数理方法-总复习(2014-12修改)

1、数学物理方法数学物理方法复习纲要复习纲要v1.课程考核成绩课程考核成绩: 平时成绩平时成绩30%+期末成绩期末成绩70%v2.考试题型考试题型: 九大题九大题(计算题计算题), 前八题每题前八题每题10分，第九题分，第九题20分，共分，共100分分.复变函数复变函数：考：考1，2，3，4，5章，共章，共6题，题，除了第除了第3章考两题外其它章一章一题，每题章考两题外其它章一章一题，每题10分，共分，共60分；分；积分变换积分变换：考：考1，2章，一章一道题，每题章，一章一道题，每题10分，共分，共20分；分；数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数：考：考2章，共章，共1道道题，共题，共2

2、0分。分。部分部分第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第二章第二章 解析函数解析函数第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第四章第四章 级数级数第五章第五章 留数留数第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数考核知识点：考核知识点：1. 复数的定义复数的定义, 复数的代数运算复数的代数运算, 共轭复数共轭复数 的定义与性质。的定义与性质。2 .复平面和复数的点表示法、复数的向量复平面和复数的点表示法、复数的向量表示法。表示法。3. 复数的代数式、三角式及指数式。复数的代数式、三角式及指数式。4. 常用曲线的复数方程。常用曲线的复数方程。5. 复数的积与商复数的积与商, 复数的幂与方根

3、。复数的幂与方根。6. 点点z0的邻域的邻域, 区域。区域。7. 复变函数定义复变函数定义, 映射映射。要掌握的概念和公式1.对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作vx=Re(z), y=Im(z)2. z=x+iy共轭的复数记作z，即zxiy)Im(2),Re(2)iv;)Im()Re()iii;)ii;,) i:,22212121212121zizzzzzzzz zzzzzzzzzzzzzzziyxziyxz共轭复数的性质则如果3.在复平面上, 复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应, 因此复数z也能用向量OP来表示

4、. 向量的长度称为z的模或绝对值, 记作) 1 . 2 . 1 (|22yxrzOxyxyqPz=x+iy|z|=r4.在z0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的辐角, 记作Arg z=q这时, 有满足 pm时，那么称 是f(z)的m阶极点。0mc0ncz（3）、如果有无限个整数n0，使 ,即含有无限个正幂项,则 是f(z)的本性奇点。0ncz,)(110nnnnnnnnnzcczczczfmz5.留数的定义及留数定理Dz1z2z3znC1C2C3CnC留数定理留数的求法定理二定理二 如果 f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末 f (z)在所有各

5、奇点(包括点)的留数总和必等于零.2. 形如( )dR xx的积分 当被积函数 R(x)是 x 的有理函数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的. z1z2z3yCRRROx1111( ),2nnnmmmza zaR zmnzb zb为一已约分式.( )cosd( )sind2Res ( ),.aizkR xax xiR xax xiR z ez)0()(adxexRaix重点掌握的知识点和题型重点掌握的知识点和题型第三节，留数在定积分上的应用，第三节，留数在定积分上的应用，P185习题习题13的的3）、）、4）、）、5）部分部分第一章第

6、一章 Fourier 变换变换第二章第二章 Laplace 变换变换第一章第一章 Fourier 变换变换v考核知识点考核知识点1 Fourier变换的定义变换的定义:(1.9),(1.10)。2 Fourier正弦、余弦变换的定义正弦、余弦变换的定义:(1.11) (1.14) .3 单位脉冲函数的定义、公式单位脉冲函数的定义、公式(1.17); Fd d(t)=1, F e-j( - 0)t =2pdpd(0)4 周期函数的频谱周期函数的频谱An=2|cn|和非周期函数的频谱和非周期函数的频谱|F( )|.5 Fourier变换的性质变换的性质:线性性质，位移性质，微分性线性性质，位移性质

7、，微分性质，积分性质质，积分性质6 卷积的定义和卷积定理。卷积的定义和卷积定理。1.傅氏积分定理：若f(t)在(, +)上满足条件: (1), f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; (2), f(t)在无限区间(, +)上绝对可积, 则有收敛绝对可积是指的在来代替应以处在它的间断点而左端的成立ttftftfttfeeftftd| )(|),(.2)0()0(,)(,)4 . 1 (dd)(21)(jjp若函数f(t)满足Fouier积分定理的条件, 则在f(t)的连续点处, 有)10.1(de)(21)()9.1(de)()()4.1(dede)(21)(jjjjpptttFtfttfFft

8、f则设(1.9)式叫做f(t)的Fourier变换式, (1.10)式为F()的Fourier逆变换式, f(t)与F()可相互转换,可记为F()=F f(t) 和 f(t)=F 1F()若函数f(t)是奇函数，由)12. 1 (dsin)(2)()11. 1 (dsin)()()7 . 1 (dsindsin)(2)(0000pptFtftttfFtftfss则设(1.11)式叫做f(t)的Fourier正弦变换式, (1.12)式为F()的Fourier正弦逆变换式, 分别记为Fs()=Fs f(t) 和 f(t)=Fs1Fs()若函数f(t)是偶函数，由)14. 1 (dcos)(2)(

9、)13. 1 (dcos)()()8 . 1 (dcosdcos)(2)(0000pptFtftttfFtftfcc则设(1.13)式叫做f(t)的Fourier余弦变换式, (1.14)式为F()的Fourier余弦逆变换式, 分别记为Fc()=Fc f(t) 和 f(t)=Fc1Fc()称de(t)的弱极限为d-函数, 记为d(t) 0 (d)(1limd)(1limd)()(limd)()()(lim)(000000fttfttfttftttfttteeeeeeeeeedddd则有其它00/1)(eedettde(t)1/eeO2. d2. d-函数函数工程上将d-函数称为单位脉冲函数,

10、 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度。tOd(t)1d-函数有性质)(d)()()0(d)()(1d)(00tfttfttfttftttddd及1ede)()()(0ttjtjtttFddFvd-函数的傅氏变换为:)(2de)(2de)(2)(,e)()(2)(, 1)()(de)(0)j(j0jj00pdpdpdpdttFtfFtfFttftttt，得或在频谱分析中, 傅氏变换F()又称为非周期函数f(t)的频谱函数, 而它的模|F()|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一

11、个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱.3.非周期函数的频谱ttftfFtjde)()()(F(1).线性性质 设F1()=F f1(t), F2()=F f2(t), 其中,是常数, 则 F f1(t)+f2(t)=F1()+F2() (1.18)F 1F1()+F2()=f1(t)+f2(t) (1.19)4.Fourier变换的性质变换的性质(2). 位移 性质:)20. 1 ()()(00tfettftjFF)21. 1 ()()(00tfeFtj-1F(3).微分性质 如果f(t)在(, +)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 F f (t)

12、=j F f(t). (1.22)象函数的导数公式, 设F f(t)=F(), 则)(j)()(ddtftFnnnnF(4). 积分性质)24. 1 ().(j1d)(0d)()(,tfttfttftgtttFF则时如果当5.卷积的概念若已知函数f1(t), f2(t), 则积分d)()(21tffv称为函数f1(t)与f2(t)的卷积, 记为f1(t)*f2(t)d)()()()(2121tfftftf卷积定理 假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中的条件, 如F f1(t) =F1()F f2(t)=F2()则 Ff1(t) * f2(t) = F1()F2()以及)()(21)

13、()(F2121pFFtftf重点掌握的知识点和题型重点掌握的知识点和题型v求函数的求函数的Fourier变换及其变换及其Fourier逆变逆变换，特别是，掌握正弦函数换，特别是，掌握正弦函数sin(nt)的的Fourier变换。变换。 例如，例如，P36习题习题11、2）、）、3）(正弦函数正弦函数Sinkt的的Fourier变换变换)。第二章第二章 Laplace 变换变换v考核知识点考核知识点v1 Laplace变换的定义变换的定义:(2.1)。v2 Laplace变换的性质变换的性质:线性性质，位移性线性性质，位移性质，微分性质，积分性质，延迟性质质，微分性质，积分性质，延迟性质v3

14、Laplace逆变换逆变换: (2.16)(2.19)v4 卷积的定义和卷积定理。卷积的定义和卷积定理。v5记住记住Lu(t)=1/s,Ld d(t)=1,Leat=1/(s-a), Ltn= n+1/sn+1, n-1.1.定义 设函数f(t)当t0时有定义, 且积分)(de)(0是一个复参量sttfst)1 .2(de)()(0ttfsFst在s的某一域内收敛, 则此积分确定的函数可写为称此式为函数f(t)的拉普拉斯(Laplace)变换式,记为F(s)=L f(t), 且L f(t)=Ff(t)u(t)e-t。F(s)称为f(t)的Laplace变换(或象函数). 而f(t)称为F(s)

15、的Laplace逆变换(或象原函数)记为f(t)=L 1F(s) 也记为f(t)F(s).（1）. 线性性质v若,是常数vL f1(t)=F1(s), L f2(t)=F2(s),v则有v L f1(t)+f2(t)=F1(s)+F2(s)v L 1F1(s)+F2(s)=f1(t)+f2(t) (2.2)2. Laplace变换的性质推论 若L f(t)=F(s), 则L f (t)=s2Lf(t)sf(0)f (0)L f(n)(t)=snF(s)sn1f(0)sn2f (0).f(n-1)(0) (2.4) 当初值f(0)=f (0)=.=f(n1)(0)=0时, 有L f (t)=sF

16、(s),L f (t)=s2F(s), .,L f(n)(t)=snF(s) (2.5)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.（2）.微分性质 若L f(t)=F(s),则有L f (t)=sF(s)f(0) (2.3)此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函数的微分性质:若L f(t)=F(s), 则F (s)=L tf(t), Re(s)c.(2.6)和F(n)(s)=L (t)nf(t), Re(s)c.(2.7)(Lde)(de)(ddde)(dd)(dd000ttftttfttfsttfssFsststst（3）. 积分性质 若L f(t)=F(s)

17、8 . 2()(1d)(0sFsttftL则)9 . 2()(1d)(dd000sFsttfnttnttt 次L象函数积分性质:若L f(t)=F(s), 则ssFssttfssFttfnsssnsd)(dd)(,d)()(次L有一般地L其中F(s)=L f(t). 此公式常用来计算某些积分. 例如, ,d)(d)(0,)10. 2(,d)(000ssFtttfstttf则有取式按存在如果积分2|arctand11dsin,11sin00202pssstttst则有L（4）.位移性质 若L f(t)=F(s), 则有L eatf(t)=F(sa) (Re(sa)c). (2.12)（5）. 延

18、迟性质 若L f(t)=F(s), 又t0时f(t)=0, 则对于任一非负数0, 有L f(t)=esF(s) (2.13)3.定理 若s1, s2, ., sn是函数F(s)的所有奇点(适当选取使这些奇点全在Re(s)的范围内), 且当s时, F(s)0, 则有)17.2(0,e)(Res)(e)(Resde)(j2111jjtsFtfsFssFstnkkssstnkkssst即p最常见的情况, 是函数F(s)是有理函数, 即)()()()()(21011101110111sBsAssssssbasasasabsbsbsbasasasasFnnmmmmnnnnmmmmv其中A(s)和B(s)

19、是不可约的多项式, B(s)的次数是n, A(s)的次数小于B(s)的次数, 这时F(s)满足定理所要求的条件.)18. 2,e)()()(,)(121（展开式：时个单零点只有当nktskknksBsAtfHeavisidesssnsB如方程B(s)=0有一个m重根s1, 称s1为B(s)的m级零点, 也是F(s)est=A(s)est /B(s)的m级极点, 这时)19. 2(,e)()()(ddlime)()()(11111stmmmssnmitsiisBsAssssBsAtfHeavisidei展开式：4. 拉式变换卷积的概念 在第一章讨论过傅氏变换的卷积的性质. 两个函数的卷积是指d)

20、()()()(2121tfftftfv如果f1(t)与f2(t)都满足条件: 当t0时, f1(t)=f2(t)=0, 则上式可以写成)20. 2(d)()()()(d)()(d)()(d)()()()(021212102102121ttttfftftftfftfftfftftf卷积定理假定f1(t), f2(t)满足拉氏变换存在定理中的条件, 且L f1(t)=F1(s), L f2(t)=F2(s), 则 f1(t) * f2(t)的拉氏变换一定存在, 且)21. 2()()()()()()()()(212112121tftfsFsFsFsFtftfL或L重点掌握的知识点和题型重点掌握的知识点和题型v求函数的求函数的Laplace