2024年上海华东师范大学附中自主招生数学卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）2024年上海市华东师大二附中自主招生数学试卷一、填空题1．a，b为不相等的实数，满足，且，求的值．2．如图，有一系列正方形，则的坐标为_______．3．有个女孩，个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子，共摘个桃子，则男孩有_______________个．4．对一切实数k，有成立，求k的最大值．5．二次函数与x轴的交点为A，B，已知A，B到原点的距离均小于1，且a，b，c为正整数，求的最小值．6．一个边形的一个外角为，与这个外角不相邻的所有内角和为，则与的关系是什么？7．已知，无论t取任何实数，均满足，求的形状．8．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为______．二、解答题9．已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．(1)若．①求点和点的坐标；②当时，求点的坐标；(2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；(3)若CD＝1，EH＝3，求BF及AF长．11．已知n、k为正整数，且满足．(1)对于所有满足条件的n、k，求的最大值；(2)若n满足：恰有r个k使不等式（*）成立，则称n为“r阶好数”，所有“r阶好数”的个数记为，求函数的解析式．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．4【分析】本题考查了二次函数的性质，先根据求出，进而可求出的值．【详解】解：∵，∴与关于抛物线的对称轴对称．∵抛物线的对称轴是直线，∴，∴，∴．2．【分析】本题考查了图形的坐标规律变化类问题，根据图形可得，，，，即得圆心的序号为偶数时，横坐标为，纵坐标为，据此即可求解，根据图形找到变化规律是解题的关键．【详解】解：由图得到，，，，，即圆心的序号为偶数时，横坐标为，纵坐标为，∴的坐标为，故答案为：．3．或【分析】本题主要考查因式分解的应用，根据题意，先写出的形式，再根据能被整除，即可得出答案．【详解】解：根据题意将变形可得，∵能被整除，∴能被整除，∵n为正整数，∴为大于11的整数，∵30的因数中大于的有和，∴若，则；若，则，∴或，故答案为：或．4．【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式组的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答．【详解】解：由题意得且，解得且，∴，设，则，∵，∴，即，∴的最小值为，∴的最大值为．5．11【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，理解题意，结合题意建立不等式求解是解题关键．设，根据题意得出，，确定，得出，再根据二次函数的性质得出，利用二次根式的性质化简求解即可．【详解】解：设，∵a，b，c为正整数，∴，∴．∵，∴．①∵A，B到原点的距离均小于1，∴，∴．∴，∴②∵，∴抛物线开口向上，∴时，，得．∵均为正整数，∴③，∴由①③得，∴④由②④得，即，∴，∴．∵，∴．∵使得的值最小，∴取时，满足题目条件，∴的最小值为．6．【分析】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式求解即可．【详解】解：根据题意得，，解得，7．直角三角形【分析】题目主要考查向量的计算及性质，一元二次方程的知识，熟练掌握向量的性质是解题关键．由向量不等式恒成立，通过平方后转化为关于t的二次不等式，利用判别式条件得出向量点积关系，进而推导出向量垂直，确定三角形形状．【详解】解：设向量，向量，根据题意得：对所有实数成立．两边平方得，∴整理得：令，，∴不等式为：，∵该二次函数对所有成立，且开口向上，∴：∴∴，即，代入得：，∴．∵，∴，∴，即垂直于，∴为直角三角形．8．6﹣2【分析】如图作A′H⊥BC于H．由△CDF∽△A′HC，可得，延长构建方程即可解决问题.【详解】如图作A′H⊥BC于H．∵∠ABC＝90°，∠ABE＝∠EBA′＝30°，∴∠A′BH＝30°，∴A′H＝BA′＝1，BH＝A′H＝，∴CH＝3−，∵△CDF∽△A′HC，∴，∴，∴DF＝6−故答案为6−．【点睛】：本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．9．(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为(2)【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标；②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解；（2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为．∵，∴点的坐标为．当时，．解得．又点在点的左侧，∴点的坐标为．②过点作轴于点，与直线相交于点．

∵点，点，∴．可得中，．∴中，．∵抛物线上的点的横坐标为，其中，∴设点，点．得．即点．∴．中，可得．∴．又，得．即．解得(舍)．∴点的坐标为．（2）∵点在抛物线上，其中，∴．得．∴抛物线的解析式为．得点，其中．∵，∴顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．∴．即．解得(舍)．同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．∵，∴．即．解得(舍)．∴点的坐标为．

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（1）证明：如图，连接OE．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：如图，连接DE．∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．在△CDE与△HFE中，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF．（3）【分析】（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；（2）连接DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF；（3）由（2）中CD=HF，即可求出HF的值，先求OA和OF的长度，再由AF＝OA-OF求出AF的值；【详解】证明：（1）略（2）略（3）由（2）得，CD=HF．又CD=1∴HF＝1在Rt△HFE中，EF=＝∵EF⊥BE∴∠BEF=90°∴∠EHF=∠BEF=90°∵∠EFH=∠BFE∴△EHF∽△BEF∴，即∴BF=10∴,,∴在Rt△OHE中，,∴在Rt△EOA中，,∴∴∴.11．(1)(2)【分析】（1）由可得，，再经过枚举法得到，当时，，存在符合条件的整数，此时有最大值，即可求解；（2）由n、k为正整数，，可得，记，可得，则只需要考虑所对应的值即可，由，可得或，当时，，再通过枚举法可得，，再进一步可得答案．【详解】（1）解：，，，，，当时，，没有符合条件的整数；当时，，没有符合条件的整数；当时，，没有符合条件的整数；当时，，没有符合条件的整数；当时，，没有符合条件的整数；当时，，存在符合条件的整数；时，有最大值，