江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何96双曲线课件理

1、9.6双曲线基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习基础知识自主学习1.双曲线定义双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的 等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做 ，两焦点间的距离叫做 .集合PM|MF1MF2|2a，F1F22c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当 时，P点的轨迹是双曲线；(2)当 时，P点的轨迹是两条射线；(3)当 时，P点不存在.知识梳理距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距2aF1F22.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质标准方程(a0，b0)(a0，b0)图形性质范围_对称性对称轴： 对

2、称中心：_顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线_离心率e ，e_，其中c_xa或xa，yRxR，ya或ya坐标轴原点(1，)性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2 ；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2 ；a叫做双曲线的 ，b叫做双曲线的_a、b、c的关系c2 (ca0，cb0)2a2b实半轴长虚半轴长a2b2知识拓展知识拓展巧设双曲线方程(1)与双曲线 1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为 t(t0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为 1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程 (m0，n0，0)的渐近线方程

3、是 0，即 0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .()(5)若双曲线 1(a0，b0)与 1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则 1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).()考点自测1.(教材改编)若双曲线 1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_.答案解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.2.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，AB ，则C的实轴长为_.答案解析4由题设C： 1.抛物线y216x的准线为x4，a2，2a4.C的实轴长为4.3.(2016无锡一模)已知焦点在x轴上的

4、双曲线的渐近线方程为y ，那么双曲线的离心率为_.答案解析根据题意，设双曲线的方程为 1，即双曲线的离心率为 .4.(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线 1的焦距是_.答案解析由已知，a27，b23，则c27310，故焦距为2c .5.双曲线 y21的顶点到其渐近线的距离等于_.答案解析双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，一条渐近线方程是y ，即x2y0，则顶点到渐近线的距离题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型一双曲线的定义及标准方程题型一双曲线的定义及标准方程命题点命题点1利用定义求轨迹方程利用定义求轨迹方程例例1已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与

5、圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.答案解析x2 1(x1)几何画板展示如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得MC1AC1MA，MC2BC2MB，因为MAMB，所以MC1AC1MC2BC2，即MC2MC1BC2AC12，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C26.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x2 1(x1).命题点命题点2利用待定系数法求双曲线方程利用待定系数法求双曲线方程例例2根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为

6、12，离心率为 ；解答设双曲线的标准方程为由题意知，2b12，e .b6，c10，a8.双曲线的标准方程为(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；解答双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为设双曲线方程为mx2ny21(mn0).(3)经过两点P(3, )和Q( ，7).解答双曲线的标准方程为命题点命题点3利用定义解决焦点三角形问题利用定义解决焦点三角形问题例例3已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左，右焦点，点P在C上，PF12PF2，则cosF1PF2_.答案解析由双曲线的定义有PF

7、1PF2PF22a ，PF12PF2 ，几何画板展示引申探究引申探究1.本例中，若将条件“PF12PF2”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？解答不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1PF22a ，在F1PF2中，由余弦定理，得所以PF1PF28，所以12F PFS2.本例中，若将条件“PF12PF2”改为“ 0”，则F1PF2的面积是多少？解答不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1PF22a ，所以12F PFS(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1PF2|2

8、a，运用平方的方法，建立与PF1PF2的联系.(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为 (0)，再由条件求出的值即可.思维升华跟踪训练跟踪训练1(1)已知F1，F2为双曲线 1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则APAF2的最小值为_.由题意知，APAF2APAF12a，要求APAF2的最小值，只需求APAF1的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，APAF2的最小值为APAF12a

9、 .答案解析几何画板展示(2)设F1，F2分别为双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得PF1PF23b，PF1PF2 ，则该双曲线的离心率为_.答案解析不妨设P为双曲线右支上一点，PF1r1，PF2r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，故题型二双曲线的几何性质题型二双曲线的几何性质例例4(1)(2016盐城三模)若圆x2y2r2过双曲线 1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为_.答案解析2若四边形OAFB为菱形，且点A在圆x2y2r2上，则点A坐标为( )，此时rc.又点A在渐近线上

10、，所以 ，(2)(2015山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1： 1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_.答案解析由题意，不妨设直线OA的方程为y ，直线OB的方程为y .设抛物线C2的焦点为F，则 ，OAB的垂心为F，AFOB，kAFkOB1，设C1的离心率为e，则双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线(a0，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k 满足关系式e21k2.思维升华跟踪训练跟踪训练2(2016全国甲卷改编)已知F1，F2是双曲线E： 1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴

11、垂直，sinMF2F1 ，则E的离心率为_.答案解析离心率e ，由正弦定理得题型三直线与双曲线的综合问题题型三直线与双曲线的综合问题例例5(2016苏州模拟)已知椭圆C1的方程为 y21，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点.(1)求双曲线C2的方程；解答设双曲线C2的方程为 1(a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程为 y21.(2)若直线l：ykx 与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围.解答将ykx 代入 y21，得(13k2)x2 90.由直线l与双曲线C2有两个

12、不同的交点，得k2 且k22，得x1x2y1y22，解得 k23，由得 k21.故k的取值范围为 .(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定.(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.思维升华跟踪训练跟踪训练3在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C： 1.设过点M(0,1)的直线l与双曲线C交于A，B两点若 ，则直线l的斜率为_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程联立解得所

13、以A(4,3)，B(2,0)或A(4,3)，B(2,0)，即直线l的斜率为 .典例典例已知双曲线x2 1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？直线与圆锥曲线的交点现场纠错现场纠错系列系列10(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件.(2)“判别式0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.错解展示现场纠错纠错心得返回解解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意.设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.得(2k2)x22k(1k)

14、x(1k)220(2k20).由题意，得 1，解得k2.当k2时，方程可化为2x24x30.162480，b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为_.答案解析依题意解得双曲线C的方程为 1.12345678910111213142.(2016全国乙卷改编)已知方程 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是_.答案解析方程 1表示双曲线，(1,3)(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直

15、于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_.答案解析由题意易知点F的坐标为(c,0)，A(c， )，B(c， )，E(a,0)，ABE是锐角三角形，(1,2)e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2).整理得3e22ee4，12345678910111213146.(2016浙江)设双曲线x2 1的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则PF1PF2的取值范围是_.答案解析如图，由已知可得a1，b ，c2，从而F1F24，由对称性不妨设P在右支上，设PF2m，则PF1m2am2，由于PF1F2为

16、锐角三角形，结合实际意义需满足解得1 m3，又PF1PF22m2， 2m28.12345678910111213147.(2016南京三模)设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为_.答案解析不妨设双曲线方程为 1 (a0，b0)，设F(c,0)，线段PF的中点为(0，b)，则P(c,2b).由点P在双曲线上，得 41，所以e .12345678910111213148.设双曲线 1的左，右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上位于第一象限内的一点，且PF1F2的面积为6，则点P的坐标为_.由双曲线 1的左，右焦点分别为F1，F2，所以F

17、1F26，设P(x，y) (x0，y0)，因为PF1F2的面积为6，所以 F1F2y 6y6，解得y2，将y2代入 1得x . 所以P( ，2).答案解析12345678910111213149.已知F1，F2分别是双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得 0(其中O为坐标原点)，且 ，则双曲线的离心率为_.答案解析1234567891011121314在MF1F2中，边F1F2上的中线等于F1F2的一半，可得 .根据双曲线定义得双曲线的离心率e 1.123456789101112131410.(2015课标全国改编)已知M(x0，y0)是双曲线C： y21上的

18、一点，F1，F2是C的两个焦点，若 0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为_.答案解析由定义，知PF1PF22a. 又PF14PF2，PF1 a，PF2 a.在PF1F2中，由余弦定理，得要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，当cosF1PF21时，得e ，即e的最大值为 .123456789101112131412.(2015课标全国)已知F是双曲线C：x2 1的右焦点，P是C的左支上一点，A( ).当APF的周长最小时，该三角形的面积为_.答案解析设左焦点为F1，PFPF12a2，PF2PF1，APF的周长为A

19、FAPPFAFAP2PF1，APF周长最小即为APPF1最小，当A、P、F1三点在一条直线时最小，过AF1的直线方程为 1，与x2 1联立，解得P点坐标为( )，此时1112 6.APFAF FF PFSSS123456789101112131413.(2016江西丰城中学模拟)一条斜率为1的直线l与离心率为 的双曲线 1(a0，b0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于R点，且 3， ，求直线和双曲线的方程.解答1234567891011121314e ，b22a2，设直线l的方程为yxm.双曲线方程可化为2x2y22a2.x22mxm22a20，4m24(m22a2)0，直线l一定与双曲线相交.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x22m，x1x2m22a2.x13x2，x2m， m22a2.1234567891011121314消去x2，得m2a2. x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m)2x1x2m(x1x2)m2m24a23，m1，a21，b22.直线l的方程为yx1，双曲线的方程为x2