y=y)=pu,边缘分布列P(X=Xi)=p“P(Y=yj)=pj有(1) pj20；(2)Zpu=1；(3)p,=£pu,p,j=£Pijjj2 .二维连续随机向量，联合密度f(x,y),边缘密度fX(x),fY(y),有4040(1)f(x,y)之0；(2)fLf(x,y)=1；(3)P(X,Y)wG)=£f(x,y)dxdy；4 4)fX(x)=ff(x,y)dy,fv(y)=f(x,y)dx，一|*"03.二维均匀分布,其中m(G)为G的面积(xy)-G

7、f(x,y)=m(G)，(，y)f(x,y)=exp：2(1-P2)：(x-E)(y卜2)4(丫一匕)2I,0,其它且*N(X,%24.二维正态分布(X,Y)N(Ni,N2,Oi,O2,P),其密度函数(牢记五个参数的含义),YN(L户2)；5 .二维随机向量的分布函数F(x,y)=P(X<x,Y<y)有(1)关于x,y单调非降；(2)关于x,y右连续；(3) F(x,-«)=F(iy)=F()=0；(4) F(,f)=1,F(x,F=Fx(x),F(y,y)=FY(y);(5) P(x1<XEx?$<丫Ey?)=F(x2y2)F(x11y2)F(x2,%)+

8、F(x1，y1)；(6)对二维连续随机向量,f(x,y)=-F(x,y):x:y6 .随机变量的独立性X,Y独立uF(x,y)=Fx(x)Fy(y)(1) 离散时X,Y独立仁pij=pi,pj(2) 连续时X,Y独立=f(x,y)=fX(x)fY(y)22.(3) 二维正态分布X,Y独立=P=0,且X+YN(»+N2e1+仃2)7 .随机变量的函数分布(1) 和的分布Z=X+Y的密度fz(z)=Lf(zy,y)dy=L，f(x,zx)dx(2) 最大最小分布第四章随机变量的数字特征1.期望(1)离散时E(X)=£xiR,E(g(X)=£g(x。pi；(2)连续时E

9、(X)=fxf(x)dx,E(g(X)=f：g(x)f(x)dx；二维时E(g(X,Y)=£g(K,yj)pj,E(g(X,Y)=亡g(x,y)f(x,y)dxdy-2-2i，j(4)E(C)=C;(5)E(CX)=CE(X);(6) E(X+Y)=E(X)+E(Y)；(7) X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y)2 .方差(1)方差D(X)=E(X-E(X)2=E(X2)(EX)2,标准差<r(X)=Jd(X)；(2) D(C)=0,D(X+C)=D(X)；(3) D(CX)=C2D(X)；(4) X,Y独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)3 .协方差(1) Cov(

10、X,Y)=E(XE(X)(YE(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)；(2) Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);(3) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);(4) Cov(X,Y)=0时，称X,Y不相关，独立二不相关，反之不成立，但正态时等价；(5)D(X+丫)=D(X)十D(Y)+2Cov(X,Y)4.相关系数Pxy=C0V(X,Y)；有|P区1,IPxy|=1=三a,b,P(Y=aX+b)=1二(X)二(Y)5.k阶原点矩w=E(Xk),k阶中心矩Nk=E(XE(X)k第五章大数定律与中心极限定理1.Chebyshe

11、v不等式P|XE(X)上目<-(-或P|XE(X)|<*>1(2 .大数定律3 .中心极限定理(1)设随机变量X1,X2，Xn独立同分布E(Xj)=N,D(Xi)=a12,则n工Xi彘N(倘n。2),i4-1n或/Xi靛N(巴n、Xi-n(2)设m是n次独立重复试验中A发生的次数，P(A)=p,则对任意x,有limpm_Lnp<x=6(x)或理解为若XB(n,p),则XN(np,npq)f而近似第六章样本及抽样分布1 .总体、样本(1) 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法)(2) 样本数字特征：E(X)=N,2D(X)='；n(E(S样本

12、方差S2=Z(Xi-X)2n-1iw)=仃2)样本标准差S='n：-X)2样本k阶原点矩Vk-X)k1/.k.,1一=一乙Xi,样本k阶中心矩k=一乙(Xintnid2 .统计量：样本的函数且不包含任何未知数3 .三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)(1) X2分布？2=X；+X；+X；72(n),其中X1,X2，Xn独立同分布于标准正态分布N(0,1),若X72(n1),Y/2(山)且独立，则X+Y72(n1+出)；X2,、(2) t分布t=-=t(n),其中XN(0,1),Y12(n)且独立;Y/n(3) F分布F="F（ni,n2）,其中X22（ni）,Y

13、72（出）且独立，有下面的Y/n21 1性质f(n2,ni),Fi(ni,n2)=F-F.(n2,ni)4.正态总体的抽样分布oinoo(1)XN(d。/n);(2)x(XiN)/(n)；i4(3)(n-i)S72(n_i)且与X独立；(4)t=Xt(ni);二S/、n(5)(X-Y)-(Ri-匕)15n:四+02-2),sJnTSiFxg2S,vnin21r奥-2(6)22lrSiTX)第七章参数估计1 .矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2 .极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0,解出极大似然估计（