第2章 固定收益证券

1、2022-5-241第2章 固定收益证券2022-5-242本章内容提要固定收益证券货币的时间价值债券及其期限结构债券定价价格波动的测度-久期价格波动率的测度-凸度2022-5-2432.1 货币的时间价值货币的时间价值（TVM）是指当前持有的一定量的货币比未来获得的等量货币具有更高的价值。2022-5-2442.1.1 终值引例：假设投资者将本金1000元存入银行，年利率为2%，一年后，投资者的本金1000元将得到20元利息，投资者的本金将变为1020元，即资金一年后的终值为1020元。2022-5-2452.1.1 终值一般地，本金用P表示，利率用r表示，一年后的终值用F1表示，则rPF1

2、12022-5-246计算利息的方式有三种单利复利连续复利2022-5-2471.单利P本金为 ，, r年利率为,nnF年以后的终值记为则(1)nFPnr2022-5-2482.复利本金为本金为P，年利息为，年利息为r,一年后的终值为一年后的终值为 F1=P（1+r),第二年以第二年以F1作为本金，两年作为本金，两年 以后的终值为以后的终值为21211rPrFFN年后的终值为年后的终值为nnrPF12022-5-2493.连续复利如果本金为如果本金为P，年利率为，年利率为r，如果将本金，如果将本金存半年（利息为存半年（利息为r/2)取出，然后再存半年，取出，然后再存半年，则一年后的终值为则一年

3、后的终值为212/1rPF如果存一个月（如果存一个月（1/12年）取出后再存，月利息年）取出后再存，月利息为为r/12，则一年后的终值为，则一年后的终值为12112/1rPF2022-5-24103.连续复利如果一年存如果一年存n n次次( (每次存的时间间隔相同每次存的时间间隔相同) )则一年后的终值则一年后的终值 nnrPF/11随着随着n无限增大，上式取极限，得到无限增大，上式取极限，得到rPeF 1N年后的终值年后的终值nrnPeF 2022-5-24112.1.2 现值与贴现引例：假如一年后需要引例：假如一年后需要1000元钱，存款元钱，存款利率为利率为6%，那么现在应存多少钱？，那

4、么现在应存多少钱？设现在需要存的钱为设现在需要存的钱为PV，一年后需要的钱为一年后需要的钱为FV，rPVFV1于是于是rFVPV1这里的这里的PVPV就是现值，就是现值， 容易算出容易算出PVPV=943.4=943.4 2022-5-24122.1.2 现值与贴现我们称现值的计算为贴现，我们称现值的计算为贴现， 1/1+ r称为贴称为贴现因子，现因子，或者叫做贴现率，或者叫做贴现率，贴现因子相贴现因子相当于终值为当于终值为1 1时的现值。时的现值。 上例中的贴现因子为上例中的贴现因子为 10.94341.062022-5-2413贴现因子的分类引例：引例：设设n n年后你将得到年后你将得到1

5、 1元钱，年利率元钱，年利率为为r r，你现在有多少钱？，你现在有多少钱？ 1.1.单利贴现因子单利贴现因子 nr112.2.复利贴现因子复利贴现因子 nr113.3.连续复利贴现因子连续复利贴现因子 nre2022-5-2414贴现因子的分类例如，例如，5 5年后你将得到年后你将得到10001000元，年利率为元，年利率为6%6%，按复利计算，你现在相当于有多少，按复利计算，你现在相当于有多少钱？钱？按复利计算的折现因子为按复利计算的折现因子为7473. 0%6115终值为终值为10001000元，现值为元，元，现值为元，即相当于你现在有即相当于你现在有747.3747.3元。元。2022-

6、5-24152.1.3 多重现金流多重现金流 1.1.现金流的终值现金流的终值 现金流是指在连续几年中，每年年初都存入一定数量的钱。现金流是指在连续几年中，每年年初都存入一定数量的钱。 例如连续例如连续n n年，年， 每年存入银行的钱数分别为每年存入银行的钱数分别为 ,21nYYY存款的年利率为存款的年利率为r r。 按复利计算，按复利计算，n n年后你将有现金年后你将有现金 rYrYrYFnnnn111121这就是现金流的终值公式。这就是现金流的终值公式。 2022-5-24162.1.3 多重现金流多重现金流 2.2.现金流的现值现金流的现值 某投资者连续某投资者连续n n年年末可得到的投

7、资收入为年年末可得到的投资收入为 ,21nCCC年利率为年利率为r r， 按复利帖现按复利帖现， 投资者投资收入的现值投资者投资收入的现值 nnrCrCrCPV1112212022-5-24172.1.4 年金年金如果每年的现金流如果每年的现金流( (储蓄数量或投资收入储蓄数量或投资收入) )都是一样的，都是一样的， 称这样的现金流为年金。称这样的现金流为年金。 如果现金发生在每年的年初，则称为如果现金发生在每年的年初，则称为及时年金。及时年金。 如果现金发生是在年末，则称为如果现金发生是在年末，则称为普通年金。普通年金。 2022-5-24182.1.4 年金年金1.1.普通年金的终值普通年

8、金的终值 设年利率为设年利率为r r， 连续连续n n年后有年后有1 1元收入的年金的终值为元收入的年金的终值为 rrrrnnn1111121如果连续如果连续n n年，年， 每年收入为每年收入为P P的年金，的年金， 其终值为其终值为 rrPn112022-5-24192.1.4 年金年金2.2.普通年金的现值普通年金的现值连续连续n n年，年， 每年每年1 1元，元， 利率为利率为r r的普通年金的普通年金 按复利折现的现值可这样计算：按复利折现的现值可这样计算： 11(1)11(1)nnnrrPVrrr如连续如连续n n年，每年年，每年P P元的普通年金的现值为元的普通年金的现值为 rrp

9、n 112022-5-24202.1.4 年金年金例例2.1 一个年龄一个年龄6565岁的老人，如果买一份岁的老人，如果买一份1000010000元的保险元的保险( (一次交费一次交费) )，在余生中，在余生中，保险公司每年支付给老人保险公司每年支付给老人10001000元，银行元，银行的存款利率为的存款利率为8%8%。假设老人可以活到。假设老人可以活到8080岁，问是否应当买保险？岁，问是否应当买保险？ 48.855908. 08 . 011110001115rrpPVn2022-5-24212.1.4 年金年金3.3.永续年金的现值永续年金的现值永续年金是指永远持续的一系列现金流。永续年金

10、是指永远持续的一系列现金流。 已知每年支付已知每年支付P元，元， 利率为利率为r， 支付支付n年的年金现值为年的年金现值为 rrPPVn111令取极限，令取极限， 得得rPPV 2022-5-24222.2 债券及其期限结构债券及其期限结构2022-5-24232.2.1 债券的定义和要素债券的定义和要素债券债券(bound)是发行者按法定程序，在某是发行者按法定程序，在某一定时间内对其借款承担还本付息义务一定时间内对其借款承担还本付息义务而开具的法律凭证。而开具的法律凭证。债券的发行人向投资人承诺在预先规定的债券的发行人向投资人承诺在预先规定的时间内向债券的投资人支付利息，到期偿时间内向债券

11、的投资人支付利息，到期偿还本金。作为债券投资人，其收益率是固还本金。作为债券投资人，其收益率是固定不变的，债券是最典型的固定收益证券。定不变的，债券是最典型的固定收益证券。2022-5-2424债券的要素债券的要素1.1.面值面值 面值面值(face value)(face value)又称为本金又称为本金(principal),(principal),即债券的票面即债券的票面价值，债券的发起人在债券的到期日按面值偿还本金。价值，债券的发起人在债券的到期日按面值偿还本金。 2.2.期限期限 期限期限(maturity)(maturity)是指债券的发行日到还本付息日是指债券的发行日到还本付息日

12、( (到期日到期日) )之间的时间长度。之间的时间长度。 2022-5-2425债券的要素债券的要素按期限可将债券分为按期限可将债券分为（1 1） 短期债券短期债券期限在一年之内。期限在一年之内。 （2 2）中期债券）中期债券期限一年以上、十年以下的债券。期限一年以上、十年以下的债券。 （3 3）长期债券）长期债券期限十年以上的债券。期限十年以上的债券。 2022-5-2426债券的要素3.附息债券与票面利率附息债券与票面利率债券分为零息债券和附息债券。债券分为零息债券和附息债券。 零息债券不付利息，通常折扣发行，即发行价低于面值。零息债券不付利息，通常折扣发行，即发行价低于面值。另一种债券是

13、支付利息的债券，另一种债券是支付利息的债券， 对于支付利息的债券，对于支付利息的债券， 票面利率票面利率(coupon)是指按面值计算的收益率。是指按面值计算的收益率。 即一年所获得的利息除以债券的面值。即一年所获得的利息除以债券的面值。 2022-5-2427债券的要素债券的要素 4.付息频率付息频率付息频率付息频率(frequency of interest/payment)指一年内支付利息的次数。指一年内支付利息的次数。 5.分期偿还特征分期偿还特征分期偿还特征分期偿还特征(amortization feature)是指一次性在到期日偿还本金，还是分期偿还本金。是指一次性在到期日偿还本金

14、，还是分期偿还本金。6附加选择权附加选择权附加选择权附加选择权(embedded options)是债权发生时赋予债券的是债权发生时赋予债券的持有人的选择权或者赋予发行人的选择权。持有人的选择权或者赋予发行人的选择权。 2022-5-24282.2.2 债券的风险债券的风险1.利率风险利率风险利率风险是指由于市场利率变化而产生的风险。利率风险是指由于市场利率变化而产生的风险。 债券的价格与市场利率反向变动，债券的价格与市场利率反向变动， 当市场利率上升时，债券的价格下降；当市场利率上升时，债券的价格下降； 当市场利率下降时，债券的价格上升。当市场利率下降时，债券的价格上升。 2022-5-24

15、292.2.2 债券的风险债券的风险2.违约风险违约风险违约风险又称信用风险，违约风险又称信用风险， 是指债券的发行人不能按时支付利息和偿还本金的风险，是指债券的发行人不能按时支付利息和偿还本金的风险， 这种风险是债券的最大风险。这种风险是债券的最大风险。 3.流动性风险流动性风险流动性风险是指债券中途卖出时的价格风险以及能否流动性风险是指债券中途卖出时的价格风险以及能否顺利变现的风险。顺利变现的风险。 2022-5-24302.2.2 债券的风险4.通货膨胀风险通货膨胀风险通货膨胀风险是指由于通货膨胀导致的债券收益通货膨胀风险是指由于通货膨胀导致的债券收益下降的风险。下降的风险。 2022-

16、5-24312.2.3 债券的收益率及其计算债券的收益率及其计算收益率收益率年收益率与期间收益率年收益率与期间收益率 当期收益率当期收益率 到期收益率到期收益率 持有期收益率持有期收益率赎回收益率赎回收益率 投资组合收益率投资组合收益率 2022-5-24322.2.3 债券的收益率及其计算债券的收益率及其计算1年收益率与期间收益率年收益率与期间收益率年收益率（年收益率（annualizing yield）是指持有债券一年的收益率。）是指持有债券一年的收益率。 期间收益率是指某一个时间段的收益率，期间收益率是指某一个时间段的收益率， 这个时间段可以是这个时间段可以是（周，日，季度，半年）年，（

17、周，日，季度，半年）年， 如果时间段是月，则如果时间段是月，则 12m =；如果时间段是季度则如果时间段是季度则 4m =；如果时间段是半年则，如果时间段是半年则， 2m =。2022-5-24332.2.3 债券的收益率及其计算债券的收益率及其计算年收益率与期间收益率的转换关系年收益率与期间收益率的转换关系1,Mrm设时间段为年的期间收益率为则年收益率为()11mAyMrr=+-期间收益率为 ()111mMAyrr=+-2022-5-24342.2.3 债券的收益率及其计算债券的收益率及其计算2当期收益率当期收益率当期收益率（当期收益率（current yield） cyr是是 指债券的年利

18、息与债券市场价格之比，指债券的年利息与债券市场价格之比， 即即cycr PrMPMP=2022-5-24352.2.3 债券的收益率及其计算债券的收益率及其计算3到期收益率（到期收益率（yield to maturity） 到期收益率到期收益率 yMr是指债券生成的现金流现值等于市场价格的折现率。是指债券生成的现金流现值等于市场价格的折现率。 假设债券的市场价格为假设债券的市场价格为 MP距到期时间为距到期时间为n（年），（年）， 债券的面值为债券的面值为 P到期收益率由下式确定：到期收益率由下式确定：()()12.2.111niniyMyMcPMPrr=+（）2022-5-24362.2.3

19、 债券的收益率及其计算债券的收益率及其计算11yMxr=+令式（式（2.2.1）转化为）转化为 ()20ncxcxPc xMP+-=简单的近似计算方法简单的近似计算方法给出两个折现率给出两个折现率 1r和和2r使得债券的市场价格介于债券现金流折现值之间，使得债券的市场价格介于债券现金流折现值之间， 即令即令2022-5-24372.2.3 债券的收益率及其计算债券的收益率及其计算()()()()111121221111ninininicPVrrcPVrr=+=+利用插值方法得到：利用插值方法得到： 112121ymrrMPvrrvv-=-到期收益率地近似插值公式：到期收益率地近似插值公式： (

20、)1121212.2.4ymMPvrrrrvv-=+-（）2022-5-24382.2.3 债券的收益率及其计算债券的收益率及其计算例例2.3 某公司十年期债券，面值为某公司十年期债券，面值为1000元，元，票面利率为票面利率为6，3年后派息的市场价格年后派息的市场价格为为750元，求到期收益率。元，求到期收益率。 解解:此债券的面值此债券的面值P1000，票面利率为，票面利率为6， 每年利息每年利息 0.06100060c =元，距到期时间距到期时间n=103（年），（年）， 市场价格市场价格MP750元，取元，取 111%r =，211.2%r =2022-5-24392.2.3 债券的收

21、益率及其计算债券的收益率及其计算()()()()11177111601000 805.2810.1110.11niniiicPVrr=+=+=+()()()()212277111601000 726.2210.11210.112niniiicPVrr=+=+=+满足满足21726.22750805.28VMPV=+=45.57930.050.015.53%86.1648ypr=+=2022-5-24462.2.4 债券的收益率曲线债券的收益率曲线债券的期限结构是指债券的到期期限与债券的期限结构是指债券的到期期限与到期收益率之间的关系。到期收益率之间的关系。如果用横轴表示到期时间，如果用横轴表示

22、到期时间， 纵轴表示到期收益率，纵轴表示到期收益率， 在坐标系内画出的曲线称为收益率曲线。在坐标系内画出的曲线称为收益率曲线。 到期收益率曲线由四种类型：到期收益率曲线由四种类型： 2022-5-24472.2.4 债券的收益率曲线债券的收益率曲线图2.1 正向收益率曲线00.010.020.030.040.0502468时间收益率1 1当债券收益率上升时，当债券收益率上升时， 债券距到期时间越长，债券距到期时间越长， 到期收益率就越高，到期收益率就越高， 称为正向收益率曲线，称为正向收益率曲线， 2022-5-24482.2.4 债券的收益率曲线债券的收益率曲线图 2.2 反向收益率曲线00

23、.010.020.030.040.050.0601234567时间收益率2 2债券的收益率下降时，债券的到期时间越短，债券的收益率下降时，债券的到期时间越短，到期收益率越到，则称为反向收益率曲线，到期收益率越到，则称为反向收益率曲线，2022-5-24492.2.4 债券的收益率曲线债券的收益率曲线图2.3 水平收益率曲线00.020.040.0602468时间收益率3 3如果市场收益率不含变化，不同期限的债券的如果市场收益率不含变化，不同期限的债券的到期收益率相同，则称为水平收益率曲线。到期收益率相同，则称为水平收益率曲线。 2022-5-24502.2.4 债券的收益率曲线债券的收益率曲线

24、4 4如果市场收益率先升后降如果市场收益率先升后降, ,则到期收益率先升后降，则到期收益率先升后降，则称收益率为拱形收益率曲线。则称收益率为拱形收益率曲线。图2.4 拱形收益率曲线00.010.020.030.040.0501234567时间收益率2022-5-24512.3 债券定价债券定价2022-5-24522.3.1 债券定价的原则债券定价的原则债券的价格实际上是投资者为取得债券债券的价格实际上是投资者为取得债券的未来现金流而希望付出的资金。的未来现金流而希望付出的资金。 债券未来的收入流是债券未来的收入流是债券的票面利息和到期偿还的本金。债券的票面利息和到期偿还的本金。 债券的定价原

25、则是债券的定价原则是债券的内在价值或者称为真实价值是债券的内在价值或者称为真实价值是债券未来现金流的现值。债券未来现金流的现值。 2022-5-24532.3.1 债券定价的原则债券定价的原则债券净现值债券净现值NPVNPV（net present valuenet present value）等于债券的内在价值和债券市场价格之等于债券的内在价值和债券市场价格之差差 。如果净现值大于零，则债券的市场价格被低估了，如果净现值大于零，则债券的市场价格被低估了，这时债券可以投资。这时债券可以投资。 如果净现值小于零，说明债券的市场价格被高估了，如果净现值小于零，说明债券的市场价格被高估了，可不投资这

26、样的债券。可不投资这样的债券。 2022-5-24542.3.2 影响债券定价的因素影响债券定价的因素影响债券定价的因素内部因素外部因素2022-5-24552.3.2 影响债券定价的因素影响债券定价的因素内部因素债券的面值P 债券的票面利息c 债券的有效期T 是否可提前赎回 是否可转换 流通性 违约的可能性 2022-5-24562.3.2 影响债券定价的因素影响债券定价的因素外部因素基准利率（即无风险利率） 市场利率 通货膨胀率 2022-5-24572.3.2 影响债券定价的因素影响债券定价的因素市场利率指投资机会的平均收益率，市市场利率指投资机会的平均收益率，市场利率越高，债券价值越低

27、。场利率越高，债券价值越低。 当市场利率提高时，投资者的机会成本也相应的提高，当市场利率提高时，投资者的机会成本也相应的提高，债券的价格会降低。债券的价格会降低。 设市场利率为设市场利率为r， 如果债券的票面利率如果债券的票面利率 /,c pr()()()()111111TTtTtTitcPrPPVPrrrr=+=+邋2022-5-24582.3.3 债券定价债券定价设债券的面值为设债券的面值为P，期限为，期限为T，市场利率为，市场利率为r ,1.零息债券定价零息债券定价()(2.3.1)1TPVr=+2.付息债券定价付息债券定价设债券每年一此性支付利息设债券每年一此性支付利息c（元），则债券

28、的价值（元），则债券的价值V为为即债券的面值按市场利率按复利折现。即债券的面值按市场利率按复利折现。零息债券即不支付利息，到期日一次性还本的债券零息债券即不支付利息，到期日一次性还本的债券 2022-5-24592.3.3 债券定价债券定价()()1(2.3.2)11TtTtcPVrr=+3.每年派息每年派息m次的债券定价次的债券定价如果每年支付的利息如果每年支付的利息c按按m次支付，则此债券的价格次支付，则此债券的价格()()1(2.3.3)11mTtmTtcPmVrrmm=+即债券即债券T年支付的现金流，市场利率按复利折现。年支付的现金流，市场利率按复利折现。2022-5-24602.3.

29、3 债券定价债券定价例例2.3 设市场利率为设市场利率为12，求每年付息，求每年付息90元，面值为元，面值为1000元，元，每年付息两次，期限为每年付息两次，期限为20年的债券价格。年的债券价格。解解由假设，市场利率由假设，市场利率r12，c90，P=1000，m2，T40， 45,40,0.06,rcmTmm=()()404011451000(2.3.4)10.0610.0611mTtmTtttcPmVrrmm=+=+骣骣+鼢珑+鼢珑鼢珑桫桫邋2022-5-24612.3.3 债券定价债券定价根据年金现值公式根据年金现值公式,上式等号右边第一项上式等号右边第一项()()40401111.06

30、4545677.080.0610.06tt=-=+第第2项项()40100097.2210.06=+所以所以677.0897.22774.30V =+=2022-5-24622.3.3 债券定价债券定价例例2.4假设市场率为假设市场率为7，其他条件与上例相同的债券的价格。，其他条件与上例相同的债券的价格。即，此时即，此时 0.07,0.035rrm=得到得到()()4040145100010.03510.035ttV=+2022-5-24632.3.3 债券定价债券定价()401000252.5710.035=+所以所以960.98252.571213.55V =+=其中其中()4040111

31、451.03545960.980.03510.035tt=轾骣犏-犏桫犏=犏+犏犏犏臌2022-5-24642.4 价格波动的测度久期2022-5-24652.4.1 久期及其计算久期（久期（duration） ： 是债券现金流的加权平均期限。是债券现金流的加权平均期限。 债券的一般定价公式为债券的一般定价公式为11TtttcVr其中其中c ct t是债券的第是债券的第t t个时段支付的现金流，如果每年支付一次利息，个时段支付的现金流，如果每年支付一次利息，则时段为则时段为1 1年，如果每年支付年，如果每年支付m m次利息，则时段为次利息，则时段为1/m1/m年。年。2022-5-24662.

32、4.1 久期及其计算麦考利久期麦考利久期11(2.4.1)1TttttcDVr其中，权重数为其中，权重数为,1ttcVr111TtttcVr2022-5-24672.4.1 久期及其计算零息债券零息债券 的久期的久期DT推导：推导：对于零息债券来说，债券地现金流为对于零息债券来说，债券地现金流为0 1,2,1 tTtTcctT2022-5-24682.4.1 久期及其计算根据零息债券定价公式根据零息债券定价公式 1TTcVr再根据再根据ct 和久期的定义，得和久期的定义，得11TTTTrTcDTcr2022-5-24692.4.1 久期及其计算例例2.5设债券面值为设债券面值为100100元，

33、票面利率为元，票面利率为1414，每年付息每年付息2 2次，债券的期限为次，债券的期限为5 5年，年，市场利率为市场利率为1010，求麦考利久期。，求麦考利久期。 因为每年付息两次，债券可分为因为每年付息两次，债券可分为1010个时段，个时段， 将各时段的现金流，以将各时段的现金流，以5%5%折现一元现值，折现一元现值，现金流现值，现金流现值，t t现金流现值，如表现金流现值，如表2.12.1： 2022-5-2470时段（时段（t t）现金流现金流 折现值折现值(5%(5%折现折现) )现金流现值现金流现值T T现金流现现金流现值值1 17.007.000.9523800.9523806.6

34、666676.6666676.6666676.6666672 27.007.000.9070290.9070296.3492066.34920612.69841212.6984123 37.007.000.8638370.8638376.0468636.04686318.14058918.1405894 47.007.000.8227020.8227025.7589175.75891723.03566923.0356695 57.007.000.7835260.7835265.4846835.48468327.42341527.4234156 67.007.000.7462150.746215

35、5.2235085.22350831.34104631.3410467 77.007.000.7106810.7106814.9747694.97476934.82338534.8233858 87.007.000.6768390.6768394.7378764.73787637.90300437.9030049 97.007.000.6446080.6446084.5122624.51226240.61036140.61036110107.007.000.6139130.61391365.68871865.688718656.887180656.887180总计 115.443470115.

36、443470889.529728889.529728表2.12022-5-24712.4.1 久期及其计算889.5297287.71115.4434707.713.852DD半年年根据久期公式及表根据久期公式及表2.12.1，得到久期，得到久期 2022-5-24722.4.2 2.4.2 债券价格波动的特征债券价格波动的特征债券的均衡价格是债券现金流利用市场债券的均衡价格是债券现金流利用市场收益率的折现值。收益率的折现值。1(2.4.2)1TtttCVr其中其中T T表现债券的期限表现债券的期限( (以年为单位以年为单位),),债券每年付息一次债券每年付息一次, ,即年息为即年息为C,C,

37、面值为面值为P,P,则则,1,2,1,tTCC tTCCP2022-5-24732.4.2 2.4.2 债券价格波动的特征债券价格波动的特征结论：结论： 债券的价格与市场收益率呈反向变化。债券的价格与市场收益率呈反向变化。即市场收益率越大，债券的价格越低。即市场收益率越大，债券的价格越低。 111TttttCdVdrr 2221(1)(1)Ttttt tCd Vdrr可见可见 0,dVdr220,d Vdr债券的价格债券的价格V V是是r r的减函数，并且是凸函数的减函数，并且是凸函数， 2022-5-24742.4.2 2.4.2 债券价格波动的特征债券价格波动的特征图图2.5 债券的价格债

38、券的价格V和和r的关系的关系Vr2022-5-24752.4.32.4.3债券价格波动的测量债券价格波动的测量 价格波动：价格波动：市场收益率变化市场收益率变化 。债券价格波动的测量：测量市场收益率变化债券价格波动的测量：测量市场收益率变化 对债券价格的影响。对债券价格的影响。 1111TttttCdVDVdrrr 1adjDDr令修正久期，则adjdVD Vdr 2022-5-24762.4.32.4.3债券价格波动的测量债券价格波动的测量债券价格的市场收益率弹性债券价格的市场收益率弹性 11d VD Vr Dd rrVVrrr 如果用修正久期表示如果用修正久期表示 a d jd Vd rD

39、rVr 2022-5-24772.4.42.4.4债券组合的久期债券组合的久期 假设组合中有假设组合中有m m个债券，其价格个债券，其价格V Vi i由下式确定由下式确定 1,1iTtittCVrmi, 1第第i i个债券的久期为个债券的久期为 1,1iTtittitCiDVrmi, 12022-5-24782.4.42.4.4债券组合的久期债券组合的久期m m个债券构成的组合的价格个债券构成的组合的价格12111imTtmtitCVVVVr债券组合的久期债券组合的久期 11111111iimTmTmtitiittititiitCVtCVDDVVVrVr 2022-5-24792.4.42.4

40、.4债券组合的久期债券组合的久期,iiVwV令它表示第个债券的价格占债券组合价格的比重，它表示第个债券的价格占债券组合价格的比重， 1miiiDw D久期的可加性久期的可加性 :债券组合的久期，是各债券久期的加权平均。债券组合的久期，是各债券久期的加权平均。 2022-5-24802.4.52.4.5利用久期免疫利用久期免疫重要结论：重要结论：债券的息票获得的利息，如果再投资，就会取得收益。债券的息票获得的利息，如果再投资，就会取得收益。 1.1.当市场收益率上升时，投资收益（按复利计算）就会增加，当市场收益率上升时，投资收益（按复利计算）就会增加，如果投资期小于债券的期限，那么投资者出售债券

41、时就会遭受如果投资期小于债券的期限，那么投资者出售债券时就会遭受损失。损失。 2.2.当市场收益率下降时，情况则相反。投资者出售债券时将当市场收益率下降时，情况则相反。投资者出售债券时将会增值，但从息票获得的利息再投资的收益（按复利计算）会增值，但从息票获得的利息再投资的收益（按复利计算）将会下降。将会下降。 2022-5-24812.4.52.4.5利用久期免疫利用久期免疫债券或债券组合的免疫问题债券或债券组合的免疫问题 由于利率风险与再投资风险可以相互抵消，我们是否由于利率风险与再投资风险可以相互抵消，我们是否可以选择一种无论利率将来如何变化，在购买时就锁定收可以选择一种无论利率将来如何变

42、化，在购买时就锁定收益率的债券和债券的组合。益率的债券和债券的组合。 免疫就是债券或债券组合的收益率不受利率变化的影响。免疫就是债券或债券组合的收益率不受利率变化的影响。 免疫方法：免疫方法：通过构造一个麦考利久期等于投资期限的组合来通过构造一个麦考利久期等于投资期限的组合来 实现。实现。2022-5-24822.4.52.4.5利用久期免疫利用久期免疫举例：举例： 假设一位基金经理必须在假设一位基金经理必须在5.55.5年后支付一笔年后支付一笔1718303317183033美元的负债，假设当前债券的收益率为美元的负债，假设当前债券的收益率为12.5%12.5%，假设，假设6 6个月投资的收

43、益率为个月投资的收益率为6.25%6.25%，5.55.5年年负债负债1718303317183033美元的现值为美元的现值为88202628820262美元。因此，美元。因此，假如基金尽力在未来假如基金尽力在未来1111段段6 6个月个月6.25%6.25%的现行收益的现行收益率投资率投资88202628820262美元，那么终值足以偿还负债。美元，那么终值足以偿还负债。 2022-5-24832.4.52.4.5利用久期免疫利用久期免疫 假设基金经理购买了将在假设基金经理购买了将在5.55.5年后到期，到期收益年后到期，到期收益率为率为12.5%12.5%，以票面值出售的，以票面值出售的8

44、8202628820262票面值的债券。票面值的债券。该债券的麦考利久期为该债券的麦考利久期为4.144.14年，小于投资期限。基金年，小于投资期限。基金经理能实现经理能实现12.5%12.5%的收益率吗？或者等价地说，累积价的收益率吗？或者等价地说，累积价值能达到值能达到1718303317183033美元吗？美元吗？结论：累积价值取决于再投资利率，只有当基金经历结论：累积价值取决于再投资利率，只有当基金经历6 6个月以个月以6.25%6.25%的收益率，将利息投资，才能实现的收益率，将利息投资，才能实现12.5%12.5%的收益率。的收益率。 为了说明这一点，假设基金经理将为了说明这一点，

45、假设基金经理将88202628820262投资于期限为投资于期限为5.55.5年年的的12.5%12.5%息票的债券后，市场收益率发生了变化，在之后的息票的债券后，市场收益率发生了变化，在之后的5.55.5年年内保持这个新水平，表内保持这个新水平，表2.22.2显示了显示了5.55.5年结束时会怎样，年结束时会怎样， 2022-5-24842.52.5价格波动率的测度价格波动率的测度凸度凸度2022-5-24852.5.12.5.1凸度及其计算凸度及其计算 由由2.4.12.4.1，债券价格收益率曲线（图，债券价格收益率曲线（图2.52.5）是凸形的）是凸形的, , 当利用久期来估计债券价格的

46、波动时，当利用久期来估计债券价格的波动时，实际上是用价格收益率曲线的切线作为价格实际上是用价格收益率曲线的切线作为价格的近似来代替实际价格，称为的近似来代替实际价格，称为估计价格估计价格。 2022-5-24862.5.12.5.1凸度及其计算凸度及其计算实际价格实际价格估计价格估计价格图图2.6 实际价格与估计价格的关系实际价格与估计价格的关系*r*VV0r2022-5-24872.5.12.5.1凸度及其计算凸度及其计算22221(2.5.1)2dVd VdVdrdrd drdrdr222211(2.5.2)2dVdVd Vdrdro drVdr VV dr221,dd VTdr V称为凸

47、度，记为表示价格收益率曲线的凸性特征表示价格收益率曲线的凸性特征。 2022-5-24882.5.12.5.1凸度及其计算凸度及其计算2111(2.5.3)11Ttdttt tCTVrr如果付息频率为如果付息频率为m m， 则凸度的年度值为则凸度的年度值为 2dTm2022-5-24892.5.12.5.1凸度及其计算凸度及其计算面值为面值为100100美元，票面利率为美元，票面利率为8%8%，收益率为，收益率为9%9%，债券的价格为债券的价格为96.0436496.04364美元，每年付息两次，美元，每年付息两次，计算这个债券的凸度。计算这个债券的凸度。 例例2.62022-5-2490tt

48、C1t t 1t t时间（时间（t t）现金流（现金流（C Ct t）现值现值现值现值1 14 43.8283.8282 27.65557.65552 24 43.6633.6636 621.977521.97753 34 43.5053.505121242.062242.06224 44 43.3543.354202067.084967.08495 54 43.213.21303096.294196.29416 64 43.0723.0724242129.0065129.00657 74 42.9392.9395656164.6016164.60168 84 42.8132.81372722

49、02.5173202.51739 94 42.6922.6929090242.2456242.2456101010410466.7966.791041047366.53277366.5327总和总和 8339.97798339.9779t(t+1)2022-5-24912.5.12.5.1凸度及其计算凸度及其计算28339.977997.517710.04596.04364凸度（半年）79.517719.884凸度（年）2022-5-24922.5.2 2.5.2 凸度在价格波动测度中的作用凸度在价格波动测度中的作用2222112.5.22dVdVd Vdrdro drVdr VV dr（）式（式（2.5.22.5.2）右端第一项为）右端第一项为久期解释债券价格的百分比变化久期解释债券价格的百分比变化= -= -久期久期收益率变化收益率变化式（式（2.5.22.5.2）第二项为）第二项为 凸度解释的债券价格的百分比变化凸度解释的债券价格的百分比变化=0.5=0.5凸度（收益率变化）凸度（收益率变化）2 2 债券价格总百分比变化债券价格总百分比变化= -= -久期收益率变化久期收益率变化-0.5-0.5凸度（收益率变化）凸度（收益率变化）2 22022-5-24932.5.2