南邮通达数字信号处理复习

1、数字信号数字信号A复习复习1、填空、填空 题（题（ 20 %）2、判断、判断 题（题（ 10 %）3、简答、简答 题（题（ 10 %）4、画图、画图 题（题（ 15 %）5、计算、计算 题（题（ 30 %）6、设计、设计 题（题（ 15 %）第六章 数字信号处理系统实现 量化误差的产量化误差的产生生（三种） 信号流图：信号流图： IIR 直接型（直接型（I型、型、II型）型） （课后习题）（课后习题） 级级联型联型 并联型并联型 FIR 横截型横截型 级联型级联型 线线性相位性相位型型第五章第五章 FIR滤波器的设计滤波器的设计 线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点 FIR滤波器的设

2、计：滤波器的设计： 窗口设计法（重点）窗口设计法（重点） 频率采样法频率采样法 FIR与与IIR的比较的比较四种线性相位四种线性相位FIR滤波器滤波器P193线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点第一种情况，第一种情况，h(n)偶对称、偶对称、N为奇数，四种滤波器为奇数，四种滤波器都都可设计可设计。第二种情况，第二种情况，h(n)偶对称、偶对称、N为偶数，为偶数，可设计低通、可设计低通、带通滤波器带通滤波器，不能设计高通和带阻。，不能设计高通和带阻。第三种情况，第三种情况，h(n)奇对称、奇对称、N为奇数，为奇数，只能设计带通只能设计带通滤波器滤波器，其它滤波器都不能设计。，其它滤波器

3、都不能设计。第四种情况，第四种情况，h(n)奇对称、奇对称、N为偶数，为偶数，可设计高通、可设计高通、带通滤波器带通滤波器，不能设计低通和带阻。，不能设计低通和带阻。线性相位线性相位FIR滤波器的零点特性滤波器的零点特性 线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对窗口设计法思路：窗口设计法思路：使单位脉冲响应序列使单位脉冲响应序列 h(n) 逼近逼近理想的单位脉冲响应理想的单位脉冲响应序列序列 hd(n) 。设计步骤设计步骤 ：)()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj221)(onjjdddeeHnhFIR滤波器滤波器h(n)无限长无限长h(n)有限长有限长极点极点z平面任意位置

4、平面任意位置滤波器阶次低滤波器阶次低一般是非线性相位一般是非线性相位递归结构递归结构 不能用不能用FFT计算计算可用模拟滤波器设计可用模拟滤波器设计极点固定在原点极点固定在原点滤波器阶次高得多滤波器阶次高得多可严格的线性相位可严格的线性相位一般采用非递归结一般采用非递归结构构(特殊情况采用递归结构特殊情况采用递归结构)可用可用FFT计算计算设计借助于计算机设计借助于计算机5.5 IIR5.5 IIR和和FIRFIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较IIR滤波器滤波器特殊情况：特殊情况：其他010)(Mnanhn)(11)(1101azzazazzazazHMMMMnMMnn形式上是形式上是IIR

5、，性能上实际是，性能上实际是FIR第四章第四章 IIR滤波器的设计滤波器的设计 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 双线性变换法双线性变换法IIR滤波器设计方法：滤波器设计方法： （P143） 1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。1）H(z)的频响要能模仿Ha(s)的频响，即s平面的虚轴应映射到z平面的单位圆 上。 2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变，即s平面的左半平面 ReS0 应映射到z平面的单位圆以内|z|1。 这种这种映射变换映射变换应遵循应遵循两个基本原则两个基本原则 ：脉冲响应不变法脉冲响应不变法1、基本思想：、基本思想： 使数字滤波器

6、的单位脉冲响应序列h(n)逼近模拟滤波器的冲激响应ha(t)2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式：的公式：3、s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系1NiaiiAH( s )ssNiTsizeAzHi111)(sTez TerT4、H(j)与与H(ej)的关系：的关系：数字滤波器的频响数字滤波器的频响并不是简并不是简单的重现单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓周期延拓。5、适用性：、适用性：低通和带通低通和带通滤波器（滤波器（带限信号带限信号）6、优缺点：、优缺点： 优点优点是是和和为线性关系为线性关系 缺点缺点是频谱交叠产生的混

7、淆，这是从是频谱交叠产生的混淆，这是从s平面到平面到z平面的平面的标准标准变换变换zesT的多值对应关系导致的的多值对应关系导致的，1NiaiiAH (s )ssNiTsizeAzHi111)(P158 例例4.3 : 将一个具有如下系统函数：将一个具有如下系统函数： 的模拟滤波器数字化。的模拟滤波器数字化。解：解：2111313( )()()aHsssss1311111)(zezezHTT 4.1题题 书上习题：书上习题： P183 双线性变换法双线性变换法1、基本思想：、基本思想：2、由、由Ha(s)求求H(z)的公式的公式3、 s平面到平面到z平面的映射关系平面的映射关系4、优缺点：、优

8、缺点：优点s平 面与z平面是单值的一一对应关系，即不会产生混叠现象；缺点与成非线性关系，引起频率失真问题5、预畸变、预畸变s1平面平面z平面平面s平面平面1s Tze zzTsTsez1siiiffT22tg2iiT12tanTc() 4.4题题 书上习题：书上习题： P183 冲击响应不变法冲击响应不变法双线性变换法双线性变换法 （预畸变）1NiaiiAH( s )ssNiTsizeAzHi111)(zzTsTsiiiffT22tg2iiT低阶巴特沃思滤波器低阶巴特沃思滤波器(归一化归一化) 1111aH (s )sN12aNH (s )13213221aH (s )sssN1212ss低低

9、通通原原型型例题：例题： 设采样周期设采样周期 ,设计一个三阶巴特沃思设计一个三阶巴特沃思低通滤波器低通滤波器,其其3dB截止频率截止频率fc=1kHz。分别用脉冲响应不变法。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。和双线性变换法求解。（P167例4.8、P168例4.9） 解：a. 脉冲响应不变法 1231122a( )Hssss32)/()/( 2)/( 211)(cccassssHcs /)4(250kHzfsTs以以 代替其归一化频率，得：代替其归一化频率，得：1) 3)2)5 . 02TfcccccfT24.4.1 低通变换低通变换模拟低通原型模拟低通原型Ha(s)数字低通数字低通H

10、(z)6633132132/()() /() /jjcccaccceeHsssjsj 1162263331323132/,;/,() /;/,() /ccjccjcAsAesjAcesj NiTsizeAzHi111)(4)32)/()/(2)/(211)(cccassssH31()iaiiAHsss3111)(iTsizeAzHi并将 代入，得： 6611321321133111Ccccj/j/cc(j)/(j)/ T(/T )e(/T )eH( z )ezezez5 . 02Tfcc21112079.01905.015541.0571.12079.01571.11)(zzzzTzHccT

11、21112079. 01905. 015541. 0571. 12079. 01571. 1)(zzzzzH修正后(三 )以 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 b. 双线性变换法 （一）首先确定数字域临界频率 20 5 .cccTf T TtgTcc222cs/32)/()/(2)/(211)(cccassssHTc/2（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率 并将 代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(z)。设计时已给出的指标设计时已给出的指标所求预畸变的临界频率所求预畸变的临界频率11232 111111111111122111()()azsTzHzHszzzz

12、zz232311221222122( )(/)(/)(/)(/)(/)(/)acccHsssssssTTT112 11-z=+zT双双线线性性变变换换关关系系s s331122111112 3311=zzzzzz 222cctgTT 所求预畸变的所求预畸变的临界频率临界频率1. 已知归一化二阶二阶巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器的系统函数为12121a( )Hsss要求用双线性变换法设计一个二阶巴特沃斯数字低通数字低通滤波器， 该滤波器的3 dB截止频率截止频率rad， 为简单起见， 设采样采样间隔间隔T=2 s。3c（1）求出该数字低通滤波器的系统函数）求出该数字低通滤波器的系统函数H(

13、z)；（2）画出该数字低通滤波器的直接型结构图；）画出该数字低通滤波器的直接型结构图；求：求：第三章离散傅里叶变换及其快速算法第三章离散傅里叶变换及其快速算法离散傅里叶变换（DFT）快速傅里叶变换（FFT）DFS变换1010( )( )( )1( )( )( )NnNnkNknNkXx n WDFS x nx nX k WIDFSXNkk则DFS变换对可写为NjNeW/210/2)()()(NnknNjenxnxDFSkX10/2)(1)()(NknkNjekXNkXIDFSnxNjNeW/2 是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，120Nj/ N knnX(k )DFSx(n)x(

14、n)e 12012001101Nj/ N knnNj/ N knkX(k )DFT x(n)x(n)ekNx(n)IDFT X(k )X(k )enNN IDFTDFS1201Nj/ N knkx(n)IDFS X(k )X(k )eN DFTIDFSDFS与与DFT的关系的关系P135 3.6例1 x(n)=R4(n), 求x(n)的8点和16点DFT。解： 变换区间N=8时，则1001NknNnX(k )DFT x(n)x(n)WkN82j73j82j008jjj3222j 8jjj8881 e( )( )e1 esin()e(ee)2e0,1,7sin()e(ee)8kknknknnkk

15、kkkkkX kx n Wkkk 变换区间N=16时，则j21532j162j0016jjj3444j16jjj161616161 e( )( )e1 esin()e(ee)4e0,1,15sin()e(ee)16kknknknnkkkkkkkX kx n Wkkkj21532j162j0016jjj3444j16jjj161616161 e( )( )e1 esin()e(ee)4e0,1,15sin()e(ee)16kknknknnkkkkkkkX kx n WkkkR4(n)的DTFT和DFT的幅度特性曲线 循环卷积可看作是周期序列 卷积后再取其主值序列。 周期卷积：)()(nynx与（

16、3）循环卷积(圆周卷积)1）由有限长序列 x(n)、y(n) 构造周期序列循环卷积过程:)()(nynx与2）计算周期卷积 10)()()(Nmmnymxnf3）卷积结果取主值)()()(nRnfnfN11001001NNNNNNmmNNNNmf (n)x(m )y(nm ) Rnx(m ) y(nm )RnmN,x(m )x(m ),f (n)x(m )y(nm )Rnx(n)y(n) 记记作作( ( ) )= =( ( ) )对对于于此此即即因因( ( ) )循环卷积（圆周卷积） 例2： 分别为长度是4 和 3的有限长序列 ，求其循环卷积。 ( )x n 、y(n) 10NNNmf (n)

17、 x(n)y(n)x(m )y(nm )Rn=()=()1）由有限长序列 x(n)、y(n) 构造周期序列)()(nynx与2）计算周期卷积 10)()()(Nmmnymxnf3）卷积结果取主值)()()(nRnfnfN2）计算周期卷积 10)()()(NmmnymxnfN=7N=7线性卷积性质： 周期卷积性质：循环卷积性质：10)()()(Nmmnymxnf)()()(kYkXkFmf (n)x(n)* y(n)x(m )y(nm )F(z)=X（z）Y（z） z变换DFS10)()()()()()(NmNNnRmnymxnynxnfF(k)=X(k)Y(k) DFT几种卷积特性对比：讨论：

18、什么条件？假定 x1（n）为有限长序列，长度为N1， x2（n）为有限长序列，长度为N2， y（n）是一个长度为N1+N2-1的有限长序列 。有限长序列的线性卷积y(n)：1212my(n)x (n)* x (n)x (m )x (nm )在一定条件下，有限长序列的循环卷积等于线性卷积循环卷积： 为分析 x1（n）、x2（n）的循环卷积 先看x1（n）、x2（n）的周期延拓（以L为周期）： rqrLnxnxqLnxnx)()()()(221110102121)()()()()(LmLmlmnxmxmnxmxny rrLmLmrrLnymrLnxmxmrLnxmx)()()()()(102110

19、21它们的周期卷积序列为： 的周期卷积实质上是x1(n)、x2(n)线性卷积的周期延拓，周期为L 。1x (n)、)(2nx 所以使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是： L N1+N2-1 )()()()()(21nRnynxnxnyLll)()()(nynRrLnyLr L： 做圆周卷积进行周期延拓时的周期 N1：第一个序列的长度 N2：第二个序列的长度P135 3.9DFT与与z变换变换,DTFT的关系的关系 因此， X(k) 是z变换在单位圆上等间隔的采样值 10)()()(NnnznxnxZzX2jk / Nz eX(k )X( z ) 2jX(k )X(e)kN 因此，X（

20、k）可看作是对序列DTFT的等间隔采样20 11jkNX(k )X(e)k, ,.,N 图 DFT与z变换ooooooooooo2X（ej）X（k）oRezjImzk1N00oDTFTDFTR4(n)的DTFT和DFT的幅度特性曲线 快速傅里叶变换快速傅里叶变换 按时间抽取按时间抽取 按频率抽取按频率抽取基2输入序列长度为N=2M若不满足这个条件，可以人为地加上若干零值（加零补长）使其达到 N=2M2 10220 112N /lnNnNX( l )a(n)Wl, ,2 102210 112N /lnNnNX( l)b(n)Wl, ,12a( n )x ( n )x ( n )12nNb(n)

21、x (n)x (n)W NkkHWkGkXkN, 12, 1 , 0,)2(NkkHWkGNkXkN蝶形运算流图：x1(n)x2(n)kNWa(n)b(n)1按时间抽取（DIT）基2-FFT按频率抽取（DIF）基2-FFTG(k)H(k)kNWX(k)-12NX(k)NH kDFT2（ ） 奇数点序列的点NG(k)DFT2偶数点序列的点回顾：N=8的基2-FFT运算流图N=8的按时间抽取FFT运算流图按时间抽取回顾：按频率抽取FFT运算量：222NN.Mlog N复乘次数：2N.MN log N复加次数：DFT运算量：2N复乘次数：N N -1复加次数： （）直接计算DFT需要： N2=104

22、8576次 即一百多万次的复乘运算如：N=1024点时利用FFT计算需要： N/2.log2N=5120次 复乘运算第二章 信号的采样与重建1.信号经信号经采样采样后频谱发生的变化后频谱发生的变化2.由离散信号由离散信号不失真不失真恢复连续信号的条件：恢复连续信号的条件：s2max3、信号恢复：、信号恢复：加低通滤波器加低通滤波器答答: :信号最高频谱超过信号最高频谱超过 s s/2/2问题问题1:1:在理想采样频谱中在理想采样频谱中, ,什么情况下会出现频谱的什么情况下会出现频谱的“混混叠叠”现象现象? ? 问题问题2:2:工程上工程上, ,采样之前要加一抗混叠滤波器采样之前要加一抗混叠滤波

23、器, ,为什么为什么? ? 答答: :使得信号的上限频率小于使得信号的上限频率小于 s s/2,/2,从而防止频谱的混叠从而防止频谱的混叠第一章 离散时间与系统1.1 离散时间信号离散时间信号1.2 离散信号的傅氏变换与离散信号的傅氏变换与z变换变换1.3 离散时间系统离散时间系统1.4 系统系统的频率响应及其系统函数的频率响应及其系统函数判断正弦序列判断正弦序列 的周期性的周期性 ：x(n)=sin(0n)165x(n)sin(n)例例：判判断断序序列列是是否否是是周周期期序序列列，若若是是， 确确定定其其周周期期长长度度02N 当当 是正整数时，正弦序列为周期序列，且是正整数时，正弦序列为

24、周期序列，且周期为周期为 N 。 当当 是有理数时，正弦序列为周期序列，且是有理数时，正弦序列为周期序列，且周期为周期为 。02Nm02Nm 当当 是无理数时，正弦序列为非周期序列。是无理数时，正弦序列为非周期序列。02NmDTFT定义定义 IDTFT定义定义 nnjjenxeX)()(deeXnxnjj)(21)(注注意：意： （1）DTFT存在的充分条件是存在的充分条件是x(n)绝对可和，即：绝对可和，即： （2） 可从定义式入手可从定义式入手2-()()()jjjX eX eX e的其他变换形式，如、( )( )j nnnx n ex n （1） 周期性周期性 （2） 对称性对称性 的重要性质：的重要性质：()jX e系统的频率响应函数系统的频率响应函数二二. Z变换的收敛域（变换的收敛