专题复习“隐形圆”问题

1、学习必备 欢迎下载 “隐形圆”问题 江苏省通州高级中学 一、 问题概述 江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息， 而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题. 二、 求解策略 如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下策略. 策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆 例 1 (1)如果圆(x 2a)2 + (y a 3)2= 4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取 值范围是 . 6 a ；：: 0 略解：

2、到原点的距离为 圆相交求解. 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆， 转化到此单位圆与已知 (2) (2016 年南京二模)已知圆 O: x2 + y2= 1，圆 M : (x a)2+ (y a + 4)2= 1 .若圆 M 上 存在点 P,过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A, B,使得/ APB = 60；贝 U a 的取值范 围为 _ . 解：由题意得OP二2，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共 点，因此有 2 1 OM 2 +1 二 K a2 + (a - 4)2 9 n 2 - 2 2 是圆 C1 : x2 +y2 =1 上的动点，AB=戸；

3、P 是圆 PA PB =2PM，转化为两圆上动点的距离的最值. 略解：直线 I的方程为：(X-1)COSG + (y- 73 )sino(= 4； M(1,再)到 I距离为 4,所以 I是 (3)( 2017 年苏北四市一模)已知 A B C2： (x - 3)2 (y -4)2 =1 上的动点，则 PA - PB的取值范围是 .7,13 略解：取 AB 的中点 M，则 C1M=丄； 2 所以 M 在以 C1圆心，半径为 -的圆上，且 2 (4)若对任意二 WR，直线 I: xcos_：ysin_：匚=2sin(一:) + 4 与圆 C: (x m)2 + (y 3m)2 =1 均无公共点，则

4、实数 m 的取值范围是 学习必备 欢迎下载 以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 内含.学习必备 欢迎下载 、 $ 、 2 2 2 注：直线 I: (x-xo)cos、f+ (y- yo)si n、= R 为圆 M： (x x0) - (x -y0) =R 的切线系. 例 2 （2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B , C 为圆 x2 y 点 A（1, 1）,且 AB 丄 AC,则线段 BC 的长的取值范围为 解：法一（标解）：设BC的中点为M x,y , 因为 OB2 =OM 2 BM 2 =OM 2 AM 2 2 2 2 2 所以 4

5、=x y 亠x -1 亠y -1 , 一 ：6 _ 2 圆，所以AM的取值范围是 以BC的取值范围是碍逅,后佢. 法二：以 AB、AC 为邻边作矩形 BACN ,则 BC = AN ,由矩形的几何性质（矩形所在 平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方 和相等)，有 OB2 PC2 =OA2亠 ON 2 ,所以 ON = 6 , 故 N 在以 O 为圆心，半径为.6的圆上，所以BC的取值范围是 变式 1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P （1, 2） , M、N 为圆 O 上两个不同的点，且 PM PN 二 0 ,若P 最小值为 变式 2 已知圆

6、C1 : x 2 y2二 9 ,圆C2 : x2 y2二 4 ,定点 P（1 0）,动点A, B分别在圆 G 和圆 C2上，满足.APB 二 90 , f 2 2 1 f 1 I 3 x y - =I 2 2 2 化简得 =4 上两点， 所以点M的轨迹是以 1 为半径的 2 y2 =16，点 + PN，贝 U PQ 的 学习必备 欢迎下载 则线段AB的取值范围 变式 3 已知向量 a、b、c 满足 a = 3, b = 2, c =1,(a c) (b c) = 0 ,贝 V a b 范围.2 3 -1, 2,3 1 学习必备 欢迎下载 策略二 动点 P 对两定点 A、B 张角是 90 ( k

7、PA .kpB - -1，或 PA PB = 0)确定隐形圆 (x 一 3)2 (y 一 4)2 =1 和两点 A(_m, 0) , B(m, 0), (2)(海安 2016 届高三上期末)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (- 1, 0), Q(2 , 1)，直线 I: ax by c 二 0 其中实数 a, b, c 成等差数列，若点 P 在直线 I上 y3沪 解：由题意，圆心 C(1, 2)在直线 ax+ by+ c= 0 上，可得 a 2b+ c= 0,即 c= 2b a. 直线 I: (2a b)x+ (2b c)y+ (2c a) = 0,即卩 a(2x+ y 3) + b

8、(4 x)= 0, 2x y - 3 = 0, 由 ，可得 x= 4, y = 5，即直线过定点 M(4, 5), 4 -X 二 0 由题意，H 在以 PM 为直径的圆上，圆心为 A(5, 2)，方程为(x 5)2+ (y 2)2= 50, |CA|= 4 2-, CH 最小为 5 2 4 2- = 2 , CH 最大为 4 2- + 5 2 = 9 2 , 线段 CH 长度的取值范围是, 9戸. (3)(通州区 2017 届高三下开学初检测)设 m R ,直线 li : x my 二 0 与直线 I2 : mx -y - 2m - 4 二 0 交于点 P(x), y)，则 x。 y 2x0

9、的取值范围 .12 - 4 肿 12 + 4 皿 略解：11过定点 0(0, 0), I2过定点 A(2, -4),则 P 在以 OA 为直径的圆上(除去一点)， 变式(2017 年南京二模)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1 仁 kx y+ 2= 0 与 直线 12： x+ ky 2 = 0 相交于点 P,则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x y 4= 0 的距 离的最大值为 策略三两定点 A、B,动点 P 满足 PAPB = 确定隐形圆 例 4 (1) (2017 年南通密卷 3)已知点 A(2, 3)，点 B(6 3),点 P 在直线 3x -4y + 3 = 0 上, 若满足等

10、式 AP BP - 2 怎=0 的点 P 有两个，则实数的取值范围是 _ . 则 AP = (x -2, y - 3) , BP 二(x - 6, y 3), 根据 AP BP 2 =0，有 x -4 彳 y2 =13 一2，；”！3 .由题意例 3 (1)( 2014 年北京卷)已知圆 C: 若圆上存在点 P,使得.APB = 90 , 则 m 的 4,6 略解：由已知以 AB为直径的圆与圆 C有公共点. 的射影为 H，则线段 QH 的取值范围是 解：设 P (x, y). 学习必备 欢迎下载 圆： (x4) +y =132 人-圆与直线 3x_4y+3 = 0 相交， 圆心到直线的距离 d

11、3 4 4小十3 3 V13=2Q，所以人 v 2 . 43T44 v (2)( 2016 年盐城三模)已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CA CB= ( 为常数)， 且点 C 总不在以点 B 为圆心，丄为半径的圆内，贝颁数的最大值是 2 略解：动点 C 满足方程 X2 y2 - 1. 策略四 两定点 A、B，动点 P 满足 PA2 - PB2是定值确定隐形圆 例 5 (1)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C: (x a)2+ (y a+ 2)2= 1,点 A(0, 2)，若 圆 C 上存在点 M，满足 MA2+ MO2= 10,则实数 a 的取值范围是 _ . 0, 3 2

12、2 略解：M 满足的方程为 X (y -1) = 4，转化为两圆有公共点 (2)( 2017 年南京、盐城一模)在 ABC中，A, B, C 所对的边分别为 a,b,c，若 a2 b2 - 2c2 = 8，则ABC面积的最大值为 _ . 兰 5 解：以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x轴，建系. 设 A(一二 0), B(二 0) , C(x, y)，则由 a2 b2 2 二 8 2 2 得(x - c)2 y2 (x C) y2 2c2 = 8，即 x2 y2 = 4 5c2 , 2 2 4 L w 2 V5 (4 c ) -c w - 4 4 5 策略五 两定点 A、B,动点 P

13、满足 EAn. 0, 1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆) PB 例 6 (1) 略解：点 P 满足圆的方程为 x2 y2 =4，转化到直线与圆相交. (2)( 2016 届常州一模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O: x2 + y2= 1, O1： (x 4)2+ y2= 4，动点 P 在直线 x .3y-b 二 0 上，过点 P 作圆 O, O1的两条切线,c, 5 2 1 2 宀 4 八 5 所以点 C 在此圆上，Sw c r 2 学习必备 欢迎下载 切点分别为 A, B,若满足 PB = 2PA 的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值范围 20 I ,4 3 例 7 (2017 年南

14、通二模)一缉私艇巡航至距领海边界线 I (一条南北方向的直线)3.8 海里的 A 处，发现在其北偏东 30方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追 击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍假设缉私艇和走私船均按直线方 向以最大航速航行. (1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截 成功；(参考数据：sin17 & 甞,J33 5.7446 ) (2 )问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由. 北 I + 领海公海 I I 解:(1)略 (例 7) (2)如图乙，以 A 为原点，正北方向所在的直线

15、为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy . 则 B(2 ,2疵)，设缉私艇在 P(x , y)处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私 船相遇，则阶3，即 2 : 厂3. J( x- 2) +(y- 2)/3) 2 2 整理得，x -9 y -9、3 弓, 4 4 4 所以点 P(x , y)的轨迹是以点(%, 9梟)为圆心, 为半径的圆. ,9忑岡领海边界线I : x = 3.8的距离为 所以缉私艇能在领海内截住走私 船.策略六 由圆周角的性质确定隐形 例 8 (1)已知 a,b, c 分别为 ABC的三个内角A, B, C的对边，a = 2 , (a+b)(sinA-sinB)=(c-b)si

16、nC 贝 U -ABC 面积的最大值为x2 y2 因为圆心 学习必备 欢迎下载 略解：cos/ A= 1，/ A= 60,设ABC的外接圆的圆心为 O,外接圆的半径为 2_3，则 2 3 O 到 BC 的距离为卫3，则边 BC 上的高 h的最大值为 邑+ 2_3= J3，则面积的最大值 3 3 3 v (2)(2017 年常州一模)在厶 ABC 中，/ C= 45 , O 是厶 ABC 的外心，若 OC_ = mOA + nOB_(m, n R),贝 U m+ n的取值范围是 _ . -2,1) 略解： / AOB = 2/ C= 90。，点 C 在以 O 为圆心，半径 OA 的圆上(在优弧

17、AB 上). 三、同步练习 1 .已知直线 l : x -2y m = 0 上存在点 M 满足与两点 A(-2, 0) , B(2, 0)连线的斜率之积为 -1 , 则实数 m 的取值范围是 _ /J5,2的 2 2 (2016 年无锡一模)已知圆 C : (x- 2) y 二 4，线段 EF 在直线 I : y =x 1 上运动，点 P 为线段 EF 上任意一点，若圆 C 上存在两点 A、B,使得 PA_ PB 0) , B(t ,0)，点 C满足 AC* .BC= 8 , 且点 C 到直线 I: 3x - 4y 24 = 0 的最小距离为9，则实数 t 的值是 .1 5 - 10. ( 2

18、013 年江苏卷第 17 题改编)在平面直角坐标系 xOy中，已知点 0(0, 0) , A(0, 2. (2016 年泰州一模)已知实数 a, b, c 满足 a2 b2 =c2 , c - 0，则 b 的取值范围 a 2c 3. -乜,辽 3 3 已知 v,t ：= R ,则(COST -t - 2)2 - (sinr -t - 2)2 的取值范围是 2 2 .2 .2 1, 2 _2 1 4. 已知圆 C :(x - 3) (y - 4) =1 和两点 A(-m, 0), B(m, 0) (m 0).若圆 C 上存在点 P,使 得 PA PB =1 ,则 m 的取值范围是 7. 学习必备 欢迎下载 3)如果 圆 C :(x_a)2 ( y 2a - 4)2 =1 上总存在点 M 使得 MA 二 2MO ,则圆心C的横坐标a的 取值范围是