第一讲 数学是什么教材

1、1第一讲第一讲 数学是什么数学是什么数学的由来数学的定义数学的特点2一、一、 数学的由来数学的由来我们今天的数学是怎么来的？数学为什么会变得如此抽象？数学将会向何处去？3一、一、 数学的由来数学的由来45亿年前的原始太阳亿年前的原始太阳星云星云150亿年前的大爆炸亿年前的大爆炸4若把地球诞生至今的这若把地球诞生至今的这段日子当成一年，十一段日子当成一年，十一月的第三个星期鱼类才月的第三个星期鱼类才出现，而蜥蜴在十二月出现，而蜥蜴在十二月中旬出现；中旬出现；人类要到十人类要到十二月三十一日的晚上才二月三十一日的晚上才出现。出现。5手指记数手指记数从计数那一刻开始6荷马史诗荷马史诗奥德赛奥德赛当主

2、人公当主人公奥德修斯奥德修斯刺瞎了刺瞎了独眼巨人独眼巨人波吕斐摩斯波吕斐摩斯仅有仅有的一只眼睛以后，那个不的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。己的山洞里照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子来一只，他就从一堆石子里捡出一颗。晚上羊儿返里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子全都扔光早晨捡起的石子全都扔光时，他就确信所有的羊儿时，他就确信所有的羊儿返回了山洞。返回了山洞。7结绳记数结绳记数周易周易：“上古结绳上古结绳而

3、治，后世圣人，易之而治，后世圣人，易之以书契。以书契。”8早期人类曾经使用刻痕记数之法。早期人类曾经使用刻痕记数之法。迄今发现的最早证据，是迄今发现的最早证据，是1937年在捷克摩拉维亚年在捷克摩拉维亚（Moravia）出土的幼狼胫骨。图中所示为同一根狼骨）出土的幼狼胫骨。图中所示为同一根狼骨的不同侧面。其上有的不同侧面。其上有55道刻痕，分成两组：第一组道刻痕，分成两组：第一组25道，第二组道，第二组30道，每一组内的刻痕又按道，每一组内的刻痕又按5个一群排列，个一群排列，这块狼骨的年代，据考大约在这块狼骨的年代，据考大约在3万年前。万年前。9四个四个“河谷文明河谷文明”地域地域 非洲的非洲

4、的 尼罗河尼罗河；西亚的西亚的 底格里斯河与幼发拉底河底格里斯河与幼发拉底河；中南亚的中南亚的 印度河与恒河印度河与恒河；东亚的东亚的 黄河与长江黄河与长江 有理由相信，数字符号是人类最早出现的文字10113500 . .B C古埃及陶罐12西安半坡遗址西安半坡遗址中国西安半坡遗址反映的是约公元前中国西安半坡遗址反映的是约公元前6000年的人类年的人类活动，活动，那里出土的彩陶上有多种几何图形，包括平行线、那里出土的彩陶上有多种几何图形，包括平行线、三角形、圆、长方形、菱形等。三角形、圆、长方形、菱形等。 13半坡遗址陶器残片14半坡遗址房屋基础15古巴比伦的“记事泥板”中关于“整勾股数整勾股

5、数”的记载” （马其顿，1988年）20世纪在两河流域有约50万块泥版文书出土，其中300多块与数学有关（约公元前1000年） （文达，1982年）16中国的中国的周髀算经周髀算经（公元前（公元前200年成书）年成书）宋刻本周髀算经周髀算经， （西周，前（西周，前1100年）年） （上海图书馆藏）（上海图书馆藏）周髀算经周髀算经 中关于 勾股定理 的记载17埃及金字塔埃及金字塔建于约公元前建于约公元前2900年的埃及法老胡夫年的埃及法老胡夫 的金字塔，塔基每边长约的金字塔，塔基每边长约230米，米，塔基的正方程度与水平程度的塔基的正方程度与水平程度的 平均误差不超过万分之一。平均误差不超过万分

6、之一。 18 公元前公元前5世纪世纪 有了数、记数法；有了数、记数法；数量的计算；数量的计算；简单的数的运算；简单的数的运算；简单的几何图。简单的几何图。数学数学简单的算术简单的算术19 演绎推理演绎推理古希腊古希腊 （前（前6世纪世纪公元公元6世纪）世纪）泰勒斯泰勒斯伊利亚学派伊利亚学派数学数学命题需要命题需要证明证明 20毕达哥拉斯毕达哥拉斯( (公元前公元前580580年公元前年公元前500500年年) ) 万物皆数万物皆数21柏拉图柏拉图 与与亚里士多德亚里士多德 倡导逻辑倡导逻辑演绎的结构演绎的结构22雅典学派雅典学派23欧几里得欧几里得( (Euclid, Euclid, 公元前公

7、元前330330年前年前275275年年) )24欧几里得欧几里得 几何原本几何原本数学由定义、公理、定理组成数学由定义、公理、定理组成定义定义点、线、面、圆、角、点、线、面、圆、角、；公设、公理公设、公理五个公设、五个公理；五个公设、五个公理； 公设公设：1.由任意一点到另外任意一点可以画直线；由任意一点到另外任意一点可以画直线； 2.一条有限直线可以继续延长；一条有限直线可以继续延长； 3.以任意点为心及任意的距离可以画圆；以任意点为心及任意的距离可以画圆； 4.凡直角都彼此相等凡直角都彼此相等 5.平面上过直线外一点可以做一条且只能做一条直线与此平面上过直线外一点可以做一条且只能做一条直

8、线与此平行平行 公理：公理：1.等于同一量的量彼此相等；等于同一量的量彼此相等；2.等量加等量其和相等；等量加等量其和相等；3.等量减等量其差相等；等量减等量其差相等；4.彼此能重合的物体是全等的；彼此能重合的物体是全等的；5.整体大于部分整体大于部分定理（命题）定理（命题）证明证明 25阿基米德阿基米德(Archimedes(Archimedes，约公元前，约公元前287287212)212)2627阿基米德的墓碑上刻的图阿基米德的墓碑上刻的图28阿波罗尼奥斯（约公元前阿波罗尼奥斯（约公元前262262前前190190） 2930数学被公理化，成为演绎推理的知识体系数学被公理化，成为演绎推理

9、的知识体系 抽象的思考，“证明”成为数学的灵魂。数学被建立在逻辑推理之上。数学不再是实用的工具，成为追求真理的思维模式。古希腊古希腊 （前（前6世纪世纪公元公元6世纪）世纪）数学几何化比例、倍数、奇数、偶数、乘、除、乘幂、整除、，用几何方法描述和讨论。31实用的数学实用的数学中国中国测量、计算、占星、卜卦测量、计算、占星、卜卦周髀算经周髀算经公元前公元前200年年32公元一世纪33“中国古代数学第一人中国古代数学第一人”祖冲之（祖冲之（429500）割圆术割圆术34 宋元时期宋元时期 （公元（公元10世纪世纪14世纪）世纪） 宋元四大家宋元四大家李冶李冶 （11921279）、）、 秦九韶（约

10、秦九韶（约1202约约1261）、）、 杨辉杨辉 （13世纪下半叶）、世纪下半叶）、 朱世杰（朱世杰（13世纪末世纪末14世纪初）世纪初） 天元术、正负开方术天元术、正负开方术 高次方程数值求解；高次方程数值求解； 大衍总数术大衍总数术 一次同余式组求解一次同余式组求解宋元以后，中国数学陷于停滞或几近消亡。宋元以后，中国数学陷于停滞或几近消亡。35印度印度 现代记数法（公元现代记数法（公元8 8世纪）世纪）印度数码，印度数码，0 0，负数，负数阿拉伯国家阿拉伯国家 （公元（公元8 8世纪世纪1515世纪）世纪） 花拉子米花拉子米代数学代数学（阿拉伯文（阿拉伯文还原还原与对消计算概要与对消计算概

11、要）曾长期作为欧洲的数学课本，曾长期作为欧洲的数学课本，“代数代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原还原”，即，即“移项移项”；此后，代数学的内容，；此后，代数学的内容，主要是解方程。主要是解方程。数字、符号数字、符号36斐波那契斐波那契1202年将印度人的数字引入欧洲年将印度人的数字引入欧洲 “下列是印度人的九个数字下列是印度人的九个数字 9 8 7 6 5 4 3 2 1下面将证明：用这九个数字连同下面将证明：用这九个数字连同阿拉伯人称作零的符号阿拉伯人称作零的符号0，就能写，就能写出任何数出任何数” 斐波那契算术书的卷首语斐波那契算术书的卷首语 开始

12、使用印度阿拉伯数字、十进制开始使用印度阿拉伯数字、十进制37欧洲（十六世纪）欧洲（十六世纪）用字母表示数：用字母表示数： x,y,a,b,c,. .统一运算符号：统一运算符号：、意大利（十二世纪）意大利（十二世纪）塔塔利亚、卡尔丹、费拉里塔塔利亚、卡尔丹、费拉里三次方程的求根公式三次方程的求根公式38托勒密托勒密三角学三角学15世纪，德国的世纪，德国的雷格蒙塔努斯雷格蒙塔努斯（JRegiomontanus，14361476）的论三角一书的出版，才标志古代三角学）的论三角一书的出版，才标志古代三角学正式成为独立的学科这本书中不仅有很精密的正弦表、余正式成为独立的学科这本书中不仅有很精密的正弦表、

13、余弦表等，而且给出了现代三角学的雏形弦表等，而且给出了现代三角学的雏形16世纪法国数学家世纪法国数学家韦达韦达（FViete，15401603）则更进一）则更进一步将三角学系统化步将三角学系统化对数对数简化天文、航海方面烦杂计算，把乘除转化为简化天文、航海方面烦杂计算，把乘除转化为加减。英国数学家加减。英国数学家 纳皮尔纳皮尔3916世纪世纪初等数学的主要分支：初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。算术、几何、代数、三角。构成现在中学数学的主要内容构成现在中学数学的主要内容40科学革命科学革命变量数学变量数学（十六（十六十九世纪）十九世纪）寻找解决一切问题的方法寻找解决一切问题的方法笛卡

14、尔笛卡尔解解析几何析几何41XYOMN命题：圆上相等弦到圆心的距离相等解析几何的证明：),(11yxA),(22yxB),(33yxC ),(33yxD如图。设 四点在圆周上，且CDAB DCBA,CDONABOM,证明：ONOM 证. 是 的中点，它的坐标是 ，所以MAB)2,2(2121yyxx221221)2()2(yyxxOM展开并以 代入，得2222221212yxRyxR和221212yyxxROMR212212)()(yyxxAB又同上面一样代入，得21212222yyxxRAB（1）42因为 ， ，故32xCD CDAB 3212122222xyyxxRAB2321212422

15、2xyyxxR23221212xRyyxx代入（1），有232232222xRxRROM但22323RyxXYOMN),(11yxA),(22yxB),(33yxC ),(33yxDR23232yxR323yyOMONOM 证毕。43欧几里得证明：MABCDNO作 与 OBODODOB 同圆之半径相等ABMB21由圆心到弦的垂线平分此弦CDND21NDMB 等量的一半相等RtOMBRtOND 斜边和一个直角边相等ONOM 证毕。解析几何的价值不在于它是搞出一个证明的方法，而在于它是代数与几何的联系。44微积分切线问题速度问题最大、最小值问题 面积问题路程问题)(xfdxdy导数badxxf)(

16、)(xfy 函数45曲线 在其上一点 处的切线。2:xyC),(00yx由于 ，所以，切线方程为xy2)(2000 xxxyy又由于 ，故所求切线为200 xy 2002xxxy求抛物线 与直线 所围图形的面积。2xy 1y抛物线与直线的交点为 ，故所求面积为) 1 , 1 () 1 , 1(和34)31(31431412113112xdxx如：点 处切线方程为 )4 , 2() 1(4xy46牛顿：牛顿：Isaac Newton （16431727） 数学家数学家 物理学家物理学家 天文学家天文学家 自然哲学家自然哲学家47莱布尼茨莱布尼茨(Gottfriend Wilhelm Leibni

17、z，1646-1716)德国自然科学家、数学家、德国自然科学家、数学家、哲学家。他的研究范围涉及哲学家。他的研究范围涉及自然科学与社会科学的很多自然科学与社会科学的很多领域，几乎在每一个相关领领域，几乎在每一个相关领域都有杰出成果，被誉为罕域都有杰出成果，被誉为罕见的科学天才，百科全书式见的科学天才，百科全书式的科学家。的科学家。48三大分支分析微分方程变分法微分几何复变函数cdxdyadxyd2xvyuyvxuxayysin曲率曲线弯曲程度49三大分支代数解方程代数基本定理（n次方程恰好有n个根）解方程组矩阵、行列式高斯（高斯（C.F.Gauss,1777-C.F.Gauss,1777-18

18、551855）0110nnnaxaxannnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222221211121211150三大分支几何欧几里得几何解析几何用代数方法解决几何问题51“分析分析”、“代数代数”、“几何几何”三大分支三大分支 在在18世纪，由微积分、微分方程、变分法等构成的世纪，由微积分、微分方程、变分法等构成的“分析分析”，已经成为与代数、几何并列的数学的三大学科，已经成为与代数、几何并列的数学的三大学科，并且在这个世纪里，其繁荣程度远远超过了代数和几何。并且在这个世纪里，其繁荣程度远远超过了代数和几何。 数学成为科学的皇后，与技术结合的更紧密。数学成为科学

19、的皇后，与技术结合的更紧密。521657年，帕斯卡年，帕斯卡论掷骰子游戏中的计算。论掷骰子游戏中的计算。这本书迄今为止被认为是这本书迄今为止被认为是概率论概率论中最早的论著。因此中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。惠更斯。1763年，贝叶斯公式年，贝叶斯公式英国学者葛朗特在英国学者葛朗特在1662年发表的著作关于死亡公报年发表的著作关于死亡公报的自然和政治观察的自然和政治观察统计学统计学十九世纪初，拉普拉斯、勒让德、高斯十九世纪初，拉普拉斯、勒让德、高斯数理统计数理统计随机数学随机数学概率论与数理统计概率论与数理

20、统计53 现代数学时期现代数学时期（1919世纪世纪2020年代年代 ） 康托的康托的“集合论集合论” 2 2柯西、魏尔斯特拉斯等人的柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析数学分析” 3 3希尔伯特的希尔伯特的“公理化体系公理化体系” 4 4高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何非欧几何” 5 5伽罗瓦创立的伽罗瓦创立的“抽象代数抽象代数” 6 6黎曼开创的黎曼开创的“现代微分几何现代微分几何” 7 7庞加莱庞加莱创立的创立的“拓扑学拓扑学” 8. 8. 其它：数论、概率统计、数理逻辑、组合数学、其它：数论、概率统计、数理逻辑、组合数学、 计算数学、分形与混

21、沌计算数学、分形与混沌 等等。等等。 数学成为思想创造的产物，越来越抽象；应用越来数学成为思想创造的产物，越来越抽象；应用越来越广泛。越广泛。54二、数学的二、数学的“定义定义” 数学数学，其英文是，其英文是mathematicsmathematics，这是一个复数名词，它意味着某种，这是一个复数名词，它意味着某种“已已学会或被理解的东西学会或被理解的东西”或或“已获得的知识已获得的知识”，甚至意味着，甚至意味着“可获的东可获的东西西”， “ “可学会的东西可学会的东西”，即，即“通过学习可获得的知识通过学习可获得的知识” “ “数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比数学曾经

22、是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。” “ “数学数学”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较一词从表示一般的知识到专门表示数学专业，经历一个较长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完长的过程，仅在亚里士多德时代，而不是在柏拉图时代，这一过程才完成。成。 “ “数学数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法. .对于毕达哥拉对于毕达哥拉斯学派来说，数学是一种斯学派来说，数学是一种“生活的方式生活的方式”。 55从从理论的地位讲，理

23、论的地位讲，牛顿牛顿是一个数学家，尽管他也是半个物理学家。是一个数学家，尽管他也是半个物理学家。一般公众和新闻记者宁愿把一般公众和新闻记者宁愿把爱因斯坦爱因斯坦看作数学家，尽管他完全是物理看作数学家，尽管他完全是物理学家。学家。当当笛卡儿笛卡儿（DescartesDescartes，1596159616501650年）还很年轻时就决心有所创年）还很年轻时就决心有所创新，于是他确定了新，于是他确定了“数学万能论数学万能论”的名称和概念。然后的名称和概念。然后莱布尼茨莱布尼茨引用引用了非常类似的概念。了非常类似的概念。恩格斯：数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学恩格斯：数学是研究现实

24、世界中的数量关系与空间形式的一门科学。 随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、数理逻辑随着时间的推移，数学大大发展了，诸如事物的结构、数理逻辑等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含在上述定义中。等，都成为数学的研究对象；这些，似乎不能包含在上述定义中。 561古今数学家的说法古今数学家的说法 （美）（美）R柯朗柯朗（数学是什么）（数学是什么）： “数学，作为人类智慧的一种表达形式，反数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和

25、推理，共性和个性。和推理，共性和个性。”57（法）（法）E波莱尔：波莱尔： “数学是我们确切知道我们在说什么，并肯数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。定我们说的是否对的唯一的一门科学。”（英）罗素：（英）罗素：“数学是所有形如数学是所有形如p 蕴含蕴含q的命题的类的命题的类”， 而最前面而最前面 的命题的命题p是否对，却无法判断。是否对，却无法判断。 因此因此“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。说的是否对的一门学科。”581）哲学说）哲学说2 2）符号说）符号说3 3）科学说）科学

26、说4 4）工具说）工具说5 5）逻辑说）逻辑说6 6）创新说）创新说7 7）直觉说）直觉说 8 8）集合说）集合说 9 9）结构说（关系说）结构说（关系说） 1010）模型说）模型说 1111）活动说）活动说 1212）精神说）精神说 1313）审美说）审美说 1414）艺术说）艺术说1515）万物皆数说）万物皆数说 2数学的数学的15个个“定义定义”59 15个个“定义定义” 来自来自601）哲学说）哲学说2 2）符号说）符号说3 3）科学说）科学说4 4）工具说）工具说5 5）逻辑说）逻辑说6 6）创新说）创新说7 7）直觉说）直觉说 8 8）集合说）集合说 9 9）结构说（关系说）结构说

27、（关系说） 1010）模型说）模型说 1111）活动说）活动说 1212）精神说）精神说 1313）审美说）审美说 1414）艺术说）艺术说1515）万物皆数说）万物皆数说 2数学的数学的15个个“定义定义”61 只只 讲解讲解“哲学说哲学说”，其他，其他只作一句话的解释，并只作一句话的解释，并请查资料。请查资料。 哲学说哲学说亚里士多德：亚里士多德：“新的思想家把数学和新的思想家把数学和 哲学看作是相同的。哲学看作是相同的。”来自古希腊，亚里士多德、欧几里得来自古希腊，亚里士多德、欧几里得 等人。等人。 几何原本：点是没有部分的那种东西；几何原本：点是没有部分的那种东西； 线是没有宽度的长度

28、线是没有宽度的长度牛顿在自然哲学之数学原理的序言中说，他是把这本书牛顿在自然哲学之数学原理的序言中说，他是把这本书“作为哲作为哲学的数学原理的著作学的数学原理的著作”，“在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来在哲学范围内尽量把数学问题呈现出来”。62 哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛哲学是研究最广泛的事物，数学也是研究最广泛的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研的事物，这是它们的共同点。但是，数学与哲学的研究对象不同，研究方法也不同。究对象不同，研究方法也不同。 两者虽有相似之处，两者虽有相似之处，但数学不是哲学的一部分，但数学不是哲学的一部分， 哲学也不是数学的一部哲学也不是数

29、学的一部分。分。 现在有人说现在有人说“哲学从一门学科中退出，哲学从一门学科中退出， 意味着这意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。学科的成熟。” 63符号说：符号说：是说数学是一种高级语言，是符号是说数学是一种高级语言，是符号的世界。的世界。科学说：科学说：是说数学是精密的科学，是说数学是精密的科学，“数学是数学是科学的皇后科学的皇后”。工具说：工具说：是说是说“数学是其它所有知识工具的数学是其它所有知识工具的源泉源泉”。 逻辑说：逻辑说：是说数学推理依靠逻辑，是说数学推理依靠逻辑，“数学为数学为其证明所具有的逻辑性而

30、骄傲。其证明所具有的逻辑性而骄傲。”64创新说：创新说：是说数学是一种创新，如发现无理是说数学是一种创新，如发现无理数，提出微积分，创立非欧几何。数，提出微积分，创立非欧几何。直觉说：直觉说：是说数学的基础是人的直觉，数学是说数学的基础是人的直觉，数学主要是由那些直觉能力强的人们推进的。主要是由那些直觉能力强的人们推进的。集合说：集合说：是说数学各个分支的内容都可以用是说数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述。集合论的语言表述。 结构说（关系说）：结构说（关系说）：是强调数学语言、符是强调数学语言、符号的结构方面及联系方面，号的结构方面及联系方面，“数学是一种关数学是一种关系学系学”。65

31、模型说：模型说：是说数学就是研究各种形式的模型，是说数学就是研究各种形式的模型，如微积分是物体运动的模型，概率论是偶然如微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然现象的模型，欧氏几何是现实空间的与必然现象的模型，欧氏几何是现实空间的模型，非欧几何是非欧空间的模型。模型，非欧几何是非欧空间的模型。活动说：活动说：是说是说“数学是人类最重要的活动之数学是人类最重要的活动之一一”。精神说：精神说：是说是说“数学不仅是一种技巧，更是数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性的精神。一种精神，特别是理性的精神。”66审美说：审美说：是说是说“数学家无论是选择题材还是数学家无论是选择题材还是判断能否成功

32、的标准，主要是美学的原则。判断能否成功的标准，主要是美学的原则。” 艺术说：艺术说：是说是说“数学是一门艺术。数学是一门艺术。” 万物皆数说：万物皆数说：是说数的规律是世界的根本是说数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数与整数比。规律，一切都可以归结为整数与整数比。67思思： 请你在学习请你在学习“数学文化数学文化”课的过程课的过程中，始终带着下面的问题中，始终带着下面的问题在学完在学完“数学文化数学文化”课后，给出一个你自己对课后，给出一个你自己对“数学数学”的定义。的定义。68 二、数学的特点二、数学的特点 数学所具有的特点，可以把数学和其他学科相比较，这数学所具有的特点，可以把数

33、学和其他学科相比较，这种特点就十分明显了。种特点就十分明显了。 抽象性抽象性 精确性精确性 应用的广泛性应用的广泛性 69 1 1抽象性抽象性 数学的抽象性表现在哪里呢数学的抽象性表现在哪里呢? 暂时撇开事物的具体内容，仅仅从抽象的数方面去进暂时撇开事物的具体内容，仅仅从抽象的数方面去进行研究。行研究。 比如在简单的计算中，比如在简单的计算中，2+3既可以理解成两棵树加三棵既可以理解成两棵树加三棵树，也可以理解成两部机床加三台机床。树，也可以理解成两部机床加三台机床。 在数学里，我们撇开树、机床的具体内容，而只是研在数学里，我们撇开树、机床的具体内容，而只是研究究2+3的运算规律，掌握了这个规

34、律，那就不论是树、机床，的运算规律，掌握了这个规律，那就不论是树、机床，还是汽车或者别的什么事物都可以按加法的运算规律进行还是汽车或者别的什么事物都可以按加法的运算规律进行计算。乘法、除法等运算也都是研究抽象的数，而撇开了计算。乘法、除法等运算也都是研究抽象的数，而撇开了具体的内容。具体的内容。 直线、几何图形、函数等都是经过抽象得来的。直线、几何图形、函数等都是经过抽象得来的。70数学的抽象性具有下列三个特征： 第一，它保留了数量关系或者空间形式。第一，它保留了数量关系或者空间形式。 第二，数学的抽象是经过一系列的阶段形成的，它达到第二，数学的抽象是经过一系列的阶段形成的，它达到的抽象程度大

35、大超过了自然科学中的一般抽象。的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽象。 第三，不仅数学的概念是抽象的，而数学方法本身也是第三，不仅数学的概念是抽象的，而数学方法本身也是抽象的。抽象的。 物理或化学家为了证明自己的理论，总是通过实验的方法；而数学家证明一个定理却不能用实验的方法，必须用推理和计算。在数学里证明一个定理，必须利用已经学过或者已经证过的概念、定理，用推理的方法导出这个新定理来。我们都知道数学归纳法，它就是一种比较抽象的数学证明方法。 71哥尼斯堡七桥问题7273连通的连通的“点线图点线图”能够一笔画的充要条件：能够一笔画的充要条件：“奇结点奇结点”不多于两个。不多于两个。 反观反观

36、“七桥问题七桥问题”74 2精确性精确性 数学的精确性表现在数学推理的数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性逻辑严格性和数学结论的和数学结论的确定无疑性确定无疑性。 数学的推理和它的结论是无可争辩、毋容置疑的。数学证数学的推理和它的结论是无可争辩、毋容置疑的。数学证明的精确性、确定性从中学课本中就充分显示出来了。明的精确性、确定性从中学课本中就充分显示出来了。 欧几里得的几何经典著作几何原本可以作为逻辑的严欧几里得的几何经典著作几何原本可以作为逻辑的严密性的一个很好的例子。它从少数定义、公理出发，利用逻密性的一个很好的例子。它从少数定义、公理出发，利用逻辑推理的方法，推演出整个几何体系，把丰富

37、而零散的几何辑推理的方法，推演出整个几何体系，把丰富而零散的几何材料整理成了系统严明的整体，成为人类历史上的科学杰作材料整理成了系统严明的整体，成为人类历史上的科学杰作之一，一直被后世推崇。之一，一直被后世推崇。75 汉克尔说：汉克尔说：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层新筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼。楼。” 作为对照的三个例子：作为对照的三个例子： 电子管电路电子管电路 半导体电路半导体电路 集成电路集成电路 托勒密地心说托勒密地心说哥白尼日心说哥白尼日心说开普勒三定律

38、开普勒三定律 高温超导的上界（朱经武）高温超导的上界（朱经武） 30K90K120K 240K76关于关于“晶体的结构有多少种晶体的结构有多少种”的讨论的讨论 曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了各曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了各不相同的结论。不相同的结论。数学家介入以后，运用数学家介入以后，运用“群群”的理论，得到了明确的理论，得到了明确的答案：晶体的结构只能有的答案：晶体的结构只能有230种。种。 而且，数学家的推理是如此精确，让人信服，使得而且，数学家的推理是如此精确，让人信服，使得之后就不再有人去研究这一问题了，因为结论已经之后就不再有人去研究这一问题了，因为结论已经

39、确定无疑。确定无疑。 77 3应用的广泛性应用的广泛性 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。 例子：例子：哈雷彗星的发现；哈雷彗星的发现； 海王星的发现；海王星的发现； 电磁波的发现。电磁波的发现。78 哈雷彗星的发现哈雷彗星的发现 古时人们认为彗星的出现是不祥之兆，直到古时人们认为彗星的出现是不祥之兆，直到17世纪，英国天文学家哈雷世纪，英国天文学家哈雷开始计算彗星轨道时，发现开始计算彗星轨道时，发现1682年、年、1607年和年和1531年出现

40、的彗星有相似年出现的彗星有相似的轨道，他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，并预言它将在的轨道，他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，并预言它将在1758年底或年底或1759年初再次出现。年初再次出现。1759年，这颗彗星果然出现了。虽然哈雷已在此前的年，这颗彗星果然出现了。虽然哈雷已在此前的1742年逝世，但为了纪念他，这颗彗星称为年逝世，但为了纪念他，这颗彗星称为“哈雷彗星哈雷彗星”。哈雷彗星的回归周期为哈雷彗星的回归周期为76年，最近一次的回归是在年，最近一次的回归是在1986年；下一次回年；下一次回归是在归是在2062年。年。79 海王星的发现海王星的发现 是18461846年在数学计算的基础

41、上发现的。 1781年发现了天王星以后，观察它的 运行轨道总是和预测的结果有相当程 度的差异，有人怀疑在它周围有另一 颗行星存在，影响了它的运行轨道。 1844年英国的亚当斯(18191892)利用 引力定律和对天王星的观察资料这颗未 知行星的位置，以及它出现在天空中的 航海家航海家2号拍摄号拍摄, 1989.8. 方位。亚当斯于1845年910月把结果分别寄给了剑桥大学天文台台长查理士和英国格林尼治天文台台长艾里，但是查理士和艾里迷信权威，把它束之高阁，不予理睬。 8018451845年，法国一个年轻的年，法国一个年轻的天文学家、数学家勒维烈天文学家、数学家勒维烈(18111877)(181

42、11877)经过一年多经过一年多的计算，于的计算，于18461846年年9 9月写了月写了一封信给德国柏林天文台一封信给德国柏林天文台助理员加勒助理员加勒(18121910)(18121910)，信中说：信中说：“请你把望远镜请你把望远镜对准黄道上的宝瓶星座，对准黄道上的宝瓶星座，就是经度就是经度326326的地方，的地方，那时你将在那个地方那时你将在那个地方1 1之内，见到一颗九等亮度之内，见到一颗九等亮度的星。的星。”加勒按勒维烈所加勒按勒维烈所指出的方位进行观察，果指出的方位进行观察，果然在离所指出的位置相差不到然在离所指出的位置相差不到1 1的地方找到了一颗在星图上没有的星的地方找到了

43、一颗在星图上没有的星海王星。海王星的发现不仅是力学和天文学特别是哥白尼日心学说的海王星。海王星的发现不仅是力学和天文学特别是哥白尼日心学说的伟大胜利，而且也是数学计算的伟大胜利。伟大胜利，而且也是数学计算的伟大胜利。 81 电磁波的发现电磁波的发现 英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立起英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为来的电磁现象规律，把这些规律表述为“方方程的形式程的形式”，用纯粹数学的方法推导出可能，用纯粹数学的方法推导出可能存在着电磁波并且这些电磁波应该以光速传存在着电磁波并且这些电磁波应该以光速传播着。据此，他提出了光的电磁理论。此外，播着。据此

44、，他提出了光的电磁理论。此外，他的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电他的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波。磁波。 24年后，德国物理学家年后，德国物理学家 赫兹在振荡放电实验中证实赫兹在振荡放电实验中证实 了电磁波的存在，不久，意了电磁波的存在，不久，意 大利的马可尼和俄国人波波大利的马可尼和俄国人波波 夫又在此基础上独立地发明夫又在此基础上独立地发明 了无线电报。从此，电磁波走进了千家万户。了无线电报。从此，电磁波走进了千家万户。82趣味题一：抓堆和抓三堆趣味题一：抓堆和抓三堆1. 1. 抓堆抓堆： 有一堆谷粒（例如有一堆谷粒（例如100100粒），粒），甲、乙轮流抓，每次可抓甲、乙轮

45、流抓，每次可抓1 15 5粒，甲先抓，规粒，甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？为什么？83游戏实录游戏实录10084从简单的问题入手从简单的问题入手 有一堆谷粒（例如有一堆谷粒（例如10粒），甲、乙轮粒），甲、乙轮流抓，每次可抓流抓，每次可抓15粒，甲先抓，规定谁粒，甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？为什么？85游戏实录游戏实录1086数学思想：问题一般化；问题一般化；问题特殊化；问题特殊化；归纳总结，找出规律；归纳总结，找出规律；证明规律，得到结论。证明规律，得到结论。

46、87问题一般化问题一般化 抓堆抓堆： 有一堆谷粒（例如有一堆谷粒（例如 n 粒），甲、粒），甲、乙轮流抓，每次可抓乙轮流抓，每次可抓15粒，甲先抓，规定谁抓粒，甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？ 问题特殊化问题特殊化n = 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，88“抓堆抓堆”游戏的结论游戏的结论把把“6的倍数的倍数”留给对方，自己可以取胜。留给对方，自己可以取胜。 （“反面说法反面说法”）在在 n = 100 时，甲抓时，甲抓 4 粒可以取胜。粒可以取胜。89数学文化：问题一般化；问题一般化；问题特殊化；

47、问题特殊化；归纳抽象，找出规律；归纳抽象，找出规律；证明规律，得到结论。证明规律，得到结论。902. 抓三堆抓三堆： 有三堆谷粒（例如有三堆谷粒（例如100粒、粒、200粒、粒、 300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆堆 中抓，最少抓中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？为什么？91从简单的情形入手从简单的情形入手 有三堆谷粒（例如有三堆谷粒（例如4粒、粒、5粒、粒、 6粒），甲、粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓乙轮流抓，每次只

48、能从一堆中抓，最少抓1粒，粒，可抓任意多粒。可抓任意多粒。 甲先抓，规定甲先抓，规定“谁抓到最后一把谁赢谁抓到最后一把谁赢”。问：甲应该如何抓？为什么？问：甲应该如何抓？为什么？92游戏实录游戏实录4 ，5 ，6 ，93数学文化：问题一般化；问题一般化；问题特殊化；问题特殊化；归纳抽象，找出规律；归纳抽象，找出规律；证明规律，得到结论。证明规律，得到结论。94 抓三堆：抓三堆：有三堆谷粒（例如有三堆谷粒（例如100粒、粒、200粒、粒、300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后粒，可抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到