第六章 时间序列分析-参数估计

1、1模型的参数估计 待估参数 个未知参数 常用估计方法矩估计极大似然估计最小二乘估计1pq211,pq 2矩估计 原理样本自相关系数估计总体自相关系数111111( ,)( ,)pqp qpqp q 3例:求AR(2)模型系数的矩估计 AR(2)模型 Yule-Walker方程 矩估计（Yule-Walker方程的解）1122ttttxxx21121211121211121212214例:求MA(1)模型系数的矩估计 MA(1)模型 方程 矩估计11tttx 2201111220111(1)1 121124115ARMA(p,q)模型系数的矩估计 ARMA(1,1)模型 方程 矩估计1111tt

2、ttxx 1111 112011 1211()(1)12 1122122112121,2,242,24,ccccccc6一般ARMA(p,q)模型系数的矩估计1.AR模型的矩估计Yule-Wolker方程11 2111 12221 122pppppppp7一般ARMA(p,q)模型系数的矩估计1.AR模型的矩估计当k=0时，则可以得到白噪声方差的矩估计。201 1pp 201 1011pppjjj 8一般ARMA(p,q)模型系数的矩估计2.MA模型的矩估计解此方程的MA模型的矩估计。222011q21 1,1,2,kkkqq kkq 9一般ARMA(p,q)模型系数的矩估计3.ARMA模型的

3、矩估计第一步，先给出AR部分的参数的矩估计。1,p11 2111 12221 122qqqppqqqqppqqpqpqpqp 10一般ARMA(p,q)模型系数的矩估计3.ARMA模型的矩估计11111122212qqqqpqqqpqqpqpqpqp 11一般ARMA(p,q)模型系数的矩估计3.ARMA模型的矩估计第二步，11tttptpyXXX12一般ARMA(p,q)模型系数的矩估计3.ARMA模型的矩估计第三步，把近似看作MA模型ty11tttqt qy 13一般ARMA(p,q)模型系数的矩估计3.ARMA模型的矩估计 2220121 11,1,2,qkkkqq kyykq 00 ,

4、0,1,ppkijij kijykq 其中其中14对矩估计的评价 优点估计思想简单直观不需要假设总体分布计算量小（低阶模型场合） 缺点信息浪费严重只用到了p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略估计精度差 通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计迭代计算的初始值 15极大似然估计 原理在极大似然准则下，认为样本来自使该样本出现概率最大的总体。因此未知参数的极大似然估计就是使得似然函数（即联合密度函数）达到最大的参数值 ,);(max),;,(21121kkxpxxL16极大似然估计17极大似然估计18极大似然估计19极大似然估计20极大似然估计21极大似然估计22极大似然估计23极大

5、似然估计24极大似然估计25极大似然估计11122111,212,; ,; ,1exp22ttttttttX XXX Xttfx xxfx xxx 26极大似然估计1111111112,1122,1111,22,111,; ,; ,; ,; ,; ,ttttttttXXXttXXtttX XXXXtttX Xfx xxfxxfx xxfxxfx x 27极大似然估计28极大似然估计相应的对数似然函数为相应的对数似然函数为 1122211222221222122,log; ,log; ,111log 2log11222112 log 212 log2ttTXttX XtTtttLfxfx xxT

6、Txx 29似然方程 由于 和 都不是 的显式表达式。因而似然方程组实际上是由p+q+1个超越方程构成，通常需要经过复杂的迭代算法才能求出未知参数的极大似然估计值 ( )Sln 2242( )( ; )022ln11( )( ; )022nSLxSLx 30条件极大似然估计31条件极大似然估计相应的对数条件似然函数为相应的对数条件似然函数为121222122log; ,112 log 212 log2ttTttX XtTtttfx xTTxx 32条件极大似然估计112212420110TttttTtttxxxTxx33条件极大似然估计21122221211TTtttttTtttx xxTxx

7、34对极大似然估计的评价 优点极大似然估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高同时还具有估计的一致性、渐近正态性和渐近有效性等许多优良的统计性质 缺点需要假定总体分布35最小二乘估计 原理使残差平方和达到最小的那组参数值即为最小二乘估计值 211111( )min( )min()nttptptqt qtQQxxx 36条件最小二乘估计 实际中最常用的参数估计方法 假设条件 残差平方和方程 解法迭代法0 ,0txt221111( )nntttitiiiQxx37对最小二乘估计的评价 优点最小二乘估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高条件最小二乘估计方法使用率

8、最高 缺点需要假定总体分布38例2.5续 确定1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的口径 拟合模型：AR(1)估计方法：极大似然估计模型125.170.69tttxx216.1739例3.8续 确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径 拟合模型：MA(1)估计方法：条件最小二乘估计模型4.40351 (1 0.82303 )ttxB 22178.92940例3.9续 确定1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型的口径 拟合模型：ARMA(1,1)估计方法：条件最小二乘估计模型110.0030.4070.9ttttxx2

9、0.01641模型检验 模型的显著性检验整个模型对信息的提取是否充分 参数的显著性检验模型结构是否最简42模型的显著性检验 目的检验模型的有效性（对信息的提取是否充分） 检验对象残差序列 判定原则一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列 反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效43假设条件 原假设：残差序列为白噪声序列 备择假设：残差序列为非白噪声序列0120,1mHm：mkmHk，：至少存在某个1, 0144检验统计量 LB统计量221(2)() ( )mkkLBn nmnk45

10、例2.5续 检验1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的显著性 残差白噪声序列检验结果延迟阶数LB统计量P值检验结论65.830.3229拟合模型显著有效1210.280.50501811.380.836146参数显著性检验 目的检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著参数使模型结构最精简 假设条件 检验统计量mjHHjj10:0:10)()(mntQamnTjjjj47例2.5续 检验1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列极大似然估计模型的参数是否显著 参数检验结果检验参数t统计量P值结论均值46.120.0001显著6.720.0001显著148例3.8续:对OVERSHORTS序列的拟合模型进行检验 残差白噪声检验 参数显著性检验检验参数t统计量P值结论均值3.750.0004显著10.600.0001显著延迟阶数LB统计量P值结论63.150