第3章 非稳态热传导

1、第第3 3章章 非稳态热传导非稳态热传导3.1 3.1 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念3.1.1 3.1.1 非稳态导热过程的特点及类型非稳态导热过程的特点及类型非稳态导热非稳态导热：温度随时间变化：温度随时间变化 ， ,zyxft 0 t实际问题：实际问题： 机器设备启动、停机时，温度变化；机器设备启动、停机时，温度变化； 太阳照射墙壁时，热量需多长时间传到室内。太阳照射墙壁时，热量需多长时间传到室内。两种类型：两种类型： 温度随时间变化，趋于恒定。温度随时间变化，趋于恒定。 例如：食堂买的热馒头，在空气中放凉。例如：食堂买的热馒头，在空气中放凉。 温度随时间周期性变化，即一会冷，

2、一会热。温度随时间周期性变化，即一会冷，一会热。 例如：墙壁受太阳照射，温度例如：墙壁受太阳照射，温度2424小时周期性变化。小时周期性变化。简单实例：平壁传热，常物性，初温简单实例：平壁传热，常物性，初温 0t左侧升至恒温左侧升至恒温 ，右侧接触空气，右侧接触空气1t t热量传递：热量传递： 热量从左至右，一层一层逐渐深入，热量从左至右，一层一层逐渐深入， 相同时间热量到达相同的深度；相同时间热量到达相同的深度； 热量传到某处，该处的温度就开始变化；热量传到某处，该处的温度就开始变化； 对每一薄层，温度升高，热量有积累，对每一薄层，温度升高，热量有积累， 导入的热量与导出的热量不同，导入的热

3、量与导出的热量不同， 变化。变化。 温度变化三种情形：温度变化三种情形： 开始时，左侧升温，右侧保持原来温度不变（开始时，左侧升温，右侧保持原来温度不变（HBD)HBD)； 热量传到热量传到D D处，右侧开始升温，原来温度处，右侧开始升温，原来温度 消失（消失（HE)HE)； 0t 右侧表面不断升温，最终恒定，到达稳态（右侧表面不断升温，最终恒定，到达稳态（HG)HG)。 1 2 3 4 5 两个阶段：两个阶段： 非正规状况阶段非正规状况阶段： 正规状况阶段正规状况阶段：0t0t非稳态导热特点：各处温度以及热流量处处不同，都随时间变化。非稳态导热特点：各处温度以及热流量处处不同，都随时间变化。

4、 1 2 非非正正规规正正规规稳稳态态左侧导入热量左侧导入热量 。 1 开始温差大，导入热量多；开始温差大，导入热量多； 右侧导出热量右侧导出热量 。 2 右侧升温，导出热量增大。右侧升温，导出热量增大。 021 温度分布受初始温度温度分布受初始温度 影响影响 ； 温度分布取决于边界条件及物性温度分布取决于边界条件及物性 。 初始温度初始温度 的影响已不存在，的影响已不存在，升温过程；，升温过程； 021 ，达到稳态。，达到稳态。 3.1.2 3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律导热微分方程解的唯一性定律非稳态导热：非稳态导热： ,zyxft 导热方程：导热方程： 222222ztytxtt

5、cp初始条件：初始条件： 0,0 ,tzyxfzyxt 第三类边界条件：第三类边界条件： fwwwtthntq 解的唯一性定律解的唯一性定律：在一定初始条件与边界条件下，：在一定初始条件与边界条件下， 满足导热微分方程的解是唯一的。满足导热微分方程的解是唯一的。0t3.1.3 3.1.3 第三类边界条件下第三类边界条件下 数对平板中温度分布的影响数对平板中温度分布的影响Bi物体导热，涉及两传热过程：物体导热，涉及两传热过程：简单情形：简单情形：固体平板，厚固体平板，厚 ，初始温度，初始温度放入流体中冷却，放入流体中冷却， 20t0tt 物体表面处：物体表面处： 流体与物体表面之间对流传热，与对

6、流热阻流体与物体表面之间对流传热，与对流热阻 有关；有关； 物体内部：物体内部： 通过热传导，热量扩散，与导热热阻通过热传导，热量扩散，与导热热阻 有关。有关。h1 两者相对大小不同，会出现三种情况。两者相对大小不同，会出现三种情况。： h1 Bi表面对流换热热阻很小，表面对流换热热阻很小， 表面热量容易传出，很快冷却至表面热量容易传出，很快冷却至 ； t内部导热热阻相对较大，内部导热热阻相对较大， 内部热量逐渐导出，温度逐渐下降至内部热量逐渐导出，温度逐渐下降至 t（表面冷却快，内部逐渐冷却）（表面冷却快，内部逐渐冷却）1 2 3 4 ： h1 0Bi表面对流换热热阻较大，表面对流换热热阻较

7、大， 热量不易传出，温度逐渐下降至热量不易传出，温度逐渐下降至 。 t内部导热热阻很小，内部导热热阻很小， 内部热量传递迅速，内部温度均匀；内部热量传递迅速，内部温度均匀；（内部温度均匀，并逐渐下降）（内部温度均匀，并逐渐下降）1 2 3 4 h1Bi 和和 接近（接近（ 为有限值）：为有限值）：温度变化，介于上述两种情形之间，温度变化，介于上述两种情形之间， 表面和内部温度都逐渐下降，表面和内部温度都逐渐下降， 最终温度降低至最终温度降低至 。 t1 2 3 4 表征上述三种情形，引入无量纲数：表征上述三种情形，引入无量纲数： 毕渥数毕渥数BihBi1 特征数特征数、准则数准则数 式中：式中

8、： 特征长度特征长度 平板半宽度平板半宽度 cl物理意义：物理意义： 物体内部导热热阻与其界面上对流换热热阻之比。物体内部导热热阻与其界面上对流换热热阻之比。三种情形的比较：三种情形的比较：3.2 3.2 零维问题的分析解零维问题的分析解集中参数法集中参数法3.2.1 3.2.1 集中参数法温度场的分析解集中参数法温度场的分析解集中参数法集中参数法： 固体内部导热热阻远小于其表面的对流换热热阻固体内部导热热阻远小于其表面的对流换热热阻 , , 在同一时刻，物体内部温度相同，与坐标无关在同一时刻，物体内部温度相同，与坐标无关 。0Bi ft 实际问题：实际问题： 物体导热系数很大，热阻很小。物体

9、导热系数很大，热阻很小。 例如，铜、铁等金属物体。例如，铜、铁等金属物体。 物体几何尺寸较小，热阻很小。物体几何尺寸较小，热阻很小。 例如，铂电阻、热电偶探头等。例如，铂电阻、热电偶探头等。 表面传热系数极低，表面换热热阻较大。表面传热系数极低，表面换热热阻较大。 例如，空气中冷却铁块。例如，空气中冷却铁块。假设固体，初始温度假设固体，初始温度 均匀，均匀，置于恒温置于恒温 液体中冷却，液体中冷却，物性参数物性参数 、 、 、 保持恒定。保持恒定。0t th chh导热微分方程：导热微分方程： tc广义热源：广义热源： ttAhV 由此可得：由此可得： tthAtcV dd0 时，时，0tt

10、引入引入过余温度过余温度： tt hAcV dd0 时，时，00 tt求解方程：求解方程： dd00 cVhA cVhAexp0引入，特征长度：引入，特征长度：AVlc 整理指数项：整理指数项：22cccclahllchlcVhA 式中：式中：Bihlc 毕渥数，毕渥数，ac 热扩散率热扩散率Folac 2 傅里叶数傅里叶数( (特征数，准则数）特征数，准则数） FoBi exp0 3.2.2 3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅里叶数导热量计算式、时间常数与傅里叶数1. 1. 导热量计算式导热量计算式热流量热流量 ： xtAdd （因温度沿空间无变化）（因温度沿空间无变化） ddddVct

11、Vctmc 时时间间热热量量 cVhAhAttexp0 时刻时刻在在 时间内：时间内： （如果加热，温差为（如果加热，温差为 ） 0 cVhAcVttQcexp1d000tt 2. 2. 时间常数时间常数 ccVhA expexp0集中参数法的解：集中参数法的解：hAcVc 式中，式中，时间常数时间常数：具有时间量纲。：具有时间量纲。注意：注意： 影响物体温度变化的快慢，对测温尤其重要。影响物体温度变化的快慢，对测温尤其重要。c 大，大， 大，温度变化较慢；大，温度变化较慢；c 0 小，小， 小，温度变化较快。小，温度变化较快。c 0 影响两因素：影响两因素：hAVcc1 热容量，热容量， 大

12、，升温需热量多，温度变化慢，大，升温需热量多，温度变化慢， 大；大；Vc Vc c 表面热阻，表面热阻， 大，表面传热少，温度变化慢，大，表面传热少，温度变化慢， 大。大。hA1c hA13. 3. 傅里叶数傅里叶数allaFocc22 式中，式中，alc2热量穿过一定厚度的固体层，热量穿过一定厚度的固体层， 扩散到扩散到 面积上所需的时间。面积上所需的时间。2cl物理意义：物理意义： （两时间相除，得到无量纲时间）（两时间相除，得到无量纲时间） 表明非稳态过程进行深度的无量纲时间。表明非稳态过程进行深度的无量纲时间。3.2.3 3.2.3 集中参数法的适用范围及应用举例集中参数法的适用范围及

13、应用举例适用范围：适用范围：0Bi chlBi ，AVlc 不同形状的物体，不同形状的物体， 取值不同：取值不同：Bi平板平板 ， cl1 . 0 Bi圆柱圆柱 ，2Rlc 05. 0 Bi球体球体 ，3Rlc 033. 0 BiP122例题例题3-2 一温度计的水银泡呈圆柱形，长一温度计的水银泡呈圆柱形，长20mm，内径为，内径为4mm，初始温度为初始温度为t0，今将其插入到温度较高的储气罐中测量气体的温度。，今将其插入到温度较高的储气罐中测量气体的温度。设水银泡同气体间的对流传热表面传热系数为设水银泡同气体间的对流传热表面传热系数为11.63W/(m2K)，水，水银泡一层薄玻璃的作用可以忽

14、略不计，试计算此条件下温度计的银泡一层薄玻璃的作用可以忽略不计，试计算此条件下温度计的时间常数，并确定插入时间常数，并确定插入5min后温度计读数的过余温度为初始过余后温度计读数的过余温度为初始过余温度的百分之几？水银的物性参数如下：温度的百分之几？水银的物性参数如下：c=0.138kJ/(kgK)，=13110kg/m3，=10.36W/(mK)。解解：水银泡侧面和底面与气体换热水银泡侧面和底面与气体换热 判断条件：判断条件：m10953. 02322 RRllRAVlc 05. 01007. 13 chlBi可用集中参数法求解。可用集中参数法求解。 采用集中参数法：采用集中参数法：s148

15、 hclhAcVcc 3221089. 1 cclclaFo %3 .13exp0 FoBi 注意：时间常数注意：时间常数 太大，应采取措施减小。太大，应采取措施减小。c 3.3 3.3 典型一维物体非稳态导热的分析解典型一维物体非稳态导热的分析解3.3.1 3.3.1 三种几何形状物体的温度场三种几何形状物体的温度场1. 1. 平板平板研究对象：无限大平板、无限长圆柱、球体。研究对象：无限大平板、无限长圆柱、球体。一维问题：温度仅在一个方向变化，一维问题：温度仅在一个方向变化， 。 , xft 厚厚 ，初温，初温 ，并且，并且 为有限值为有限值 20tBi因对称性，取一半平板研究因对称性，取

16、一半平板研究0 x22xtat 0,0 x 00 ,txt x000 xtx时时，（中心处绝热）（中心处绝热） tthxtx 时时，（表面对流）（表面对流）绝热面绝热面引入过余温度：引入过余温度： tt 22xa 0,0 x 00 , x x000 xx 时时， hxx 时时，用分离变量法，解得：用分离变量法，解得： xBiFoftttt,00时间时间边界状况边界状况空间空间 x 无量纲位置无量纲位置 nnnnFoCcosexp210 式中，系数式中，系数nnnnnC sincossin2 特征值特征值 ：解超越方程：解超越方程n nnBi tan , 2 , 1 n注意：注意： 解为无穷级数

17、解为无穷级数傅里叶级数；傅里叶级数； 时间项与空间项分离时间项与空间项分离分离变量法；分离变量法； 数值计算表明：数值计算表明：保留级数第一项，偏差小于保留级数第一项，偏差小于1%；并且，初始温度影响已消失，并且，初始温度影响已消失，已进入传热过程已进入传热过程“正规状况阶段正规状况阶段”。2 . 0 Fo时，时， 圆柱和球体也有类似结果。（略）圆柱和球体也有类似结果。（略）3.3.3 3.3.3 非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法1. 1. 图线法图线法诺谟图：采用分析解的诺谟图：采用分析解的 级数第一项绘制的图线。级数第一项绘制的图线。注意：注意： t

18、t 任意时刻温差；任意时刻温差； tt00 初始温差初始温差 ； 0 ttmm 平板中心温差平板中心温差 。 0 x对无限大平板：对无限大平板： 确定平板中心温度比值确定平板中心温度比值0 m 0 x FoBim,10 与与 无关无关xBi1 确定平板中某处温度比值确定平板中某处温度比值m 与与 无关无关 Bixm1, 平板中任意处平板中任意处 的过余温度的过余温度mm 00由分析解：由分析解： 时间内传递的热量时间内传递的热量 00QQ平板与周围介质处于热平衡时传递的热量平板与周围介质处于热平衡时传递的热量0Q ttcVQ00 20,BiFoBiQQ 无无 影响影响cl2. 2. 近似拟合公

19、式法近似拟合公式法对分析解，可用简单拟合公式近似计算。（略）对分析解，可用简单拟合公式近似计算。（略）3.3.4 3.3.4 分析解应用范围的推广分析解应用范围的推广 物体冷却时，也适用；物体冷却时，也适用； 无限大平板，一侧绝热，无限大平板，一侧绝热， 另一侧为第三类边界条件时，也适用；另一侧为第三类边界条件时，也适用； 无限大平板，两侧维持相同的壁温时，无限大平板，两侧维持相同的壁温时， 也可用上述方法计算。也可用上述方法计算。P131例题例题3-4 一块厚一块厚100mm的钢板放入温度为的钢板放入温度为1000oC的炉中加热，的炉中加热，钢板一面受热，另一面可近似地认为是绝热。钢板初始温

20、度钢板一面受热，另一面可近似地认为是绝热。钢板初始温度t0=20oC。求钢板受热表面的温度达到。求钢板受热表面的温度达到500oC时所需的时间，并计算时所需的时间，并计算此时剖面上的最大温差。取加热过程中的平均表面传热系数此时剖面上的最大温差。取加热过程中的平均表面传热系数h=174W/(m2K)，钢板的，钢板的=34.8W/(mK)，a=0.555105m2/s。已。已知：知：Bi=0.1时，时，1=0.3111rad；Bi=0.5时，时，1=0.6533rad；Bi=1.0时，时，1=0.8603rad。解解： 钢板一侧传热，另一侧绝热钢板一侧传热，另一侧绝热对应无限大平板一半；对应无限大

21、平板一半； 钢板较薄，导热性能好，受热面钢板较薄，导热性能好，受热面500oC时，热量传遍钢板，时，热量传遍钢板， 因此，可假设钢板已达到正规状况阶段，因此，可假设钢板已达到正规状况阶段，2 . 0 Fo（1 1）受热面：）受热面： x，C500o wt，0 . 1 x毕渥数：毕渥数：5 . 01 hhBi( (不能用集中参数法）不能用集中参数法）查曲线得：查曲线得：8 . 0 mw 0 . 21 Bi（2 2）受热面过余温度：）受热面过余温度：51. 000 ttttww 8 . 0 mw 637. 000 mwwm （3 3）由：）由：637. 00 m0 . 21 Bi2 . 1 Fo，

22、2 . 122 alaFoc（4 4）h6 . 0s1016. 232 aFo 637. 000 ttttmm C376637. 0o0 ttttmC124omax mwttt3.4 3.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热( ( ，非正规状况阶段），非正规状况阶段）2 . 0 Fo半无限大物体：半无限大物体： 处为界面，处为界面， 其他方向无限延伸。其他方向无限延伸。0 x导热特点：总有热量未到达的地点，导热特点：总有热量未到达的地点， 总存在初始温度的影响。总存在初始温度的影响。实际问题：非稳态导热的初始阶段，实际问题：非稳态导热的初始阶段， 温度变化只局部在表面，未深入到

23、内部。温度变化只局部在表面，未深入到内部。3.4.1 3.4.1 三种边界条件下半无限大物体温度场的分析解三种边界条件下半无限大物体温度场的分析解这里着重介绍：第一类边界条件下的分析解。这里着重介绍：第一类边界条件下的分析解。半无限大物体，初始温度半无限大物体，初始温度 均匀，均匀，0t 时，表面升温至时，表面升温至 恒定，恒定，wt0 内部温度变化内部温度变化 ?, xft控制方程控制方程22xtat x0初始条件初始条件 00 ,txt 边界条件边界条件 wtt , 0 0,tt 半无限大物体，分析解：半无限大物体，分析解： 000d2erf2erf2teaxtttttww无量纲参数：无量

24、纲参数： ax2 误差函数：误差函数： erf00 wwttttP P572572附录附录1515第二类、第三类边界条件的分析解，见书第二类、第三类边界条件的分析解，见书P P1341343.4.2 3.4.2 导热量计算式导热量计算式 物体内物体内 处截面：处截面：x axattxtqwx4exp20 表面处表面处 ：0 x d0expd000 attAAqQww 02ttcAQw 注意：注意： 与与 成正比；成正比； 与与 成正比。成正比。QQ c吸热系数吸热系数 c代表物体吸收热量的能力。代表物体吸收热量的能力。3.4.3 3.4.3 分析解的讨论分析解的讨论误差函数误差函数 曲线：曲线

25、： erf注意：注意：当当2 时，即时，即22 ax 100 erfttttww说明此时：说明此时： 处温度处温度x0tt 即即 处热量未到达，温度未变。处热量未到达，温度未变。x结论结论1 1： 如果如果 ， 时刻，时刻， 处温度未变处温度未变 ax4 x由此，可判断热量传递的深度由此，可判断热量传递的深度 ，x 时刻：时刻：处，温度未变；处，温度未变； ax4 处，温度已变。处，温度已变。 ax4 22 ax时，温度未变。时，温度未变。结论结论2 2： 如果如果 ，ax162 x由此，可判断由此，可判断 处温度变化的时间处温度变化的时间 ，xx处深度：处深度：时，温度未变；时，温度未变；ax162 22 ax时，温度未变。