第一章颗粒几何特性

1、吉晓莉2.2 颗粒的形状颗粒的形状2.3 颗粒的比表面积与理论计算颗粒的比表面积与理论计算 颗粒的几何特征主要包括颗粒颗粒的几何特征主要包括颗粒大小大小(尺寸尺寸)、形状形状、比表面积比表面积和和孔径孔径等，其中，等，其中，尺寸的大小是颗粒最重要的尺寸的大小是颗粒最重要的几何特征参数。几何特征参数。表征颗粒几何尺寸的主要参数有：表征颗粒几何尺寸的主要参数有：粒径、粒度和粒度分粒径、粒度和粒度分布值布值1.1.1 1.1.1 粒径和粒度粒径和粒度粒径以单颗粒为对象，表示单颗粒的几何尺寸的大小粒径以单颗粒为对象，表示单颗粒的几何尺寸的大小粒度以颗粒群为对象，表示所有颗粒大小的总体概念粒度以颗粒群为

2、对象，表示所有颗粒大小的总体概念1、单颗粒的粒径、单颗粒的粒径 直径直径D直径直径D、高度、高度H？当量直径当量直径就是通过测量某些与颗粒大小有关的性就是通过测量某些与颗粒大小有关的性 质，推导出与线性量纲有关的参数质，推导出与线性量纲有关的参数(1)轴轴 径：用指定的特征线段表示。径：用指定的特征线段表示。(2)球当量径：用和颗粒具有相同参量的球体直径来表示。球当量径：用和颗粒具有相同参量的球体直径来表示。(3)圆当量径：用和颗粒具有相同参量（面积、周长）的圆当量径：用和颗粒具有相同参量（面积、周长）的 圆的直径表示。圆的直径表示。(4)统统 计计 径径: 是平行于一定方向（用显微镜）测得的

3、线是平行于一定方向（用显微镜）测得的线 度度 高度高度h：颗粒最低势能态时正视投影图的高度：颗粒最低势能态时正视投影图的高度宽度宽度b：颗粒俯视投影图的最小平行线夹距：颗粒俯视投影图的最小平行线夹距长度长度l：颗粒俯视投影图中与宽度方向垂直的平行线夹距：颗粒俯视投影图中与宽度方向垂直的平行线夹距（1）轴径）轴径设，图中颗粒处于一水平面上，设，图中颗粒处于一水平面上，其正视和俯视投影图如图所示。其正视和俯视投影图如图所示。这样在两个投影图中，就能定义这样在两个投影图中，就能定义一组描述颗粒大小的几何量：高、一组描述颗粒大小的几何量：高、宽、长，定义规则如下宽、长，定义规则如下hbLbd2/ )(

4、blcd3/ )(hblxd)111/(3hblydlbzd3lbh名称名称符号符号计算式计算式物理意义或定义物理意义或定义二轴平均径二轴平均径平面图形长平面图形长径和径和短径的算术平均短径的算术平均值值三轴平均径三轴平均径立体图形三维尺寸立体图形三维尺寸的算术平均值的算术平均值三轴调和三轴调和平均径平均径同外接长方体有相同同外接长方体有相同比表面积的比表面积的球直径或立方体的一边长球直径或立方体的一边长二轴几何二轴几何平均径平均径平面图形长短径的几何平均平面图形长短径的几何平均值值三轴几何三轴几何平均径平均径同外接长方体有相同体积的同外接长方体有相同体积的立方立方体的一边长体的一边长沿一定方

5、向的颗粒的一维尺度。定向径包括三种沿一定方向的颗粒的一维尺度。定向径包括三种粒 径 名 称粒 径 名 称定定 义义定 方 向 径（Feret 径）沿一定方向测得颗粒投影的两平行线的距离。定方向等分径（Martin 径）沿一定方向将颗粒投影像面积等分的线段长度定 向 最 大 径沿一定方向测定颗粒投影像所得最大宽度的线段长度2、定向径、定向径S1S2定向最大径定向最大径Martin径径Feret径径对于一个颗粒，随方向而异，定向径可取其所有方向的平均值；对取向随机的颗粒群，可沿一个方向测定。这些参量包括体积、面积、比表面积、运动阻力、沉这些参量包括体积、面积、比表面积、运动阻力、沉降速度等。降速度

6、等。3 3、当量径（球当量径、圆当量径、当量径（球当量径、圆当量径) )a 、等体积球当量径： 与颗粒同体积球的直径36vvd b、等表面积球当量径： 与颗粒等表面积球的直径ssd 球当量径：c、比表面球当量径： 与颗粒具有相同的表面积对体积之比，即具有相同的体积比表面积的直径a、投影圆当量径Heywood径 ：与颗粒投影面积相等的圆的直径aad4b、等周长圆当量径：与颗粒投影圆形周长相等的圆的直径lld 圆当量径：vdsdsvd23/svddddfdstd名称名称符号符号计算式计算式物理意义或定义物理意义或定义体积直径（等体积直径（等体积球当量径体积球当量径与颗粒具有相同体积的圆球直径与颗粒

7、具有相同体积的圆球直径面积直径（等面面积直径（等面积球当量径）积球当量径）与颗粒具有相同与颗粒具有相同表面积表面积的圆球直径的圆球直径等比表面积球当等比表面积球当量（比表面积量（比表面积径径）与颗粒具有与颗粒具有相同外表面积和体积比相同外表面积和体积比的圆球的圆球直径直径(阻力当量径阻力当量径)阻力直径阻力直径阻力阻力 当当 时时在粘度相同的流体中，在粘度相同的流体中，以同一速度并与颗粒具以同一速度并与颗粒具有有相同运动阻力的球径相同运动阻力的球径（当（当Re很时很时， ）自由降落自由降落直径直径自由降落末速度自由降落末速度与颗粒同密度球性，在密度和粘与颗粒同密度球性，在密度和粘度相同的度相同

8、的流体中，与颗粒具有相同沉降流体中，与颗粒具有相同沉降速度球体的速度球体的直径（该球称为标准粒子）直径（该球称为标准粒子）斯托克斯斯托克斯直径直径层流区（层流区（Re小于小于0.5）颗粒的）颗粒的自由降落自由降落直径直径3/6V/S22dRdvF 5 . 0Re llsfgdu6)(0)(/18lsstgudsdddadpd名称名称符号符号计算式计算式物理意义或定义物理意义或定义投影面积直径投影面积直径与颗粒在与颗粒在稳定位置稳定位置投影面积相投影面积相等的圆直径等的圆直径随随机机定向投影面积定向投影面积直径直径与与任意位置任意位置颗粒颗粒投影面积相等投影面积相等的圆的直径的圆的直径周长直径周

9、长直径与颗粒投影外形周长与颗粒投影外形周长相等的圆相等的圆的直径的直径/4A/41A/L d 以上各种粒径是纯粹的几何表征量，描述了颗粒在三维以上各种粒径是纯粹的几何表征量，描述了颗粒在三维空间中的线性尺度。在实际粉末颗粒测量中，还有依据物理空间中的线性尺度。在实际粉末颗粒测量中，还有依据物理测量原理，例如运动阻力，介质中的运动速度等获得的颗粒测量原理，例如运动阻力，介质中的运动速度等获得的颗粒粒径，这时的粒径已经失去了通常的几何学大小的概念，而粒径，这时的粒径已经失去了通常的几何学大小的概念，而转化为材料物理性能的描述。因此，转化为材料物理性能的描述。因此，除球体以外的任何形状除球体以外的任

10、何形状的颗粒并没有一个绝对的粒径值，描述它的大小必须要同时的颗粒并没有一个绝对的粒径值，描述它的大小必须要同时说明依据的规则和测量的方法说明依据的规则和测量的方法。 粒粒群群包含不同颗粒的颗粒体包含不同颗粒的颗粒体 粒群的平均粒度可用统计数学的方法求得，粒群的平均粒度可用统计数学的方法求得，即将即将粒群划分为若干窄级别，任意粒级的粒度为粒群划分为若干窄级别，任意粒级的粒度为d d，设该粒级的颗粒个数为设该粒级的颗粒个数为n n或占总粒群质量比为或占总粒群质量比为W W，再用加权平均法计算得到总粒群的平均粒度再用加权平均法计算得到总粒群的平均粒度aDnnd/32/dWdWgDnnnnnnddd1

11、21).(21WWnWWnddd121).(21hDdnn /43/dWdW 名称名称符号符号 计算公式计算公式公式编号公式编号算术平均直径算术平均直径（2-1）几何平均直径几何平均直径（2-2）调和平均直径调和平均直径（2-3）个数基准个数基准质量基准质量基准modDmedD峰值直径峰值直径分布曲线最高频度点分布曲线最高频度点中值直径（中中值直径（中位直径）位直径）累积分布曲线的中央值（累积分布曲线的中央值（50%）D50lmDndnd /22/dWdWsmD23/ndnddWW /vmD34/ndndWWd/SD212)/(nnd213)/(dWdWVD313)/(nnd313)/(dWW

12、 长度平均直径长度平均直径（2-4）面积平均直径面积平均直径（2-5）体积平均直径（质量体积平均直径（质量平均直径）平均直径）（2-6） 平均面积直径平均面积直径（2-7）平均体积直径（重平均体积直径（重量平均直径）量平均直径） （2-8）接上表接上表 计算方法很多，不同方法计算方法很多，不同方法的平均值不同，有时相差的平均值不同，有时相差甚远。工程应用中应根据甚远。工程应用中应根据具体的对象选择某种适宜具体的对象选择某种适宜的算法。的算法。 有些可以通过理论分析确有些可以通过理论分析确定某种算法定某种算法 图图2-3 铬黄粉粒度分布曲线铬黄粉粒度分布曲线（并示出各种平均直径值）（并示出各种平

13、均直径值）l 例如，在研究水煤浆的配级时，也应用例如，在研究水煤浆的配级时，也应用体积平均直径体积平均直径。在研究添加剂和煤粒的作用机理，矿物表面改性，微细粒在研究添加剂和煤粒的作用机理，矿物表面改性，微细粒团聚等现象时，应用团聚等现象时，应用面积平均直径面积平均直径。l 总之，平均粒度计算方法的选择应根据所研究对象的性总之，平均粒度计算方法的选择应根据所研究对象的性质。只有在确定性质的基础上，计算的结果才有实际意义，质。只有在确定性质的基础上，计算的结果才有实际意义，切不可随意选用。切不可随意选用。l1频率分布和累积分布频率分布和累积分布l 频率分布频率分布 在粉体样品中，某一粒径（在粉体样

14、品中，某一粒径（Dp）或某一粒径范围内）或某一粒径范围内（Dp）的颗粒在样品中出现的个数分布或质量分布（）的颗粒在样品中出现的个数分布或质量分布（%）（微分型），即为频率，用（微分型），即为频率，用f（Dp）或）或f（Dp）表示。）表示。 %100)(NnDfpp%100)(NnDfpp或频率分布是表示某一粒径或某一粒径范围的颗粒在全部颗频率分布是表示某一粒径或某一粒径范围的颗粒在全部颗粒中所占的比例。粒中所占的比例。累积分布可分为两种：累积分布可分为两种：l筛下累积：筛下累积：按粒径从小到大进行累积，称为筛下累积（用按粒径从小到大进行累积，称为筛下累积（用“”号表示），所得到的累积分布表示小

15、于某一粒径的颗号表示），所得到的累积分布表示小于某一粒径的颗粒数（或颗粒质量）的百分数，筛下累积分布常用粒数（或颗粒质量）的百分数，筛下累积分布常用 U（D）表示；表示；l筛上累积：筛上累积：从大到小进行累积，称为筛上累积（用从大到小进行累积，称为筛上累积（用“+”号号表示），表示大于某一粒径的颗粒数（或颗粒质量）的百表示），表示大于某一粒径的颗粒数（或颗粒质量）的百分数，筛上累积分布常用分数，筛上累积分布常用R（D）。两者关系：两者关系： U(D)+R(D)=100% 表表1-5 粒度分析数据综合表粒度分析数据综合表(1: 1.414=0.7072)1iiDD59.13)()(DfDDfDa

16、粒度范围组距组距间隔间隔dD平均粒度平均粒度D颗粒数颗粒数dN频率频率f(D)/%筛下累积分布筛下累积分布 筛上累积分布筛上累积分布U（D）/% R(D)/%下下1.42.0上上0.61.710.1 0.1 上限筛上限筛 99.9下限筛下限筛 2.02.80.82.440.4 0.5 99.52.84.01.23.4222.2 2.7 97.34.05.61.64.8696.9 9.6 90.45.68.02.46.813413.4 23.0 77.48.011.23.29.624924.9 47.9 52.111.216.04.813.625925.9 73.8 26.2 16.022.46

17、.419.216016.0 89.8 10.222.432.09.627.2737.3 97.1 2.932.044.812.838.4212.1 99.2 0.844.864.019.254.460.6 99.8 0.264.089.625.676.820.2 100.0合计合计N=1000100(1)(1)列表法列表法2.2.粒度分布的表示方法粒度分布的表示方法例：表例：表1-6 1-6 以显微镜观察测量粉体的以显微镜观察测量粉体的FeretFeret径（测量总数为径（测量总数为10001000个）个）级别级别粒径间隔粒径间隔（m m）颗粒数颗粒数频度频度（f%f%）累计百分数累计百分数1

18、 1 1 12 239393.93.93.93.92 22 23 371717.17.111.011.03 33 34 488888.88.819.819.84 44 45 514214214.214.234.034.05 55 56 617317317.317.351.351.36 66 67 721821821.821.873.173.17 77 78 815115115.115.188.288.28 88 89 978787.87.896.096.09 99 9101032323.23.299.299.21010101011118 80.80.8100100 频率矩形图（直方图）频率矩形

19、图（直方图） 每一个直方图的底边长是组距，纵坐标表示各粒级尺寸颗粒的相对分布每一个直方图的底边长是组距，纵坐标表示各粒级尺寸颗粒的相对分布频率频率 （相对含量）（相对含量） 图图2-5 粒度分布矩形图粒度分布矩形图（2 2）作图法（图解法）作图法（图解法）优点是一目了然的看出各级粒度的相对含量变化及主导级别等情况；优点是一目了然的看出各级粒度的相对含量变化及主导级别等情况；缺点是非连续分布，缺少各粒级范围内的信息，因而不能完整反映粒缺点是非连续分布，缺少各粒级范围内的信息，因而不能完整反映粒群的粒度特性。群的粒度特性。la. 频率连续分布曲线：频率连续分布曲线：将矩形直方图底边组距中点连成一将

20、矩形直方图底边组距中点连成一条光滑的曲线，便形成频率分布曲线。粒度分布的纵坐标条光滑的曲线，便形成频率分布曲线。粒度分布的纵坐标不限于用颗粒个数表示，也可以使用颗粒质量表示，这时不限于用颗粒个数表示，也可以使用颗粒质量表示，这时所得到的分布，称为质量粒度分布所得到的分布，称为质量粒度分布。图中，横坐标为粒群直径，纵坐标是大于或小于某指定粒图中，横坐标为粒群直径，纵坐标是大于或小于某指定粒度度 的累积频率（或产率）的百分数。前者称作的累积频率（或产率）的百分数。前者称作筛上筛上（正）累积分布曲线（正）累积分布曲线R(D),后者称作筛下后者称作筛下(负负)累积分布曲线累积分布曲线U(D)。D根据频

21、率分布函数根据频率分布函数f（D）的概念，可求得任意粒级的概念，可求得任意粒级DiDi+1范围内颗粒的相范围内颗粒的相对百分含量：对百分含量：1)()()(iiDDDdDfDF若从最小粒径若从最小粒径Dmin到某一粒径到某一粒径D（DDmin)范围内对范围内对f（D）进行积分，可获得）进行积分，可获得DminD粒径范围内的颗粒相对粒径范围内的颗粒相对累积百分含量：累积百分含量：dDDfDUDDmin)()(颗粒筛下累积分布函数颗粒筛下累积分布函数U(D) ：若从最大粒径若从最大粒径D 到某一粒径到某一粒径Dman （DDman)范围内对范围内对f（D）进行积分，可获得）进行积分，可获得D Dm

22、an粒径范围内的颗粒相粒径范围内的颗粒相对累积百分含量：对累积百分含量：dDDfDRDDmax)()(颗粒筛上累积分布函数颗粒筛上累积分布函数R(D)： (%)100(%)100%100minmaxDdDfDdDfDUDRDUDRDDDD累积分布曲线关系累积分布曲线关系min)()(DDdDDfDU（3）矩值法）矩值法矩值法就是以数理统计原理来计算粒群（即样本）粒度分布矩值法就是以数理统计原理来计算粒群（即样本）粒度分布的特征值，如平均粒度、方差等。的特征值，如平均粒度、方差等。设观测数设观测数D1、D2Dn为取自某整体（粒群）的一个容量为取自某整体（粒群）的一个容量（级别数（级别数颗粒数量）

23、为颗粒数量）为n的随机样本，则定义第的随机样本，则定义第k阶样本阶样本的的原点矩原点矩为：为：a= k, k=1，2， k,11nikikDna= k=1,2， （2-19）k=1时，得到样本的平均数为：时，得到样本的平均数为： = niiDnDa111（2-20） 第第k阶样本的阶样本的中心矩中心矩则定义为：则定义为：（2-21）显然，显然，k=1时，有时，有 (2-22)中心矩和原点矩的关系为：中心矩和原点矩的关系为：kniikDDnm11K=1,2，。01111niiDDnm443213144312133212236423aaaaaamaaaamaam (2-23) (2-24) (2-

24、25)对于凡是可以用矩表示的总体数字特征，都可以写出与其相应的样本对于凡是可以用矩表示的总体数字特征，都可以写出与其相应的样本数字特征，如：数字特征，如： 样本方差样本方差方差大小表征粒度分布的离散程度方差大小表征粒度分布的离散程度 样本标准方差样本标准方差 样本偏倚系数样本偏倚系数231213233niiniisDDDDnmmC （2-28）该值表示粒度分布偏离对称分布的程度该值表示粒度分布偏离对称分布的程度 （2-26）21221niiDDnma212121niiDDnma（2-27） 样本峰凸系数样本峰凸系数224mmniiniiEDDDDnmmC12214224)()( （2-29）这

25、是衡量分布曲线形状峰度或陡峭度的指标这是衡量分布曲线形状峰度或陡峭度的指标 当样本容量很大时，样本数字特征的计算十分繁杂，此时可将测值适当当样本容量很大时，样本数字特征的计算十分繁杂，此时可将测值适当分组，用每组的中值，即粒级的平均粒度，代替该组的所有测值进行计分组，用每组的中值，即粒级的平均粒度，代替该组的所有测值进行计算，则算，则k阶原点矩定义为：阶原点矩定义为： njjnjkjjkfDfa11 (2-30) 式中式中n为组数（级别数）；为组数（级别数）；Dj为第为第j组的中值；组的频率数（产率）为组的中值；组的频率数（产率）为fj，则有：则有：njjnjjjfDfDa111（j=1，2）

26、 （2-31） a1即为该粒群的平均粒度。同理可得到：即为该粒群的平均粒度。同理可得到：njjnjjjfDfa1122 (2-32)njjnjjjfDfa1133(2-33) 同理，还可以计算出样本各阶中心矩同理，还可以计算出样本各阶中心矩 （4）函数法）函数法 (粒度特性方程粒度特性方程) 函数法就是用函数法就是用数学方法数学方法将物料粒度将物料粒度分析数据归纳，整理并建立能反映物料分析数据归纳，整理并建立能反映物料粒度分布规律的粒度分布规律的数学模型数学模型粒度特性粒度特性方程方程。到目前为止，粒度特性方程均为。到目前为止，粒度特性方程均为经验式经验式。222exp21)(DDDfDDni

27、iiDDn12njiiDnnD11其频率分布函数为其频率分布函数为正态分布是一条钟形对称曲线正态分布是一条钟形对称曲线式中：式中：平均粒径平均粒径 分布的标准偏差，即粒径分布的标准偏差，即粒径Di对于平均径对于平均径 的二次的二次矩的平方根矩的平方根表征粒度分布的宽窄程度表征粒度分布的宽窄程度筛下累积分布为筛下累积分布为dDDDDUDD222exp21)(min正态分布的频率分布曲线正态分布的频率分布曲线关于坐标：关于坐标：a.常规的算术坐标；常规的算术坐标；b.横坐标为算术坐标，纵坐标则按粒横坐标为算术坐标，纵坐标则按粒径的对数表示（正态概率纸）；径的对数表示（正态概率纸）；c.横坐标与纵坐

28、标均为对数坐标；横坐标与纵坐标均为对数坐标；(对对数正态概率纸数正态概率纸)利用正态概率纸标绘正态分布利用正态概率纸标绘正态分布曲线和求取决定曲线的曲线和求取决定曲线的平均直平均直径和标准偏差径和标准偏差非常方便非常方便正态分布在正态概率纸上作图呈一直线。正态分布在正态概率纸上作图呈一直线。87.15505013.84UUDDDDD84.13,D15.87表示小于该表示小于该D的累的累积百分数分别为积百分数分别为84.13%和和15.67%50DD 累积筛下百分数累积筛下百分数222exp21)(DDDf许多细磨产物的粒度组成，通常都服从对数正态分布，其频许多细磨产物的粒度组成，通常都服从对数

29、正态分布，其频率曲线不对称，偏向小粒径一侧率曲线不对称，偏向小粒径一侧其数学表达式：其数学表达式：密度函数式密度函数式筛下累积分布函数式筛下累积分布函数式l式中式中g几何平均直径，几何平均直径， 几何标准偏差，可按下式计算几何标准偏差，可按下式计算： ggggDDDDDfg225022ln2lnlnexp2ln1ln2lnlnexp2ln1)(lg)(lnln2)ln(lnexp2ln1)(lnmin22DdDDDUDDgggnDDngg/)ln(lnln2gnnDDgln如果粒群的粒度组成符合对数正态分布，在对数正态概率如果粒群的粒度组成符合对数正态分布，在对数正态概率纸上作图，其测值必定分

30、布在一条直线附近，纸上作图，其测值必定分布在一条直线附近， 即为直即为直线的斜率。线的斜率。粒群的平均粒度在累积分布曲线图上对应于粒群的平均粒度在累积分布曲线图上对应于50处处,它等于它等于几何平均直径。而几何标准偏差为几何平均直径。而几何标准偏差为:g87.15505013.84lnlnlnlnlnDDDDg累积筛上累积筛上累积筛下累积筛下13.845087.1587.15505013.8450DDDDDDDDgUg或或D84.13表示小于该表示小于该D的累积百分数分别的累积百分数分别84.13%; D15.37表示小于该表示小于该D的累积百分数分别的累积百分数分别15.87%Dg=D50累

31、积筛上累积筛上累积筛下累积筛下13.845087.1587.15505013.8450DDDDDDDDgg图图2-9 在对数在对数-概率纸上点绘的对数正态分布概率纸上点绘的对数正态分布D15. 87 D84.13D50横坐标和纵坐标均为对数坐标横坐标和纵坐标均为对数坐标小于某一尺寸的累积百分数小于某一尺寸的累积百分数对数正态概率纸的纵坐标与正态概率纸一样，横坐对数正态概率纸的纵坐标与正态概率纸一样，横坐 标用对数标尺标用对数标尺举例举例1：三种曲线都符合对三种曲线都符合对数正态分布，其几数正态分布，其几何平均径即中位径何平均径即中位径均为均为10um,几何标准几何标准偏差分别为：偏差分别为：

32、1.26; 2.00; 3.16;按按 对数正态分布示例对数正态分布示例gDlnlnDln则相应的则相应的 (lnD的标准偏差）各为的标准偏差）各为 0.1; 0.3; 0.5; 通常某指定变量颗粒通常某指定变量颗粒个数符合个数符合某种分布规律时，其某种分布规律时，其质量质量分布就不符合该分布就不符合该规律，反之亦然。但规律，反之亦然。但对数分布不同，如对数分布不同，如果颗粒个数服从对数正态分布，其它如颗粒面积、质量果颗粒个数服从对数正态分布，其它如颗粒面积、质量分布也是如此，而且有相同的偏差。分布也是如此，而且有相同的偏差。凡符合对数正态分布的粒群，由解析法可得各种平均粒径凡符合对数正态分布

33、的粒群，由解析法可得各种平均粒径。?当颗粒群符合对数正态分布时，个数基准分布和质量当颗粒群符合对数正态分布时，个数基准分布和质量基准分布符合以下换算关系：基准分布符合以下换算关系：50D250ln3expgD质量基准中位径质量基准中位径 =个数基准中位径个数基准中位径gg质量基准几何标准偏差质量基准几何标准偏差 =个数基准几何标准偏差个数基准几何标准偏差 表表2-7 对数正态分布各种平均直径的计算公式对数正态分布各种平均直径的计算公式aDnnd /)(ln5 . 0exp250gDlmD)(/)(2ndnd)(ln5 . 1exp250gDsmD)(/ )(23ndnd)(ln5 . 2exp

34、250gDwmD)(/ )(34ndnd)(ln5 . 3exp250gDsDnnd/ )(2)exp(ln250gDVD33/ )(nnd)(ln5 . 1exp250gDdD)/(/dnn)(ln5 . 0exp250gD名称名称符号符号个数基准个数基准计算公式计算公式公式编号公式编号算术平均直径算术平均直径（2-43）长度平均直径长度平均直径（2-44）面积平均直径面积平均直径（2-45）质量平均直径质量平均直径（2-46）平均面积直径平均面积直径（2-47）平均体积直径平均体积直径（2-48）调和平均直径调和平均直径（2-49） 例题例题1.2：下表是根据某淀粉的光学显微镜测定的：下表

35、是根据某淀粉的光学显微镜测定的Feret径的汇总表。将径的汇总表。将2747个测定值按个测定值按20um以上者间隔以上者间隔10um，20um以下者间隔以下者间隔5um分组。试分组。试用将这些数值在用将这些数值在对数概率纸上对数概率纸上作图，并求作图，并求D50，gg的值。其次，求各种平的值。其次，求各种平均径，而且换算成质量基准分布，画在分布线图上。已知均径，而且换算成质量基准分布，画在分布线图上。已知淀粉的密度为淀粉的密度为1400kg/m3（lg60）（lg50）（lg40）（lg30）（lg20）（lg15）（lg10）442747=1.6%1032747=3.8%24652747=8

36、9.7%5942747=21.6%14822747=54%20402747=74.2%2592747=9.4%筛下累积筛下累积筛上累积筛上累积解：如图所示，作图得解：如图所示，作图得245.064.1lnln64.17 .2004.3464.162.127 .2062.1210.1lglg04.34532.1lglg7 .20317.1lg225013.8487.155087.1514.8487.1513.8487.1513.8487.155050gUgUgURUURURDDDDDDDDDDDD或个数分布各平均径各平均径 如下表如下表umDDumDDumDDumDDumDDumDDumDDum

37、DDdvswmsmlma4 .1444. 1/7 .20)245. 05 . 1exp(500 .3044. 17 .20)245. 05 . 1exp(504 .2628. 17 .20)245. 0exp(509 .4836. 27 .20)245. 05 . 3exp(502 .3885. 17 .20)245. 05 . 2exp(500 .3044. 17 .20)245. 05 . 1exp(504 .2313. 17 .20)245. 05 . 0exp(502 .4308. 27 .20)245. 03exp(5050. .盖茨（盖茨（GatesGates）- -高登（高登（G

38、audinGaudin）- -舒兹曼（舒兹曼（SchutzmannSchutzmann）粒度特性方程，简称粒度特性方程，简称GGSGGS方程，即方程，即式中式中 U（D）筛下物（负累计产率）筛下物（负累计产率）% ,Dmax颗粒群中尺寸最大颗颗粒群中尺寸最大颗粒粒径；粒粒径； D粒度；粒度； m分布模数，与物料性质，设备性能有关分布模数，与物料性质，设备性能有关将上式两边取对数得将上式两边取对数得：(%)(100)(maxmDDDU成线性方程方程变为令令CXYDmXYDUCDmDUDmDmDUlg100)(lglg100)(lglglg100)(lgmaxm表征粒群粒度表征粒群粒度分布范围的宽

39、窄分布范围的宽窄程度。程度。m越大表越大表示粒度分布范围示粒度分布范围越窄越窄图图2-7 典型的典型的GGS质量粒度分布图解质量粒度分布图解方程在对数坐标上是一条直线。过纵坐标方程在对数坐标上是一条直线。过纵坐标1.0处，平行横处，平行横坐标直线和粒度分布线交点对应横坐标上的值即为坐标直线和粒度分布线交点对应横坐标上的值即为Dmaxm直线斜率直线斜率筛下累积筛下累积U0.8413U0.1587D84.13%D15.87%U0.5D50. .罗辛（罗辛（RosionRosion）拉姆勒（拉姆勒（RmmlerRmmler）方程）方程RRSBRRSB 式中式中 R（D）正累积产率，正累积产率，% ；

40、U（D）负累积产率，负累积产率，% D粒度；粒度； De临界粒度，即临界粒度，即R（D）=36.8%（D=De）或）或U（）（）63.2%时，对应的粒度；时，对应的粒度； n-方程模数，也称均匀性系数，表示粒度范围的宽窄。方程模数，也称均匀性系数，表示粒度范围的宽窄。n大表示粒度分布范围窄，大表示粒度分布范围窄，n小则相反。小则相反。(%)(exp100)(neDDDR)(exp100100)(neDDDU或或若对上式两边除以若对上式两边除以100，并对其倒数取二重对数得：，并对其倒数取二重对数得：以以 为纵坐标，以为纵坐标，以 为横坐标，则得斜率为为横坐标，则得斜率为n的一的一条直线，其截距

41、为条直线，其截距为K。由。由R(D)=36.8处可得处可得De当和当和e的比值小于时的比值小于时RRSB方程和方程和GGS方程一致。而且方程一致。而且实践证明：在较粗的粒度范围时，方程有惊人的重现性，实践证明：在较粗的粒度范围时，方程有惊人的重现性，特别是特别是纸的应用，使纸的应用，使RRSB方程在实践中很受欢迎。方程在实践中很受欢迎。 KDneDnDnDRelglglglglg)(100lglg)(100lglgDRDlg图图2-8 RRSB分布图分布图例题例题2 用冲击磨粉碎啤酒瓶，试料全部通过用冲击磨粉碎啤酒瓶，试料全部通过3.36mm的标准筛，用标准的标准筛，用标准筛测定的粒度结果如表

42、所列。试用这些数值在筛测定的粒度结果如表所列。试用这些数值在R-R图上作图，并求图上作图，并求De;n值，写出值，写出R-R分布式。如取啤酒瓶的密度为分布式。如取啤酒瓶的密度为2600kg/m3，试计算，试计算其比表面积其比表面积Sw。kgmDDSSDDReeVw/7 . 52600109 . 117.289 . 1exp100)(231 . 1比面积因此，分布式解：如取解：如取mm作为粒度的单作为粒度的单位，由表作图得位，由表作图得De=1.9mm,n=1.1;SVDe=28.17kgmSSDDRVw/7.52600109.117.289.1exp100)(231.1比面积因此，分布式 颗粒

43、的形状对粉体的物理性能、化学性能、输颗粒的形状对粉体的物理性能、化学性能、输运性能和工艺性能有很大的影响。例如，运性能和工艺性能有很大的影响。例如，球形颗粒球形颗粒粉体的流动性、填充性好，粉末结合后材料的均匀粉体的流动性、填充性好，粉末结合后材料的均匀性高。涂料中所用的粉末则希望是性高。涂料中所用的粉末则希望是片状颗粒片状颗粒，这样，这样粉末的覆盖性就会较其他形状的好。科学地描述颗粉末的覆盖性就会较其他形状的好。科学地描述颗粒的形状对粉体的应用会有很大的帮助。粒的形状对粉体的应用会有很大的帮助。 2.2 颗粒的形状颗粒的形状同颗粒大小相比，描述颗粒形状更加困难些。同颗粒大小相比，描述颗粒形状更

44、加困难些。为方便和归一化起见，人们规定了某种方法，使形为方便和归一化起见，人们规定了某种方法，使形状的描述量化，并且是无量纲的量。这些形状表征状的描述量化，并且是无量纲的量。这些形状表征量可统称为形状因子量可统称为形状因子.颗粒的形状颗粒的形状-颗粒的轮廓边界或表面上各点的图象颗粒的轮廓边界或表面上各点的图象. 颗粒的形状是继颗粒大小之后又一重要的几何特征。颗粒的形状是继颗粒大小之后又一重要的几何特征。 颗粒形状的分析有定性和定量两方面。颗粒形状的分析有定性和定量两方面。2.2.1 颗粒形状的定性分析颗粒形状的定性分析 通常用一些定性的术语描述颗粒的形状。通常用一些定性的术语描述颗粒的形状。

45、颗粒形状的定性分析非常粗糙，不够确切。它难于确颗粒形状的定性分析非常粗糙，不够确切。它难于确切描述颗粒的形状，更不便于进行数学处理。因此，定切描述颗粒的形状，更不便于进行数学处理。因此，定量分析颗粒形状一直是人们悉心研究，期待解决的课题。量分析颗粒形状一直是人们悉心研究，期待解决的课题。 表表2-8 颗粒形状的定义颗粒形状的定义名称名称定义定义形状形状球形球形圆形球体圆形球体滚圆形滚圆形表面比较光滑近似椭圆形表面比较光滑近似椭圆形多角形多角形具有清晰边缘或粗糙的多面体具有清晰边缘或粗糙的多面体不规则体不规则体无任何对称的形状无任何对称的形状粒粒状状体体具有大致相同的量纲的不规则体具有大致相同的

46、量纲的不规则体片状体片状体板片状形体板片状形体枝状体枝状体形状似树枝体形状似树枝体纤维状纤维状规则或不规则的线粒体规则或不规则的线粒体多孔体多孔体表面或体内有发达的孔隙表面或体内有发达的孔隙定量描述颗粒形状的方法，大致可以分为两类：定量描述颗粒形状的方法，大致可以分为两类：l.用用一组数一组数来表示，而且按照这一组数据可以再现颗粒来表示，而且按照这一组数据可以再现颗粒的形状，如付立叶定律、神经回路网络的形状，如付立叶定律、神经回路网络法等法等，这类方法，这类方法需要处理大量的数据，必须借助于计算机图需要处理大量的数据，必须借助于计算机图象处象处理技术理技术才行。才行。l用用一个数一个数从不同的

47、角度来表示颗粒的形状，利用从不同的角度来表示颗粒的形状，利用颗粒颗粒的各种特征粒径与其表面积、体积之间的关系，来的各种特征粒径与其表面积、体积之间的关系，来定义定义各种形状系数，也可以与其某一基准（通常是球）各种形状系数，也可以与其某一基准（通常是球）相比相比较，来定义各种形状系数，在工程上后者用的较多。较，来定义各种形状系数，在工程上后者用的较多。对规则形状的颗粒而言，其表面积、体积分别和线性尺寸成平方或三对规则形状的颗粒而言，其表面积、体积分别和线性尺寸成平方或三次方的关系。比例关系被定义为次方的关系。比例关系被定义为形状系数形状系数颗粒的直径为颗粒的直径为d，体积为，体积为V，面积为，面

48、积为S，按上述定义得：，按上述定义得：dddSddVSSdVdSsvcvsvvSVvssvvs3232/表面积形状系数表面积形状系数 体积形状系数体积形状系数 比表面形状系数比表面形状系数因单位体积颗粒的比表积因单位体积颗粒的比表积 Carman形状系数形状系数所以有所以有1.规则形状的单颗粒规则形状的单颗粒2.2.2.1 形状系数形状系数以颗粒几何参量的比例关系来表示颗粒与规则体的偏离程度以颗粒几何参量的比例关系来表示颗粒与规则体的偏离程度vsvv3131322vddd6666dSVVVSVSc颗粒的实际表面积面积与颗粒等体积的球体表Carman形状系数形状系数c是与颗粒层流动阻力有关的形状

49、系是与颗粒层流动阻力有关的形状系数，被定义为数，被定义为2. .不规则单颗粒不规则单颗粒对于不规则颗粒，其形状系数随粒度计算方法而变，例对于不规则颗粒，其形状系数随粒度计算方法而变，例如用投影面积直径如用投影面积直径 表示时，上述三种形状系数分别为表示时，上述三种形状系数分别为：avasaSVaavaasdVdS.3.2./式中符号含义同前，而式中符号含义同前，而下标下标a a表示测得的直径表示测得的直径是投影面积直径。是投影面积直径。3.3.颗粒群颗粒群如果研究对象是粒群，求其相应的系数时，分别要用平均如果研究对象是粒群，求其相应的系数时，分别要用平均值，即：值，即： 32/dVdSVsad

50、表2-9 颗粒的形状系数svSV6/8 . 012/2/34/形状类型形状类型球形（球形（l=b=h=d） 6圆锥体（圆锥体（l=b=h=d） 9.7立方体（立方体（l=b=h=d） 6 1 6圆板（圆板（l=b,h=d） 6方柱体（方柱体（l=b=h） 6 1 6规则颗粒规则颗粒as .av .asv .形状类型与实例形状类型与实例浑圆体：经水冲蚀的沙子，熔浑圆体：经水冲蚀的沙子，熔凝烟灰，雾化金属凝烟灰，雾化金属2.73.40.320.418.348.29粉磨的角状矿粒：煤，石灰石，粉磨的角状矿粒：煤，石灰石，砂子砂子2.53.20.20.2812.511.43片状矿粒：石墨粉，滑石，石片

51、状矿粒：石墨粉，滑石，石膏膏2.02.80.120.1616.6717.5薄板片：云母，石墨，铝片薄板片：云母，石墨，铝片1.61.70.010.0316056.67不规则颗粒不规则颗粒请同学课后自己计算请同学课后自己计算由图可见，随粒度的减小，颗粒的形状近似不变，而且各由图可见，随粒度的减小，颗粒的形状近似不变，而且各种矿物细颗粒的形状越发接近。种矿物细颗粒的形状越发接近。为什么？为什么？2.2.2.2 2.2.2.2 形状指数形状指数 形状指数：以颗粒外截形体几何参量的无因次数组来表示形状指数：以颗粒外截形体几何参量的无因次数组来表示颗粒的形状特征。颗粒的形状特征。 球形度球形度 颗粒颗粒

52、球颗粒的实际表面积面积与颗粒等体积的球体表SDSSs2一些规则形状体的球形度一些规则形状体的球形度： 一个任意形状的颗粒，测得该颗粒的长、宽、一个任意形状的颗粒，测得该颗粒的长、宽、高为高为l、b、h，定义方法与前面讨论颗粒大小的三定义方法与前面讨论颗粒大小的三轴径规定相同，则：轴径规定相同，则：hbm颗粒的高度颗粒的宽度bln颗粒的宽度颗粒的长度扁平度扁平度伸长度伸长度（2）扁平度扁平度m与伸长度与伸长度n形状系数和形状指数区别？形状系数和形状指数区别？l将粒子的各种无因次组合称为将粒子的各种无因次组合称为形状指数形状指数，将立体几何各变量的关系定义为将立体几何各变量的关系定义为形状系数形状

53、系数。 2.2.3.1傅立叶（傅立叶（Fourier）分析法）分析法 先进的图象处理技术，为颗粒形态研究提供了现代，先进的图象处理技术，为颗粒形态研究提供了现代，科学和方便的方法。傅立叶分析法就是其中的一种。美科学和方便的方法。傅立叶分析法就是其中的一种。美国，加拿大，德国等一些学者，自国，加拿大，德国等一些学者，自2020世纪世纪7070年代开始，年代开始，着重对它进行研究，结果表明，各阶着重对它进行研究，结果表明，各阶FourierFourier系数可作系数可作为形状指数来看待。如前述球形度，粗糙度等形状指数为形状指数来看待。如前述球形度，粗糙度等形状指数都可从都可从FourierFour

54、ier系数求出。系数求出。 FourierFourier分析法有分析法有极坐标法极坐标法（R R， ）法，用于无凸形颗粒）法，用于无凸形颗粒分析分析 ， 和和切线法切线法（ ，L)L)法，用于凹形颗粒分析。法，用于凹形颗粒分析。2.2.3颗粒形状的数学分析颗粒形状的数学分析一、一、极坐标法极坐标法（R,）: : 步骤：先在颗粒轮廓上取点，测量出每个点的（步骤：先在颗粒轮廓上取点，测量出每个点的（x,yx,y）坐）坐标，求出面积质心作为质点，然后以该质心为极坐标点，标，求出面积质心作为质点，然后以该质心为极坐标点，把直角坐标转换成把直角坐标转换成（R,）极坐标，再将）极坐标，再将（R,）函数）函

55、数按按Fourier级数展开如下：级数展开如下： )sincos()cos()(1010nbnaAnAARnnnnnn式中nA0Ananbn式中式中 是是Fourier系数；系数； 是相角是相角 n是展开系数是展开系数,R随随的变化以的变化以2为周期。为周期。 Fourier分析法分析法颗粒边界线所包围图形的面积质心坐标为颗粒边界线所包围图形的面积质心坐标为一次矩）(iyicixicSMySMx由于极角由于极角与颗粒投影与颗粒投影图的位置有关，图的位置有关，规定投规定投影轮廓最大长度方向为影轮廓最大长度方向为极半径极半径=0的位置的位置A0 下列各下列各式计算式计算 ：0AnAnanbndnR

56、bdnRadRARRRRRnnniiiiiiiiisin)(1cos)(1)(1)()(2020201111nnnnnnabtgbaA/222分别为分别为nanb0A由若干点的（由若干点的（R、）得出）得出Fourier系数系数 、 、 这些数值便含有颗粒形状与尺寸的所有信息。若各这些数值便含有颗粒形状与尺寸的所有信息。若各 、 都等于零，则图形为圆，其半径为都等于零，则图形为圆，其半径为A0。零。零阶系数。阶系数。nanb 如将各阶系数都用如将各阶系数都用A0去除，便得到归一化系数。去除，便得到归一化系数。这些归一化系数就反映颗粒的形状。这些归一化系数就反映颗粒的形状。其中低阶系数其中低阶系

57、数（n较小时）较小时） 反映颗粒的主要特征，反映颗粒的主要特征， （n较较大时）高阶系数大时）高阶系数 、 反映颗粒形状的细节反映颗粒形状的细节nanbnanb二维情况下，球形度就是圆形度，即：二维情况下，球形度就是圆形度，即：)(212nnnsba伸长度在这里是过重心的长宽比；过重心的最大伸长度在这里是过重心的长宽比；过重心的最大尺寸等于尺寸等于R(0)+R(180)1203210321022)() 0 (3cos2coscos)(03cos02cos0cos) 0 (nnaARRaaaARaaaAR),(l对于某些具有凹形特征的颗粒，若采用极坐标法，对于某些具有凹形特征的颗粒，若采用极坐标

58、法，Ri可能可能会产生多值问题，这时可采用切线法对颗粒投影轮廓进行会产生多值问题，这时可采用切线法对颗粒投影轮廓进行Fourier级数表征级数表征Ri多值问题多值问题设变量设变量 ,L表示颗粒轮廓线的总周长，则颗粒投表示颗粒轮廓线的总周长，则颗粒投影轮廓线可用影轮廓线可用Fourier级数表征：级数表征：Llt2)12.,3.2.1(2cos12sin11sinKt)cos()(122121111010KNyxllLLKlKbLKlKalLbKtatNiiiiKiiiNiiKiNiiKiNiiKKKMandelbrot在对皱折曲线进行广泛研究后，引入分数维在对皱折曲线进行广泛研究后，引入分数维

59、（Fractal dimension）来描述没有单一周长的曲线。）来描述没有单一周长的曲线。最早是最早是RichardsonRichardson对粗糙皱折边界进行了研究。他用脚规对粗糙皱折边界进行了研究。他用脚规沿着地图上的海岸线一步步地估算出各国海岸线长度。沿着地图上的海岸线一步步地估算出各国海岸线长度。发现当减小步长时，估算的周长将倾向于无限地增大，发现当减小步长时，估算的周长将倾向于无限地增大，即海岸线长度随量度单元减小而趋于无限地增大。他得即海岸线长度随量度单元减小而趋于无限地增大。他得出结论出结论 ：与：与n n多边形（多边形（n n为步长数）近似的海岸线具有为步长数）近似的海岸线具

60、有 的周长的周长 Pn周长可按下式估算周长可按下式估算： Pn1 DPk显然，在显然，在ln 与与ln 图中的曲线斜率为图中的曲线斜率为1-D。参数。参数D表示被表示被测海岸线的特性。测海岸线的特性。Mandelbrot发现许多天然的粗糙边界都具有类似的性质，发现许多天然的粗糙边界都具有类似的性质，并按下式定义了粗糙边界的分数维：并按下式定义了粗糙边界的分数维：P1D 式中，式中， 即图上所得的斜率，即图上所得的斜率， 0，故，故D（1，2）。）。维维数数D D越大，表明曲线越粗糙，填充空间的能力也越强越大，表明曲线越粗糙，填充空间的能力也越强。 分数维可以作为粗糙曲线的粗糙定量化的表征分数维