高等代数 集合与映射

1、把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合集合；常用大写字母常用大写字母A、B、C 等表示集合；等表示集合；当当a是集合是集合A的元素时，就说的元素时，就说a 属于属于A，记作，记作 ； aA 当当a不是集合不是集合A的元素时，就说的元素时，就说a不属于不属于A，记作，记作 .aA 组成集合的这些事物称为集合的组成集合的这些事物称为集合的元素（元素（element） 用小写字母用小写字母a、b、c 等表示集合的元素等表示集合的元素 关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明集合论的创始人是个描述性的说

2、明集合论的创始人是19世纪中期德世纪中期德国数学家康托尔（国数学家康托尔（GCantor），他把集合描述为：），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的，彼此有所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的，彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果；明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果；集合中的那些事物就称为集合的元素即，集合中集合中的那些事物就称为集合的元素即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性的元素具有：确定性、互异性、无序性. 集合的表示方法一般有两种：集合的表示方法一般有两种：描述法描述法、列举法列举法 Mx | x具有性质具有性质P Ma1，a2，an把构成集合

3、的全部元素一一列举出来把构成集合的全部元素一一列举出来.给出这个集合的元素所具有的特征性质给出这个集合的元素所具有的特征性质.例例1 122( , )4, ,Mx y xyx yR 例例2 2 N ，0,1,2,3,0, 2, 4, 6, 2Z 例例3 3210, 1,1Mx xxR 空集：空集：不含任何元素的集合，记为不含任何元素的集合，记为 约定：约定： 空集是任意集合空集是任意集合的子集合的子集合. 如果如果B中的每一个元素都是中的每一个元素都是A中的元素，则称中的元素，则称B是是 A的的子集（子集（subset），记作，记作 ，（读作，（读作B包含包含 于于A）.BABA当且仅当当且仅

4、当 xBxA 如果如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称两集合含有完全相同的元素，则称 A与与 B相等相等，记作，记作AB .AB当且仅当当且仅当 且且 ABBA交：交： ； ABx xAxB 且且并：并： ； ABx xAxB 或或显然有，显然有，;ABAAAB 设设M、M 是给定的非空集合，如果有是给定的非空集合，如果有 一个对一个对应法则应法则，通过这个法则，通过这个法则对于对于M的每一个元素的每一个元素a，都有都有M 中一个确定的元素中一个确定的元素a 与它对应与它对应, 则称则称 为为称称 a 为为 a 在映射在映射下的下的象（象（image），而，而 a称称a 在在映射映射下的下

5、的原象（原象（inverse image），记作，记作(a)a 或或M到到M 的的映射（映射（mapping），记作，记作 . :MM :.aa 1.1.设映射设映射 , 集合集合:MM 称之为称之为M在映射在映射下的下的象象，通常记作，通常记作 Im2. 集合集合M 到到M 自身的映射称为自身的映射称为M 的一个的一个变换变换 ImM 显然，显然， () ( )Ma aM 例例4 4M是一个集合，定义是一个集合，定义I： I(a)a ，aM 即即 I 把把 M 上的元素映到它自身，上的元素映到它自身，I 是一个映射，是一个映射，例例5 5 任意一个在实数集任意一个在实数集R上的函数上的函数

6、yf(x) 都是实数集都是实数集R到自身的映射，到自身的映射，称称 I 为为 M 上的上的恒等映射（恒等映射（identity mapping）或或即，函数可以看成是映射的一个特殊情形即，函数可以看成是映射的一个特殊情形 单位映射单位映射 设映射设映射 ， :,:MMMM (a)(a) aM 即相继施行即相继施行和和的结果，的结果， 是是 M 到到 M 的一个的一个 映射映射 乘积乘积 定义为：定义为： 1. 对于任意映射对于任意映射 ，有，有 :MM MMII 2. 设映射设映射:,:,:MMMMMM ， 有有()(). 设映射设映射:MM （1）若）若ImM，即对于任意，即对于任意yM ，

7、均存在，均存在 （surjection）或称或称 为为映上（映上（onto）的的； xM ，使，使 ，则称，则称 是是M到到M 的一个的一个满射满射( )yx （3）若）若既是单射，又是满射，则称既是单射，又是满射，则称为为双射双射（bijection）, （或称（或称为为 1-1对应对应）.则称则称是是M到到M 的一个的一个单射（单射（injection）或称或称121212,()()a aMaaaa 若若则则（或（或），）， （2）若）若M中不同元素的象也不同，即中不同元素的象也不同，即 212121),()(,aaaaMaa则则若若 为为1-1（one to one）； 例例6 6 判断

8、下列映射的性质判断下列映射的性质（1）Ma，b，c、M 1,2，3：(a)1，(b)1，(c)2 （既不单射，也不是满射既不单射，也不是满射） ：(a)3，(b)2，(c)1（2）M=Z，M Z，：(n)|n|1,nZ （是满射，但不是单射是满射，但不是单射） （3）Mn nP，M P，（，（P为数域）为数域） ：(A)|A|，n nAP （是满射，但不是单射是满射，但不是单射） （双射双射）（4）MP，M ,n nP P为数域为数域, E为为n级单位矩阵级单位矩阵：(a)aE，aP （是单射，但不是满射是单射，但不是满射） ：(a)a0，aM （既不单射，也不是满射既不单射，也不是满射） （

9、6）MM Px，P为数域为数域：(f (x)f (x)，( ) f xP x（是满射，但不是单射是满射，但不是单射） （5）M、M 为任意非空集合，为固定元素为任意非空集合，为固定元素 0aM （7）M是一个集合，定义是一个集合，定义I：I(a)a，aM （8）M=Z，M 2Z，：(n)2n,nZ （双射双射） （双射双射） 设映射设映射:,MM 若有映射若有映射:,MM 使得使得,MMII 则称则称为为可逆映射（可逆映射（invertible mapping），为为的的的逆映射是由的逆映射是由唯一确定的唯一确定的记作记作1逆映射逆映射， 1. 若若为可逆映射，则为可逆映射，则1也为可逆映射，

10、且也为可逆映射，且 （1）12.2.:MM 为可逆映射，为可逆映射，aM ，若，若( ),aa .1aa 则有则有3. 3. 为可逆映射的充要条件是为可逆映射的充要条件是 为为1-1对应对应证：证：若映射若映射:MM为为1-1对应，则对对应，则对yM 均存在唯一的均存在唯一的x M，使，使(x)y，作对应作对应 :MM( ),( )yxxy这里( )( ( )( )( ),MxxyxIx 则即即MI ； ( )( ( )( )( ),MyyxyIy 则即即MI 为可逆映射为可逆映射 则则是一个是一个M 到到M的映射的映射, 且对且对 ,( ),xMxy 若,( ),yMxx 若若y y= =有

11、有 ( (y y) )= =11,( )( )yMyyy 对对有有即即, 1( ),( ).xyMyx 使使所以所以为满射为满射. 其次，对其次，对1212,()()x xMxx若，则，则 11111112( )( )( ( )( ( )MxIxxxx 即即为单射为单射.所以所以为为1-1对应对应1222()()MxIxx 反之，设反之，设 为可逆映射，则为可逆映射，则 : MM :,:fABg BChgf,令例例7 7 设映射设映射，证明：，证明：（1）如果）如果 h 是单射，那么是单射，那么 f 也是单射；也是单射；12()(),f af a但1112( )( )( ( )( ()h ag

12、f ag f ag f a这与这与h是单射矛盾，是单射矛盾， f 是单射是单射1212,a aAaa且证：证：若若 f 不是单射，则存在不是单射，则存在22()()gf ah a 于是有于是有（2）如果）如果 h 是满射，那么是满射，那么 g 也是满射；也是满射；证：证：,( )cCaAh ac 使 h 是满射，是满射，即，即( )( )( ( )ch agf ag f a( )f aB， g 是满射是满射又又1111()hgffg （3）如果）如果 f、g 都是双射，那么都是双射，那么 h 也是双射，并且也是双射，并且证：证： 因为因为 g 是满射，存在是满射，存在,使使cC bB( ).g bc又因为又因为 f 是满射，存在，使是满射，存在，使aA( )f ab( )( )( ( )( ),h agf ag f a