第三章 结构可靠度的近似计算

1、 主要内容主要内容n干涉面积法干涉面积法n二阶矩法二阶矩法nH-L法法 nR-F法法n吴氏法吴氏法n相关变量的独立变换相关变量的独立变换n多失效模式可靠度估算多失效模式可靠度估算n功能函数的多项式近似功能函数的多项式近似结构结构可靠度普遍表达式可靠度普遍表达式：dSdRRfSfSRPPsRsr0)()()(dZdSSfSZfdZZfZPPSRzr 000)()()()0(dZdSSfZSSfdZZfZPPSRzr)()()() 1(101 n应力和强度相关的情况应力和强度相关的情况 SRRSrdSdRRSfSRPP),()(,n应力和强度独立应力和强度独立 回顾回顾n应力强度均为应力强度均为正

2、态分布正态分布时结构可靠度时结构可靠度22SRSR)(2122 dxePxr22LnSLnRLnSLnRn应力强度均为对数应力强度均为对数正态分布正态分布时结构可靠度时结构可靠度)( rPn应力强度均为应力强度均为分布分布时结构可靠度时结构可靠度 ),(),(1/mnmnPaar 回顾回顾n截尾分布截尾分布的可靠度计算的可靠度计算)(xfxxfxfT1)()(TXdxxfx)(TXdxxfx)(TTXXdxxfx)(1左截尾分布：左截尾分布： 右截尾分布：右截尾分布： 两边截尾分布：两边截尾分布：dRSFRFRfdRdSSfRfSRPPTTTRTSSRSRRSTSRTRr)()()()1)(1

3、 (1)( )()(回顾回顾n应力粗糙度应力粗糙度回顾回顾1)/(1222SRSRSRSRSSRSRSRSRSSRSSRSRSVS) 1/()()(2222001)(RRdRRfadSSfaSS)(02结构失效率：结构失效率： dSdRRfSfPSRSf00)()(0000)()(SSRSdSdRRfSf21010)(aadSSfaSS结构可靠度：结构可靠度： 00)()(dRdSSfRfPRSRr0)(1)(dRdSSfRfRSR0)(1)(0dRdSSfRfSSR)1)(1 (21aa0)()1 ()()1 (202RRRdRRfadRRfa一、干涉面积法一、干涉面积法结构可靠度估计区间：

4、结构可靠度估计区间：rUrrLPaaPaaP21211)1)(1 (可靠度经验估算值：可靠度经验估算值：)1)(1 (1rLrUrPPP结构结构非失效保证度非失效保证度 211aar注意注意：干涉区面积不等于结构失效概率。：干涉区面积不等于结构失效概率。 失效概率估计区间：失效概率估计区间：212121aaaaPaaf一、干涉面积法一、干涉面积法n应力强度分布需已知应力强度分布需已知n基本变量函数的分布难以求解基本变量函数的分布难以求解n假设应力、强度均服从正态分布假设应力、强度均服从正态分布n应力、强度与基本随机变量的关系应力、强度与基本随机变量的关系-力学公式力学公式二、一次二阶矩法二、一

5、次二阶矩法（First Order Second Moment, FOSM）),(21myyyRR),(21nxxxSS),(2iixxiNx ),(2iiyyiNy 1. 应力和强度为基本变量应力和强度为基本变量线性函数线性函数nnxaxaxaS.2211mmyaybybR.2211njyjnixiniximjyjSRsRjiijbaab1221221122若各变量相互独立若各变量相互独立二、一次二阶矩法二、一次二阶矩法（First Order Second Moment, FOSM）)( rP2. 应力和强度为基本变量非线性函数应力和强度为基本变量非线性函数nixiixxxiixnxxSS

6、S1)(),(21 niyiiyyyiiynyyRRR1)(),(21 iyiixiyniixniixnxxynyyyRxSSR2122122121),(),( 若各变量相互独立若各变量相互独立泰勒级数展开（取一次项）：泰勒级数展开（取一次项）：二、一次二阶矩法二、一次二阶矩法（First Order Second Moment, FOSM）3. 功能函数为基本变量线性函数功能函数为基本变量线性函数 1201 1( ,.,)nnnZg x xxaa xa x01221niiiznziiiaaa各基本变量各基本变量相互独立相互独立时时 各基本变量各基本变量相关相关时时0122111,niiinn

7、niiijijijiijj iaaaa a 二、一次二阶矩法二、一次二阶矩法（First Order Second Moment, FOSM）4. 功能函数为基本变量非线性函数功能函数为基本变量非线性函数 泰勒级数展开（保留一次项）泰勒级数展开（保留一次项）12120( ,.,)(,.,)()innniiiigg x xxgxx 二、一次二阶矩法二、一次二阶矩法（First Order Second Moment, FOSM）nixinzzixgg12221),( 各基本变量各基本变量相互独立相互独立时时 5. FOSM特点特点 二、一次二阶矩法二、一次二阶矩法（First Order Sec

8、ond Moment, FOSM）n优点优点：以变量一阶矩（均值）和二阶矩（方差）：以变量一阶矩（均值）和二阶矩（方差）为概率特征进行求解。为概率特征进行求解。n缺点缺点：略去了泰勒级数中高阶项，对非线性程度：略去了泰勒级数中高阶项，对非线性程度高的功能函数将产生较大的误差，且对同一问题高的功能函数将产生较大的误差，且对同一问题采用不同功能函数，得出不同结果。采用不同功能函数，得出不同结果。n应用：精度要求不高时，尽量选择线性化程度好应用：精度要求不高时，尽量选择线性化程度好的功能函数。的功能函数。三、三、H-L法（改进一次二阶矩法法（改进一次二阶矩法AFOSM）nHasofer-Lind法，

9、简称法，简称H-L法法1. 二变量线性功能函数（正态）二变量线性功能函数（正态） 0),(SRRSgZSSSx RRRy 0),(SSRRxySRRSg 标标准准化化变变换换三、三、H-L法（改进一次二阶矩法法（改进一次二阶矩法AFOSM）0),(SSRRxySRRSg 0222222SRSRSRSSRRxy 0coscos RSyx可靠性指数的几何意义：可靠性指数的几何意义：标准正态坐标系中，坐标原点至极限状态方程的最短距离。RSRRRSSRsS coscos2222令三、三、H-L法（改进一次二阶矩法法（改进一次二阶矩法AFOSM）0coscos RSyx验算点验算点P*： RRSSyxc

10、os*cos*三、三、H-L法（改进一次二阶矩法法（改进一次二阶矩法AFOSM）2. 多维线性变量的功能函数（正态）多维线性变量的功能函数（正态） 0),(0121axaxxxgZniiiniiiixy 标准化标准化变换变换假设各变量相互独立假设各变量相互独立001ayaZniiiii 三、三、H-L法（改进一次二阶矩法法（改进一次二阶矩法AFOSM）001ayaZniiiii 2/11221012/1122niiiniiiniiniiiiiaaayaa iniiiiiiaa cos2/11222/112210niiiniiiaaa niiiy1可靠性指数的几何意义：可靠性指数的几何意义：标准

11、正态坐标系中，坐标原点至失效超平面的最短距离。三、三、H-L法（改进一次二阶矩法法（改进一次二阶矩法AFOSM）验算点验算点P*： iiiycos*iniiiiiiaa cos2/11222/112210niiiniiiaaa 三、三、H-L法（改进一次二阶矩法法（改进一次二阶矩法AFOSM）3. 多维非线性变量的功能函数（多维非线性变量的功能函数（H-L法）法） 0),(21nxxxgZ假设各变量相互独立假设各变量相互独立若已知验算点若已知验算点),(*2*1nyyyP在验算点处泰勒展开（保留一次项）在验算点处泰勒展开（保留一次项）),(*2*1nxxxPiiiixy *niiiPinnxx

12、xgxxxgxxxg1*2*121)(),(),(三、三、H-L法（改进一次二阶矩法法（改进一次二阶矩法AFOSM）验算点在极限状态曲面上验算点在极限状态曲面上0)(),(),(1*2*121niiiPinnxxxgxxxgxxxg01*1*niiPiniiPixxgxxginiiPiiPiixgxg cos2/1122*2/1122*1*niiPiniiiPixgxxg 三、三、H-L法（改进一次二阶矩法法（改进一次二阶矩法AFOSM）验算点未知，求解步骤：验算点未知，求解步骤：iniiPiiPiixgxg cos2/1122*2/1122*1*niiPiniiiPixgxxg 1）假设验算

13、点）假设验算点 初值，可取均值初值，可取均值*ixi 2）根据下式，由验算点计算）根据下式，由验算点计算3）计算可靠性指标）计算可靠性指标三、三、H-L法（改进一次二阶矩法法（改进一次二阶矩法AFOSM）验算点未知，求解步骤：验算点未知，求解步骤：iniiPiiPiixgxg cos2/1122* iiiix*4）计算新的验算点）计算新的验算点5）重复以上步骤，直到精度满足要求。）重复以上步骤，直到精度满足要求。三、三、H-L法（改进一次二阶矩法法（改进一次二阶矩法AFOSM）4. H-L法的优化计算模型法的优化计算模型)( rP可靠性指标可靠性指标定义：在标准正态坐标系中从坐标定义：在标准正

14、态坐标系中从坐标原点到失效面的最短距离。原点到失效面的最短距离。0),(. . min2112/112nniiyyygt sy 三、三、H-L法（改进一次二阶矩法法（改进一次二阶矩法AFOSM）Lagrange乘子法乘子法),(212/112nniiyyygyL 0),(, 2 , 1021112/112niniiiiyyygLniygyyyL ),(*2*1nyyyP2/112*niiy 0),(. . min2112/112nniiyyygt sy 设计验算点法设计验算点法四、四、R-F法（法（Rackwitz-Fiessler法）法）H-L法：基本变量服从正态分布法：基本变量服从正态分布

15、含有非正态分布的基本变量怎么办？含有非正态分布的基本变量怎么办？当量正态化处理：非正态当量正态化处理：非正态x等价正态等价正态x当量正态处理原则：在某一特定点（验算点）处满当量正态处理原则：在某一特定点（验算点）处满足条件：足条件：）2（ 1)(）1（ )( * xxxfxxFxx）)(*1*（4 )(xf)(xF（3） *ii*ii1iiiiiixFx四、四、R-F法（法（Rackwitz-Fiessler法）法）四、四、R-F法（法（Rackwitz-Fiessler法）法）验算点未知，求解步骤：验算点未知，求解步骤：1）假设验算点）假设验算点 初值，可取均值初值，可取均值*ixi 2）当

16、量正态化处理）当量正态化处理3）调用）调用H-L法，更新验算点法，更新验算点4）重复以上步骤，直到精度满足要求。）重复以上步骤，直到精度满足要求。国际安全度联合委员会（国际安全度联合委员会（JCSSJCSS）推荐方法）推荐方法-JC-JC法法五、吴氏（五、吴氏（Wu）法）法nH-L法、法、R-F法特点法特点n优点优点：简单，任何分布均能处理。：简单，任何分布均能处理。n缺点缺点：误差较大，且无法预测：误差较大，且无法预测 使原问题状态空间发生变化（在验算点处将极使原问题状态空间发生变化（在验算点处将极限状态方程线性化）限状态方程线性化） 当量正态化处理。当量正态化处理。n吴氏（吴氏（Wu）法）

17、法 假设线性功能函数中某一非正态变量假设线性功能函数中某一非正态变量 ，已，已知其分布函数为知其分布函数为 ，为了确定，为了确定 的等价正态分的等价正态分布变量，用一个函数布变量，用一个函数 近似地与近似地与 拟合，拟合，由最小二乘优化可以解决这一问题：由最小二乘优化可以解决这一问题：kx( )xF xx( )H x( )xF x2min( )( )( )( )xEH x W xF x W xdx服从约束条件服从约束条件0( , )0kg x yaa xy( )W x( )H x其中，其中，E E称为拟合误差，称为拟合误差，称为加权函数，称为加权函数，三参数正态分布的累积分布函数，该函数可由如

18、下确定。三参数正态分布的累积分布函数，该函数可由如下确定。是具有是具有( )( )kxkxF xH xA五、吴氏（五、吴氏（Wu）法）法二、结构可靠度的近似计算二、结构可靠度的近似计算 上式中，上式中， 为三个待定参数。如果和已为三个待定参数。如果和已经确定了的话，可以容易地确定可靠性指标经确定了的话，可以容易地确定可靠性指标kkA，02222niikkikniikkikaaaaa 则结构的则结构的失效概率失效概率为为()fPA 对对非线性功能函数非线性功能函数，用，用泰勒级数法泰勒级数法将其将其线性化线性化，为，为提高精度可取级数的提高精度可取级数的二次项二次项或更或更高次项高次项。 二、结

19、构可靠度的近似计算二、结构可靠度的近似计算n相关变量的独立变换相关变量的独立变换 在用在用H-L法法、R-F法和法和Wu法计算结构可靠性法计算结构可靠性指标指标时，均假设各基本变量相互独立。但是时，均假设各基本变量相互独立。但是在实际应用中，各基本变量往往是相关的，并在实际应用中，各基本变量往往是相关的，并且这种相关有时对可靠性指标且这种相关有时对可靠性指标会产生显著影会产生显著影响。因此，对彼此相关的变量，首先需要将它响。因此，对彼此相关的变量，首先需要将它们变换为互不相关的变量，再运用上述方法求们变换为互不相关的变量，再运用上述方法求出结构的可靠性指标和失效概率。出结构的可靠性指标和失效概

20、率。 二、结构可靠度的近似计算二、结构可靠度的近似计算n蒙特卡洛法蒙特卡洛法计算结构可靠度计算结构可靠度 蒙特卡洛法的蒙特卡洛法的理论依据理论依据：大数定理大数定理（收敛性）（收敛性） 基本基本思路思路：按照基本变量的密度函数进行抽样，：按照基本变量的密度函数进行抽样，将多次试验中落入失效域的点数将多次试验中落入失效域的点数 与总投点数与总投点数 之比之比 作为失效概率的无偏估计值作为失效概率的无偏估计值 。 11lim0niniPxnlim( )1nmPP AnfNNfPfP二、结构可靠度的近似计算二、结构可靠度的近似计算 伪随机数产生方法伪随机数产生方法：取中法、加同余法、乘同：取中法、加

21、同余法、乘同余法、混合同余法余法、混合同余法 乘同余法：乘同余法： 在在（0,1）区间上均匀分布随机数的算式为区间上均匀分布随机数的算式为 1()(mod)iixaxcmmcaxtkiilniiimkcaxx111iixrm标准化标准化的随机数：的随机数： 建议：建议： 721a 1c 352m 假设总循环次数为假设总循环次数为K次，得到次，得到 的次数的次数为为m次，只要次，只要K足够大，便可得出结构失效概率的估计值足够大，便可得出结构失效概率的估计值二、结构可靠度的近似计算二、结构可靠度的近似计算n结构失效概率的计算结构失效概率的计算 在得到在得到（0,1）区间上均匀分布的随机数序列区间上

22、均匀分布的随机数序列 后，可后，可用来产生任意分布的随机数。设相互独立的基本变量分用来产生任意分布的随机数。设相互独立的基本变量分别有分布函数别有分布函数 ， ， ，因为，因为 为为0,1区区间上的一个数，可以将其与产生的随机数相对应，即间上的一个数，可以将其与产生的随机数相对应，即令令 ，这样便可得到，这样便可得到 。对于每个。对于每个 的值，的值，可以得到一组对应的基本变量的值可以得到一组对应的基本变量的值 。将这组值代。将这组值代入功能函数入功能函数 ，便可得到功能函数的一个取值。，便可得到功能函数的一个取值。将该值与将该值与0比较，若小于比较，若小于0，则在计算机程序中计入一次，则在计

23、算机程序中计入一次功能函数的实现；若大于功能函数的实现；若大于0，则不计入。这样就完成了一，则不计入。这样就完成了一次预定的计算，再对另一组随机数重复进行这些计算，次预定的计算，再对另一组随机数重复进行这些计算，直到完成预定的循环步骤。直到完成预定的循环步骤。ir11()xFx22()xFx()nxnFx()ixiFx( )ixijFxr1( )iixjxFrjr12,nx xx12( ,)ng x xx12( ,)0nZg x xxfmPK二、结构可靠度的近似计算二、结构可靠度的近似计算n近似方法近似方法优缺点比较优缺点比较： 1. 精确方法：精确方法： 优点优点：可以通过积分得到精确值。：

24、可以通过积分得到精确值。 缺点缺点：无法准确地求出它们的分布形式，而且积：无法准确地求出它们的分布形式，而且积分困难（多维）。分困难（多维）。 2. 一次二阶矩法：一次二阶矩法： 优点优点：可以方便地以变量的一阶矩（均值）和二：可以方便地以变量的一阶矩（均值）和二阶矩（方差）为概率特征进行求解。阶矩（方差）为概率特征进行求解。 缺点缺点：略去了泰勒级数中的高阶项，对非线性程：略去了泰勒级数中的高阶项，对非线性程度高的功能函数将产生较大的误差，且对同一问度高的功能函数将产生较大的误差，且对同一问题采用不同的功能函数，将得出不同的结果。题采用不同的功能函数，将得出不同的结果。二、结构可靠度的近似计

25、算二、结构可靠度的近似计算 3. H-L法：法： 优点优点：针对一次二阶矩的问题，：针对一次二阶矩的问题，Hasofer和和Lind建建议采议采 用失效面取代安全裕量函数确定可靠度指标。用失效面取代安全裕量函数确定可靠度指标。 缺点缺点：H-L法仅适用于基本变量为正态分布的情况。法仅适用于基本变量为正态分布的情况。4. R-F法：法： 优点优点：对于非正态变量的情况，：对于非正态变量的情况，Rackwitz和和Fiessler提出了一种等价正态变量法。提出了一种等价正态变量法。 缺点缺点：极限状态方程在验算点处展开成泰勒级数，：极限状态方程在验算点处展开成泰勒级数，使其线性化，意味着用一个过设

26、计点的平面代替复使其线性化，意味着用一个过设计点的平面代替复杂的空间曲面，会带来显著的计算误差；再者非正杂的空间曲面，会带来显著的计算误差；再者非正态变量的等价正态化也使计算带来误差。态变量的等价正态化也使计算带来误差。二、结构可靠度的近似计算二、结构可靠度的近似计算5. 吴氏法：吴氏法： 针对上述问题，针对上述问题，Chen和和Lind提出三参数正态尾部提出三参数正态尾部近似法和近似法和Wu等人提出最优化算法对等人提出最优化算法对R-F进行了改进。进行了改进。6. 蒙特卡洛法：蒙特卡洛法： 优点优点：Monte-Carlo法不受结构功能函数非线性的法不受结构功能函数非线性的影响，它可以通过多

27、次模拟试验得到相当精确的结影响，它可以通过多次模拟试验得到相当精确的结果，在目前结构可靠度计算中，它被认为是一种相果，在目前结构可靠度计算中，它被认为是一种相对精确法。对精确法。 缺点缺点：计算工作量非常大，需要预先知道分布情况。：计算工作量非常大，需要预先知道分布情况。三、其他计算三、其他计算 n多失效模式多失效模式的可靠度计算的可靠度计算 前面我们阐述的结构可靠度计算只考虑了构前面我们阐述的结构可靠度计算只考虑了构件的一种失效模式，即一种极限状态，而事实件的一种失效模式，即一种极限状态，而事实上一个构件存在多种失效模式，或者说是多种上一个构件存在多种失效模式，或者说是多种极限状态。极限状态。 对于这类问题，其求解思路是列出不同的极对于这类问题，其求解思路是列出不同的极限状态方程，然后求解出最小的可靠度指标。限状态方程，然后求解出最小的可靠度指标。三、其他计算三、其他计算n功能函数的多项式近似功