数字信号处理(2-2)

1、利用Z变换对信号和系统进行分析通信工程学院高全学Z变换域分析的意义o便于考察信号、系统的特征o便于系统的分析与设计o比傅立叶变换的应用范围广系统的传输函数和系统函数o 系统的时域描述单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)( ) ( )h nTn( )( )( )( ) ()my nh nx nx m h nmo传输函数()( )jj nnH eh n eo系统函数( )( )nnH zh n z系统的传输函数的意义时域o 输出为同频 复指数序列，幅度和相位由传输函数决定o 幅度为频率响应幅度 加权o 相位为输入相位输入相位与系统相位响应系统相位响应之和0( )jnx nen 000()( )( )(

2、 )jn mjnjmmmy nh m eeh m e00000arg()()()jjnH ejnjjeH eH ee( )00()jH e输入为复指数序列o 输出信号的频谱取决于输入信号的频谱特性和系统的传输函数o 称为系统的频率响应函数，表征了频频率响应函数，表征了频域响应特性域响应特性o 设计不同的频率响应函数，可实现对信号的放大、滤波、相位均衡等功能。系统的传输函数的意义频域( )( )* ( )()()()jjjy nh nx nY eH eX e()jH e系统函数H(z)o 表征系统的复频域特性o 如果 H(z)的收敛域包含单位圆 ，则序列的傅立叶变换存在1z ()( )jjz e

3、H eH zo 系统的传输函数是系统单位脉冲响应系统单位脉冲响应在单位圆上的Z变换，有时亦将系统函数系统函数称为传输函数传输函数根据系统函数极点的分布分析系统的 因果性和稳定性o 系统N阶差分方程为o Z变换，得系统函数o 因式分解01( )()()MNiiiiy nbx nia y ni00( )( )( )MiiiNiiibzY zH zX za z00()()MNiiiibx nia y ni00( )( )MNiiiiiibz X za z Y zo A影响输出信号的幅度o 是 的零点, 是 的极点；o 零、极点零、极点分布将影响系统的频率特性响系统的频率特性o 极点极点分布影响系统的

4、因果性和稳定性因果性和稳定性1111(1)( )(1)MrrNrrc zH zAd zrcrd( )H z( )H z因果性o 时域：单位脉冲响应是因果序列单位脉冲响应是因果序列。其Z变换的收敛域为o 因果序列Z变换的极点在以 为半径的圆内o 结论：因果系统因果系统 Z 变换的极点均集中在某个圆内变换的极点均集中在某个圆内； 收敛域如下，包含包含 。xRz xRxRz 稳定性o 稳定：系统稳定：系统函数系统函数的收敛域的收敛域包含单位圆；包含单位圆； 系统函数的极点不在单位圆上系统函数的极点不在单位圆上()nh n 序列序列h(n)h(n)绝对可和，即绝对可和，即1( )( )nnnzh nh

5、 n z h(n)的的z变换变换o Z变换的收敛域：系统函数的极点在单位圆内系统函数的极点在单位圆内因果稳定系统：/4/4/6/60.2,0.2,0.4,2,2, 1.5jjjjeeee例：一系统的极点有： 问什么情况下，系统为因果系统， 什么情况下，系统为稳定系统Re zIm jz0140.2je40.2je0.41.562je62je2z 解：因果系统： 0.41.5z稳定系统：o 解：系统的极点为（1）收敛域取 收敛域包含 ，是因果系统 收敛域不包含单位圆，系统不稳定 单位脉冲响应为（2）收敛域取 收敛域不包含 ，不是因果系统 收敛域包含单位圆，系统稳定 单位脉冲响应为211 ( )1,

6、(1)(1)aH zaazaz例： 已知分析系统的因果性和稳定性1,za a1aaReIm11az ( )nnh naa1aza( )nh na（3）收敛域取 收敛域不包含 ，不是因果系统 收敛域不包含单位圆收敛域不包含单位圆，系统不稳定 单位脉冲响应为1aaReIm1za( )() (1)nnh naa un 根据系统的零极点分布，分析分析系统的频率特性系统的频率特性o 系统差分方程：o 系统函数10111011(1)()( )(1)()MMrrN MrrNNrrkkc zzcbH zAAzAad zzd00()()MNiiiibx nia y nio 频域响应()11()( )|()()j

7、wMjrjjN MrNZ ejrkecH ZH eAeed时域输出与系统函数的零极点有关；频率特性与系统函数的零极点有关，希望根据系统的零极点分布进行定性分析。 o 频域响应函数()jH e系统的频率响应的几何确定系统的频率响应 的几何确定()jH eo 假设系统稳定 ZjOBze 在 平面上用矢量表示rcRezImzjBrdrOr极点 矢量 矢量零点 矢量 矢量rzdrOd jredrd B rzcrOcrc B rrjjrrrrd Bd Bec Bc Be jreco 幅频特性o 相频特性11()MrjrNrkc BH eAd B()11()MrjjN MrNrkc BH eAed B (

8、)()jjH ee 11( )()MNrrrrNM 1cRezImzj1d2dje112211( )()MNrrrrNM ()()()jjjH eH ee 11()MrjrNrkc BH eAd B2c0（1）z=0处的零极点对幅频特性 没有影响，只对相位有影响（2）当 B 旋转到某个极点 附近时，例如在同一半径上时， 较短，则 在该点应当出现一个峰值，越短， 附近越尖锐。若 落在单位圆上，则 ,在 处的峰值趋于无穷大。（3）零点的作用与极点 的作用正好相反。rd)(jeH)(jeHBRezImzjOrdrrcrrd Brd0rd B 11()MrjrNrkc BH eAd B解：系统函数为B

9、点从 开始，沿单位圆逆时针转一圈零点：对幅频特性没有影响对幅频特性没有影响极点： ，极点矢量长度最短， 峰值为1/(1-b) 极点矢量长度最长, 谷值为1/(1+b)例2.4.6一阶系统的差分方程如下，定性分析系统的幅频特性( )(1)( )01y nby nx nb1( )( )( )Y zbz Y zX z11( )1zH zbzzbRezImzj0Bb1100解：计算零极点极点：N阶极点 z=0零点：N个零点当变化时，极点矢量长度不变，且为1。零点对幅频特性的影响？例2.4.7 系统函数如下，定性分析系统的幅频特性( )1NH zz 1( )1NNNzH zzz 20,1,2,1jkNk

10、zekNRezImzj011BN=8梳状滤波器-1-0.500.51-1-0.500.518Real PartImaginary Part00.5100.511.522.5/|H(ej)|00.51-2-1012/()N=8解：求Z变换及零极点零点：N个零点极点：z=1，N-1阶极点z=0零点z=0与极点z=0相消设N=8，幅频特性？例 系统函数如下，定性分析系统的幅频特性( )( )Nx nRn0( )( )( )nNNnX zZT RnRn z10Nnnz111Nzz11(1)NNzzz20,1,2,1jkNkzekNRezImzj011B-1-0.500.51-1-0.500.517Re

11、al PartImaginary Part00.5102468/|H(ej)|00.51-3-2-1012/()零极点分布对幅频特性的影响o 极点影响幅频特性的峰值，峰值频率在极点的附近；o 极点越靠近单位圆，峰值越高，越尖锐；o 极点在单位圆上，峰值幅度为无穷，系统不稳定。o 零点影响幅频特性的谷值，谷值频率在零点的附近；o 零点越靠近单位圆，谷值越接近零；o 零点在单位圆上，谷值为零。o 处于坐标原点的零极点不影响幅频特性o 该方法适于低阶系统用Z变换求解系统的输出响应o 只与系统的只与系统的输入信号有关输入信号有关，与，与初始状态无关初始状态无关，称为系统的称为系统的零状态响应零状态响应

12、o 只与系统的只与系统的初始状态有关初始状态有关，与，与输入信号无关输入信号无关，称为称为 系统的系统的零输入响应零输入响应o 系统的响应（输出响应）系统的响应（输出响应） 全响应系统的全响应系统的零输入响应零输入响应系统的系统的零状零状态响应态响应121321 (1)( )( 1) (2)( )( 1)( 2) (3)( )( 1)( 2)( 3)ZT y nz Y zyZT y nz Y zz yyZT y nz Y zz yz yy1.零状态响应与零输入响应o 移位因果序列的Z变换(单边)00 () ( )() ( )()nnnnZT y nm u ny nm u n zy nm z1(

13、)()0( )( )( )l mmll mn m llmllmy l zzy l zy l z1( )( )mmllmzY zzy l zo 系统的差分方程00()()MNiiiibx nia y nio Z变换 () ( )( )mZT x nm u nzX z100( )( )( )MNiiiliiiilibz X zaz Y zzy l z1000( )( )( )MNNiiliiiiiiliibz X za zy l za z Y zx(n)=0,nM时，上式成立，则MT为稳定时间()1%0,1,max ( )y Mny n例：00122jjee设H(z)有一个实数极点和一对复数极点，系统的输入是单位阶跃序列，系统的输出为：,1(1)( )( )1HY zH zz的极点构成的部分分式之和0011111122(1)( )1111jjkaaHY zzezezz001122( )jnjnnnny nkaeae稳态响应112203( )sin()nny nkkjnk稳态响应暂态响应o 系统稳定o 稳定时间估算公式o 时间常数o 达到暂态峰值的1%，所需采样间隔数1112203( )sin()nny nkkjnk12max,1/ln4.5/ln 0.00840.30.00770.50.009210.80.011