电磁场与波第3章教材

1、第三章第三章 恒定电流场恒定电流场 恒定电流恒定电流: : 不随时间变化的电流不随时间变化的电流恒定电流场恒定电流场: 恒定电流中的电场恒定电流中的电场 电流密度电流密度恒定电流场方程恒定电流场方程恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件能量损耗与电动势能量损耗与电动势恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟主要内容主要内容: : 虽然恒定电流场中的自由电荷是运动电荷，但由于电流不随时间变虽然恒定电流场中的自由电荷是运动电荷，但由于电流不随时间变化，电荷分布也一定不随时间变化。恒定电流场中的电场是恒定电流化，电荷分布也一定不随时间变化。恒定电流场中的电场是恒定电流中的电荷产生的，也不随

2、时间变化。中的电荷产生的，也不随时间变化。 3.1 3.1 电流密度电流密度 大量电荷的定向运动形成电流大量电荷的定向运动形成电流 传导电流传导电流 导电媒质中的电流导电媒质中的电流 运流电流运流电流 真空或气体中大量带电粒子的定向运动形成的电流真空或气体中大量带电粒子的定向运动形成的电流 徙动电流徙动电流 电流强度电流强度单位时间流过导线截面的电量单位时间流过导线截面的电量符号 I 单位 A (安培)dtdqI 电流强度仅反映流过导线总的电流情况电流强度仅反映流过导线总的电流情况,不能描述电流在导线截面不能描述电流在导线截面上的分布情况上的分布情况.1) 电流与电流强度电流与电流强度2) 电

3、流电流(体体)密度密度J空间任一点的电流密度空间任一点的电流密度J定义为定义为: 单位时间垂直穿过以该点为中心的单位单位时间垂直穿过以该点为中心的单位面积的电量，方向为正电荷在该点的运面积的电量，方向为正电荷在该点的运动方向动方向 SdtdqvrJS0lim)(单位单位: A/m2IJ dSS对电流分布在曲面附近很薄的一层中的情况，对电流分布在曲面附近很薄的一层中的情况，当不需分析计算这一薄层中的场时，可忽略薄当不需分析计算这一薄层中的场时，可忽略薄层的厚度，将电流近似看成是面电流。面电流层的厚度，将电流近似看成是面电流。面电流用面电流密度用面电流密度Js表示表示. 3) 面电流密度面电流密度

4、Js电流薄层上电流薄层上r点的面电流密度点的面电流密度JS定义为定义为:单位时间垂直穿过单位长度的薄层截面的电量单位时间垂直穿过单位长度的薄层截面的电量 lIvrJls0lim)(单位为单位为 A/m) (nl dJILs对于电流在细导线中流动的情况，当不需对于电流在细导线中流动的情况，当不需要计算细线中场时，就可将电流看成是线分要计算细线中场时，就可将电流看成是线分布，线电流密度布，线电流密度Jl就是电流强度就是电流强度I，方向为电，方向为电流的方向流的方向 4) 线电流密度线电流密度 l IJl5) 电流元电流元dVJdSJs5) 电流密度与电荷密度及运动速度的关系电流密度与电荷密度及运动

5、速度的关系电流是电荷的运动形成的，电流密度就应与运动电荷的密度以及电荷电流是电荷的运动形成的，电流密度就应与运动电荷的密度以及电荷运动的速度有关。运动的速度有关。 若电荷密度为若电荷密度为的电荷以速度的电荷以速度v运动，运动，则在则在dt的时间内，电荷的位移为的时间内，电荷的位移为vdt。沿着电荷的运动方向取一端面面积为沿着电荷的运动方向取一端面面积为S，长度为长度为vdt的圆柱体，的圆柱体，那么在那么在dt的时间内，穿过端面的时间内，穿过端面S的电荷量为的电荷量为dq= Svdt .单位时间内，垂直穿过端面单位时间内，垂直穿过端面S的电荷量为的电荷量为vSdtdq单位时间内，垂直穿过单位面积

6、的电荷量单位时间内，垂直穿过单位面积的电荷量,即电流密度为即电流密度为vJ5) 传导电流传导电流Ev电场力使导线中的自由电子加速运动电场力使导线中的自由电子加速运动 漂移速度漂移速度 自由电子在加速运动中不可避免的要自由电子在加速运动中不可避免的要与导体中的离子碰撞，碰撞使电子的运动速度和方与导体中的离子碰撞，碰撞使电子的运动速度和方向改变在导体中自由电子相邻两次碰撞之间的间向改变在导体中自由电子相邻两次碰撞之间的间隔很短，电场的作用使电子的随机速度沿电场方向隔很短，电场的作用使电子的随机速度沿电场方向产生一很小的分量，称为漂移速度产生一很小的分量，称为漂移速度 电子的质量为电子的质量为m,平

7、均两次碰撞间隔为平均两次碰撞间隔为，电场强度为电场强度为E，漂移速度为漂移速度为v 根据质点动量定理根据质点动量定理 EevmEuEmevemeue电子迁移率电子迁移率单位体积中的自由电子数单位体积中的自由电子数N自由电子密度自由电子密度=-eN传导电流密度为传导电流密度为EeNuvJeEJmNeNeue2欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式导体的电导率导体的电导率单位为单位为S/mEJ6) 导体的电导率导体的电导率导电媒质中，电流密度与导体的电导率及电场强度成正比导电媒质中，电流密度与导体的电导率及电场强度成正比. 电导率代表了媒质的导电性能，其值愈大导电能力愈强。电导率代表了媒质的导电性能

8、，其值愈大导电能力愈强。不同的媒质，导电性能不同；不同的媒质，导电性能不同；同一种媒质，在不同的温度、湿度等环境条件下，电导率也有区别同一种媒质，在不同的温度、湿度等环境条件下，电导率也有区别 .电导率的倒数就是电阻率电导率的倒数就是电阻率 电导率很大的导体为良导体电导率很大的导体为良导体银银金金铜铜铝铝71017. 6410107.580107.3 54107.绝缘材料的电导率很小绝缘材料的电导率很小变压器油变压器油 玻璃玻璃 橡胶橡胶 101110121015海水海水 4干土干土 105理想导体理想导体理想介质理想介质00E0J7) 欧姆定律欧姆定律取一段截面积为取一段截面积为S、长为、长

9、为l的导线，电导率为的导线，电导率为，在其两端加电压，在其两端加电压U，使这段导线中存在，使这段导线中存在恒定电流恒定电流I. 如果导线中如果导线中电导率为常数电导率为常数,电场强度均匀电场强度均匀,电流密度均匀电流密度均匀EJVdSdln )(EJVVdldSnEdSdlnJSUIlSlRIRU 欧姆定律欧姆定律欧姆定律一般仅适用电流分布均匀欧姆定律一般仅适用电流分布均匀的情况，可以将欧姆定律看成是在的情况，可以将欧姆定律看成是在电流均匀分布这种特殊情况下欧姆电流均匀分布这种特殊情况下欧姆定律微分形式的近似定律微分形式的近似. IRU SlSdJl dER例在长为米的铜线两端加例在长为米的铜

10、线两端加10V的电压，如果自由电子相邻两次碰的电压，如果自由电子相邻两次碰撞的平均时间为撞的平均时间为2.7x10-14s，计算自由电子的漂移速度，计算自由电子的漂移速度 解：铜线中的电场为解：铜线中的电场为mVdUE/5电子迁移率为电子迁移率为331141910747. 4101 . 9107 . 2106 . 1meue自由电子的漂移速度为自由电子的漂移速度为 smEuve/1074.23510747. 433Euve3.2 恒定电流场方程恒定电流场方程 1) 电流连续性原理电流连续性原理 从任一封闭面中流出的电流等于该封闭面中电量在单位时间的减少从任一封闭面中流出的电流等于该封闭面中电量

11、在单位时间的减少. tqSdJS电荷守恒定律电荷守恒定律qdVVdVtSdJSVVdVJ高斯定理高斯定理tJ电荷守恒定律的微分形式电荷守恒定律的微分形式对于恒定电流场对于恒定电流场,电荷分布不随时间变化电荷分布不随时间变化0tq0t0SSdJ0 J电流连续性原理电流连续性原理 1I2I3I0SSdJ0kkI节点电流定律节点电流定律2) 驻立电荷驻立电荷电流场中的电场也是由电荷产生的。电流场中的电场也是由电荷产生的。在电流场中虽然电荷是运动的，但对于恒在电流场中虽然电荷是运动的，但对于恒定电流场，电场不随时间变化，那么运动定电流场，电场不随时间变化，那么运动电荷在空间的分布也就不随时间变化，这电

12、荷在空间的分布也就不随时间变化，这种电荷称为种电荷称为驻立电荷驻立电荷。由驻立电荷产生的恒定电场与静电场一样，也是保守场。电场强度由驻立电荷产生的恒定电场与静电场一样，也是保守场。电场强度沿任一闭合回路的线积分应等于零沿任一闭合回路的线积分应等于零.E dll0 E03) 恒定电流场方程恒定电流场方程0SSdJ0 JE dll0 E0EJE JEEE()0EEED EE)( E0)(020, 00例例1. 一块导体，其电导率一块导体，其电导率和介电常数和介电常数分别是常数且已知，将这块导体放入分别是常数且已知，将这块导体放入电场（静电场或恒定电场）中，求自由电荷体密度设初始导体的自由电荷电场（

13、静电场或恒定电场）中，求自由电荷体密度设初始导体的自由电荷体密度为体密度为0 0 E解解:tJEJ Et1E DEDt0et驰豫时间驰豫时间 tertr)(),(0当将导体放入电场中后，均匀导体中自由电荷体密度随时间增加按指当将导体放入电场中后，均匀导体中自由电荷体密度随时间增加按指数规律很快衰减数规律很快衰减.驰豫时间决定了自由电荷体密度随时间增加衰减的快慢。驰豫时间决定了自由电荷体密度随时间增加衰减的快慢。驰豫时间愈小，衰减愈快。驰豫时间愈小，衰减愈快。良导体的驰豫时间很小，因此，衰减很快。良导体的驰豫时间很小，因此，衰减很快。 铜的驰豫时间铜的驰豫时间 1521019.s例例2. 在两个

14、长为、半径分别为在两个长为、半径分别为a、b的理想导电圆筒之间填充电导率为的理想导电圆筒之间填充电导率为 的导电媒质，的导电媒质，m和和k均为常数在两理想导电圆筒之间加电压，均为常数在两理想导电圆筒之间加电压，求两理想导电圆筒之间的电阻求两理想导电圆筒之间的电阻 km/解解:设两理想导电圆筒之间的电流为设两理想导电圆筒之间的电流为. 在两理想导电圆筒之间的导电媒质中，任取半径为在两理想导电圆筒之间的导电媒质中，任取半径为，长度为的同轴圆柱形面，长度为的同轴圆柱形面， SSdJILJ22LIJ 解法解法IUR EJ)(2kmLIJEkamkbmLkIdkmLIl dEUbabaln2)(2kam

15、kbmLkIURln21RUEJI小结小结电荷守恒定律电荷守恒定律电流连续性原理电流连续性原理驻立电荷驻立电荷恒定电流场方程恒定电流场方程3.3 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 n 11221E2E1J2J0SSdJE dll0JJnn12EEtt12nnEE2211nnnnsEEDD221121snnsEE)(210nnEE1212nsE12121)(21210s两种典型的边界两种典型的边界1) 介质介质-导体边界导体边界0101JJJnn1202nJ02nEttEE21tEEt22snD12) 一般导体一般导体-理想导体边界理想导体边界21n 2222EJ02E02EttEE21

16、01tEnEEn111E电位的边界条件电位的边界条件nnEE2211EEtt12nn221121介质介质-导体边界导体边界02nE02nsnD1sn11EEtt1221一般导体一般导体-理想导体边界理想导体边界01tECsnD1sn例例1. 已知平板电容器两导电平板面积为已知平板电容器两导电平板面积为A，之间填充两层非理想介质，厚，之间填充两层非理想介质，厚度分别为度分别为d1和和d2与电导率分别为与电导率分别为1 1和和2。当两导电平板之间加电压。当两导电平板之间加电压V时，求时，求电场强度及电容器的漏电导。电场强度及电容器的漏电导。 12解：解： 解法解法VIG/设导电平板之间的两层媒质中

17、电场均设导电平板之间的两层媒质中电场均为匀强场，那么由边界条件及电压关为匀强场，那么由边界条件及电压关系得系得 1122EEE dE dV1122EddV121221EddV211221VddEJ122121111IJAddVA 121221GIVAdd 1212212J例例2.将一段截面尺寸为将一段截面尺寸为A，电导率为，电导率为的金属条加工成弧形，计算两端面的金属条加工成弧形，计算两端面之间的电阻。之间的电阻。解：设在弧形导电体条两端加电压解：设在弧形导电体条两端加电压V，那么电流线，那么电流线为与弧面平行的弧线。在半径为为与弧面平行的弧线。在半径为r的弧线上，电流的弧线上，电流密度密度J

18、，从而电场强度，从而电场强度E沿弧线方向，且为常数。两沿弧线方向，且为常数。两端面之间的电压为端面之间的电压为 acbVrE rV/ 2 EVr2JEVr2IJ dSVrbdrSca c () ()22bVacclnRVIbacc2ln下面用解电位方程的方法求电场下面用解电位方程的方法求电场2222221)(1z解解2: 电位的边值问题电位的边值问题02V)2(0)0()(022dd21ccV)2(0)0(2/V 1zzV21VE2xzca小结小结JJnn12EEtt12nn221121两种典型的边界两种典型的边界1) 介质介质-导体边界导体边界2) 一般导体一般导体-理想导体边界理想导体边界

19、恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 3.4 能量损耗与电动势能量损耗与电动势 1) 焦耳定律焦耳定律dVEJ导体电流场中体密度为导体电流场中体密度为的自由电荷在的自由电荷在电场电场E的作用下以平均速度的作用下以平均速度v运动，体积运动，体积dV中的电荷所受的力为中的电荷所受的力为 EdVF在时间在时间dt电荷运动距离电荷运动距离dl=vdt，电场力所做的功为，电场力所做的功为dVdtEvdtvEdVl dFdA电场在体积电场在体积dV中提供的功率为中提供的功率为 dVEJdtdAdVdtEJ电场为单位体积中的电荷提供的功率为电场为单位体积中的电荷提供的功率为EJp功率密度功率密度 电场为

20、单位体积的运动电荷提供的功率等于电场强度与电流体密度的标积电场为单位体积的运动电荷提供的功率等于电场强度与电流体密度的标积 电场为体积电场为体积V的运动电荷提供的功率的运动电荷提供的功率P为为 VdVEJP导电媒质中的自由电荷在电场作用下运动要和原子发生碰撞在这种情况导电媒质中的自由电荷在电场作用下运动要和原子发生碰撞在这种情况下，电场对电荷做了功，但电子的动能与势能并没有增加，说明电场力所下，电场对电荷做了功，但电子的动能与势能并没有增加，说明电场力所做的功以热能形式损耗因此，在导电媒质中电场提供的功率密度做的功以热能形式损耗因此，在导电媒质中电场提供的功率密度p就等就等于在单位时间单位体积

21、中产生的热能，也就是于在单位时间单位体积中产生的热能，也就是损耗功率密度损耗功率密度 EJp损耗功率密度损耗功率密度单位体积的功率损耗单位体积的功率损耗 EJ2Ep焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式体积体积V中导电媒质总功率损耗为中导电媒质总功率损耗为VdVEP2对于长度为对于长度为L、截面积为、截面积为S的均匀导体，如果在导体两端加电压的均匀导体，如果在导体两端加电压U，导体，导体中为匀强电场中为匀强电场 ,电流分布均匀电流分布均匀VdVEP2IUJSElSlE2RISlSE2222这就是电路中的焦耳定律这就是电路中的焦耳定律 可以看出，在导电媒质中，当将电场与电流看成均匀分布时，就可直接

22、可以看出，在导电媒质中，当将电场与电流看成均匀分布时，就可直接从焦耳定律的微分形式得到焦耳定律从焦耳定律的微分形式得到焦耳定律. ) 电动势电动势 为了维持电流流动，在正负极板之间放置外源，外源中存在对电为了维持电流流动，在正负极板之间放置外源，外源中存在对电荷有作用力的非静电力，这种外源非静电力做功反抗极板之间的静电荷有作用力的非静电力，这种外源非静电力做功反抗极板之间的静电场力，将通过导线从正极板移到负极板的正电荷再经过电源内部又移场力，将通过导线从正极板移到负极板的正电荷再经过电源内部又移回到正极板，保持极板上的电荷密度不变，从而也就使导电媒质中的回到正极板，保持极板上的电荷密度不变，从

23、而也就使导电媒质中的电场和电流维持恒定不变。电场和电流维持恒定不变。 电动势动画电动势动画这些外源是非电的能源，它们可以是化学能，如电池，也可以是机械能，这些外源是非电的能源，它们可以是化学能，如电池，也可以是机械能，如发电机等。如发电机等。 外源中的非静电场力表现为对电荷的作用力，外源中的非静电场力表现为对电荷的作用力，可以认为这种非静电场力是由外源中存在的外电场产生的，可以认为这种非静电场力是由外源中存在的外电场产生的，外电场强度仍定义为外电场强度仍定义为 对单位正电荷的作用力，对单位正电荷的作用力，E 在电源中，外电场与极板之间电荷产生的电场刚好相反在电源中，外电场与极板之间电荷产生的电

24、场刚好相反 EE电源做功的能力用电动势电源做功的能力用电动势(emf)表示，表示，电源的电动势定义为电源的电动势定义为电源将单位正电荷从电源的负极电源将单位正电荷从电源的负极N移到正极移到正极P所做的功所做的功 PNl dE ll dE 外源电场不是保守场外源电场不是保守场lab_对于一电流回路中的一段对于一电流回路中的一段ab，EEE总l dEEl dEbaba) (总bababal dEl dEl dJIRSIldlSJSl dJbabaababVIR在无源支路在无源支路abVIR 对于闭合回路对于闭合回路lll dEEl dE) (总llll dEl dEl dJ0如果闭合回路是由如果闭合回路是由n短支路串接而成