微积分下 第二章二重积分

1、一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分第六章第六章 多元数量值函数积分学多元数量值函数积分学三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 解法解法: : 类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底底 xoy 面上的闭区域 D顶顶: : 连续曲面侧面：侧面：以D的边界为准线 ,母线平行于z轴的柱面求其体积.或“分割,代替,求和,取

2、极限” D),(yxfz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “大化小,常代变,近似和,求极限” D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体（即分割）k),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 （即近似代替）（即求和）4)“取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk机动 目录 上页

3、 下页 返回 结束 2. 2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量 M .度为),(),(常数若yx设D 的面积为 ,则M若),(yx非常数 ,仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小区域 .D机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx2)“常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk

4、则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义: :),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),

5、(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(问题：问题： 1. 存在性存在性？ 2. 性质性质？ 3. 计算计算？若函数),(yxf),(yxf定理1. .在 D上可积可积.在有界闭区域 D上连续, 则(证明略)三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyx

6、fkd),(. 1( k 为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积, 则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6.设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为 ,MyxfmDd),(则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分

7、中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证: : 由性质6 可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理,至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 220yx 0)ln(22 yx例例1.1.判断的正负.)0(dd)ln(122yxyxyx解：解：1yx当时，故0)ln(22 yx又当时，1 yx于是2)(yx 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 0dd)ln(122yxyxyx1111xyoD解解:2xy例例2 2 比较积分比较积分 与与ln()Dxy

8、 d 2ln()Dxyd 的大小的大小, , 其中其中D是三角形闭区域是三角形闭区域, , 三顶点各为三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).三角形斜边方程三角形斜边方程 在在D内有内有 12xye 0ln()1xy于是于是 2ln()ln()xyxy 2lnlnDDxy dxyd例例3. 3. 估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: : D的面积为2001010214由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo D8.8.设

9、函数),(yxfD位于x 轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于y轴对称, 函数关于变量x有奇偶性时,仍1D在D上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动 目录 上页 下页 返回 结束 xbad 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd

10、),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD机动 目录 上页 下页 返回 结束 ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.求两个底圆半径为R直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解解: : 设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体

11、的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质(与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同,且非负, 思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: : 321,III由它们的积分域范围可知312II

12、I11xyo1.1. 比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.设D 是第二象限的一个有界闭域, 且 0 y 1, 则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyox1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 3. 计算.dd)(sin2200yxyxI解解: :)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind22000

13、2机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 4.证明:, 2d)cossin(122Dyx其中D为.10, 10yx解解: : 利用题中 x , y 位置的对称性, 有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又D 的面积为1 , 故结论成立 .yox1D1机动 目录 上页 下页 返回 结束 5 . 04 . 0I备用题备用题1.1.估计 的值, 其中D 为DxyyxI162d22. 20, 10yx解解: :被积函数16)(1),(2yxyxf2D 的面积41)0 , 0( fM的最大值),(yxfD上在51431)2, 1 (22