通信原理中的傅里叶级数学习教案

1、会计学1通信通信(tng xn)原理中的傅里叶级数原理中的傅里叶级数第一页，共30页。简单(jindn)的周期运动 :)sin(tAy(谐波(xi b)函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk为角频率,为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.第1页/共29页第二页，共30页。xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理(dngl) 1. 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系,1,cos x,si

2、nx,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx证证:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的积分(jfn)等于 0 .即其中(qzhng)任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk 第2页/共29页第三页，共30页。上的积分(jfn)不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函数(snjihnsh)

3、系中两个相同的函数的乘积在 第3页/共29页第四页，共30页。二、函数二、函数(hnsh)展开成傅里展开成傅里叶级数叶级数定理定理 2 . 设设 f (x) 是周期是周期(zhuq)为为 2 的周期的周期(zhuq)函数函数 , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数(j sh)可逐项积分, 则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn证证: 由定理条件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf0a,对在逐项积分, 得第4页/共29页第五页，共30页。xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxx

4、nxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用(lyng)正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10类似(li s)地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得第5页/共29页第六页，共30页。叶系数为系数的三角级数(j sh) 称为的傅里叶系数(xsh) ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式(gngsh) 确定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里里的傅傅里里叶级数叶级数

5、.称为函数)(xf 第6页/共29页第七页，共30页。定理定理3 (收敛收敛(shulin)定理定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期(zhuq)为2的周期函数(zhu q hn sh),并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里里叶级数收敛 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点注意注意: 函数展成傅里里叶级数的条件比展成幂

6、级数的条件低得多.第7页/共29页第八页，共30页。例例1. 设 f (x) 是周期(zhuq)为 2 的周期(zhuq)函数 , 它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅里叶系数先求傅里叶系数(xsh)xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成(zhn chn)傅里叶级数. oyx11第8页/共29页第九页，共30页。xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfs

7、in 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx第9页/共29页第十页，共30页。),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根据收敛(shulin)定理可知,时,级数(j sh)收敛于02112) 傅氏级数(j sh)的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11说明说明:), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图.第10页/共29页第十一页，共30页。xoy例例2.上的表达式为),xxxxf0,00,)(将 f (x) 展成(zhn chn)傅里叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(1

8、0d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设 f (x) 是周期(zhuq)为 2 的周期(zhuq)函数 , 它在 第11页/共29页第十二页，共30页。), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx23231x4sin41 5sin 5cos xx252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明(shumng): 当当) 12(kx时, 级数(j sh)收敛于22)(0第

9、12页/共29页第十三页，共30页。, )(xxf周期(zhuq)延拓)(xF傅里叶展开(zhn ki),)(在xf上的傅里叶级数(j sh)定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法), , )(xxf, )2(kxf其它第13页/共29页第十四页，共30页。例例3. 将函数将函数(hnsh)xxxxxf0, 0,)(级数(j sh) .oyx则xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 将 f (x)延拓成以 展成(zhn chn)傅

10、里叶2为周期的函数 F(x) , 第14页/共29页第十五页，共30页。x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x利用此展式可求出几个特殊(tsh)的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n说明说明(shumng):第15页/共29页第十六页，共30页。42,421312242设,413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又21213624822

11、212248222第16页/共29页第十七页，共30页。三、正弦级数三、正弦级数(j sh)和余弦和余弦级数级数(j sh)1. 周期(zhuq)为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期对周期(zhuq)为为 2 的奇函数的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里里叶级数为余弦级数 ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里里叶系数为正弦级数,它的傅里里叶系数为第17页/共29页第十八页，共30页。例例4. 设的表

12、达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成(zhn chn)傅里叶级数.是周期(zhuq)为2 的周期(zhuq)函数,它在上),)(xf解解: 若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期(zhuq)为 2 的奇函数, yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nn第18页/共29页第十九页，共30页。n1根据收敛(shulin)定理可得 f (x) 的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,)

13、12(kkxyxo级数(j sh)的部分和 n2n3n4上在),逼近(bjn) f (x) 的情况见右图.n5第19页/共29页第二十页，共30页。例例5. 将周期函数将周期函数(zhu q hn sh)tEtusin)(展成(zhn chn)傅里叶级数, 其中E 为正常(zhngchng)数 .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期为2 的周期偶函数 , 因此0d)(2ttu第20页/共29页第二十一页，共30页。t 2cos310d) 1sin(

14、) 1sin(ttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos141412第21页/共29页第二十二页，共30页。2. 在0,上的函数展成正弦级数(j sh)与余弦级数(j sh),0),(xxf)(xF周期(zhuq)延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期(zhuq)延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf第2

15、2页/共29页第二十三页，共30页。1xyo例例6. 将函数将函数(hnsh)0(1)(xxxf分别(fnbi)展成正弦级数与余弦(yxin)级数 . 解解: 先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k,1k第23页/共29页第二十四页，共30页。nb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意(zh y):在端点(dun din) x

16、 = 0, , 级数的和为0 ,与给定(i dn)函数1xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 第24页/共29页第二十五页，共30页。再求余弦(yxin)级数.x1y将)(xf则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期(zhuq)延拓 ,第25页/共29页第二十六页，共30页。121xxcosx3cos312)0( xx5cos512说明说明(shumng): 令令 x = 0 可得可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(1yox第26页/共29页第二十七页，共30页。第27页/共29页第二十八页，共30页。 作业作业(zuy)：p-315习题