高等数学16 极限存在准则 两个重要极限

1、 第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限1. 1. 夹逼准则夹逼准则一、极限存在准则准则准则 如果数列 及 满足下列条件:,nnyxnznnnzxyNnN时，有当即从某项起，）（,1N,lim,lim2azaynnnn）（那么数列 的极限存在，且 .nxaxnnlim,1ayNnn时恒有当,max21NNN 取恒有时当,Nn ,ayan即,2azNnn时恒有当,azan上两式同时成立,azxyannn,成立即axn.limaxnn证证,azaynn使得, 0, 0, 021NN时，有),(0 xUxo；）（)()()(1xhxfxg准则准则 如果当)(lim0 xfx

2、x那么存在, 且等于A.,)(lim,)(lim)2(00AxhAxgxxxx准则 1和准则 1 称为夹逼准则夹逼准则.)()()(xhxfxgA对x结论也成立.【例1】设)(, 0)(lim0 xgxfxx有界，即当Mxgxx)(00时，其中 M 为一与x 无关的常数.证明：0)()(lim0 xgxfxx证时：当00 xx)()()()()(xfMxgxfxgxf)()()()(xfMxgxfxfM, 0)(lim0 xfxx0)(lim0 xfxx0 )(lim,0)(lim00 xfMxfMxxxx又由夹逼准则知：0)()(lim0 xgxfxx有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数

3、与无穷小的乘积仍为无穷小. .对x结论也成立.)()()()(xfMxgxfxfM【例2】).12111(lim222nnnnn求解nnnnnn222111nnnn22212111111111222nnnnnn212nn,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又, 122111lim1limnnnnn, 1由夹逼准则得. 1)12111(lim222nnnnnx1x2x3x1nxnx2. 2. 单调有界准则单调有界准则满足条件如果数列nx,121nnxxxx单调增加单调增加,121nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:AM准则准则 单调有界数列

4、必有极限（必收敛）.（单调增有上界，单调减有下界）【例3】证明数列), 2 , 1()11 (nnxnn极限存在，且等于 e = 2.718281 n 10 100 1000 10000 100000 1000000 xn 2.593742 2.704813 2.716923 2.718145 2.718268 2.718280 证 (1)(1) 利用二项式公式将nnnx)11 ( 11)111 (nnnx和展开，然后逐项比较.nnxxnnnxnnxnx32! 3)2)(1(! 2) 1(! 11)1 ( 利用二项式公式 , 有nnnx)11 ( 111)11(! 21n21! 2) 1(nn

5、n31! 3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1()21)(11 (! 31nn)11 ()21)(11 (!1nnnnnnn 1! 111nx111nx大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)11 (nnnx比较可得：)11 (! 21n)21)(11 (! 31nn!1! 31! 21n)11 ()21)(11 (!1nnnnn)111 (! 21n)121)(111 (! 31nn)11 ()221)(111 ()!1(1nnnnn单调增数列 e 为无理数.根据准则知数列nx有极限 ，记此极限为 e，11又又32112111n1213n59045718281828

6、4. 2)11 (limennn11)11 (nnnx!1! 31! 21n12212121n有上界1.1sinlim0 xxx首先注意到都有定义对一切函数0sinxxx设法构造一个“夹逼不等式”，使函数xxsin在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数 g(x), h(x) 之间，以便应用夹逼准则 .二、两个重要极限证 如右图，在半径为R的圆中 OADAOABC,设圆心角 )20(,xxAOBOCBADxRAODAOBAOBSSS扇形又xRxOBOASAOBsin21sin212xRSAOB221扇形xRxOAOADAOASAODtan21tan21212不等式各端除以 ，得xR

7、sin212xRxRxRtan2121sin21222xxxcos1sin1或xxxcossin1而1coslim, 11lim00 xxx由夹逼准则，得1sinlim0 xxx，或1sincosxxx当 ， 0 x 0u当 ，作变量代换 ， xu 0 xuxuuxxux)sin(limsinlim001sinlim0uuu综上有：1sinlim0 xxx【例4】.tanlim0 xxx求解 原式=xxxxcos1sinlim0 xxxxxcos1limsinlim001【例5】 求 20cos1limxxx解)cos1 ()cos1)(cos1 (lim20 xxxxx原式)cos11sin

8、(lim220 xxxx212112)cos11(lim)sin(lim020 xxxxx.arcsinlim0 xxx求解则有时当, 0,0uxuuxxuxsinlimarcsinlim00【例6】,sin,arcsinuxxu令uuusin1lim01sinlim10uuu【例7】 求xxx2coslim2解xt2令02tx时则当于是xxx2coslim2ttt)2cos(lim01sinlim0tttennn)11 (lim先证 x+xn 1nxnnxn1111nxn11111112.exxx)11 (limnnxn)11 ()111 (xx)11 ( xn)11 ( 1)11 (nne

9、nnn)111 (limennn1)11 (lim)(,)11 (limxnexxx时，再证 x-令 t =- x， x = - t，当 x -，t +，ttxxtx)11 (lim)11 (limtttt)1(limettt11)111 (lim所以exxx)11 (limexxx10)1 (limttxxtx)11 (lim)11 (lim极限四则运算法则和两个重要极限应用说明：极限四则运算法则和两个重要极限应用说明：（1）求极限首先要看清楚 x 的变化趋势；（2）求函数极限时，要掌握“变量形式不变”的原则，如果变量不一样，可用变量代换等手段对变量进行替换，或对函数进行变形、凑项等等对函数

10、进行化简，然后用四则运算或两个重要极限求极限；（3）极限存在的项，可先分解出来，直接求极限.xkxxsinlim0 xkxxsinlim0变量不一样，作变量代换或凑项，kuuusinlim0kkuuku1sinlim0)0( k令 ，当 时， 所以 kuxkxu,0 x. 0ukk1【例8】解xkxxsinlim0kxkxkxsinlim0或xxxk)1 (lim变量不一样.令 ，当 时， 所以 kuxkxu,x.uxxxk)1 (limkuuu)11 (limkuuu)11 (limkexxxk)1 (lim11xlimkxx11xlimkxxkkxxxk)1 (limkkxxxk)1 (l

11、imke【例9】求数列极限. ), 2 , 1()11 (31nnxnnnnnnnx31)11 (limlim解3)11()11 (limnnnn3)11 (lim)11 (limnnnnn31e.)23(lim2xxxx求解422)211 ()211(limxxxx原式.2e【例10】422)211 (lim)211 (limxxxxx【例11】求解 令u = -2x，x=u/(-2)，当 x0，u0.)6(10)1 (limuuu原式610)1 (limuuuxxx30)21 (lim6 e解【例12】xxxcos110)(coslimxxxcos110)(coslim1 e【例13】求x

12、xx2cot20)tan31 (limxxx2cot20)tan31 (lim解xxx2cot20)cot31 (lim令xu2cot当ux,0uuu)31 (lim3e)1(1cos10) 1cos1 (limxxx令1cosxu当0,0ux)1(10)1 (limuuu解，求a .ln3a【例14】27)2(limxxaxaxxxaxax)2(limxxaxa)31 (lim273aeauauu3)11 (limauauuuu)11 (lim)11 (lim3xaaxx)11 (lim3auaxaaxu3,3令ux时，当【例15】求xxxx)1(lim22xxxxxx)11(limxxxx

13、xxxx)1(lim)1(lim11ee解xxxx)1(lim22xxxxxx)111 (lim)111 (lim【例16】求xxxx21sin53lim2解xxxx21sin53lim2xxxxx21sin21106limxxxxx21sin21lim)106(lim616xxxxxx21sin2121)53(lim2【例17】求nnnx2sin2lim型）0(解nnnx2sin2limnnnxxx22sinlim nnnxxx22sinlimxx1【例18】设0,)1ln(0,tan)(xxxkxxxxf在 x=0 处极限存在，求 k .解1tanlim)0(0 xxfx)1ln(lim)

14、0(0 xxkfx110ln)1 (limlnekxkxx1 k2)0()0(kff作业 习题1-6 P.521.（1）（2）（5）（6）2.4.（1）（2）（3）（4）准则 设函数 f (x) 在点 x0 的某个左邻域内单调并且有界，则 f (x) 在点 x0 的左极限 必定存在.)(0 xf 相应于单调有界数列必有极限的准则，函数极限也有类似的准则. 对于自变量的不同变化过程),(00 xxxxxx，准则有不同的形式. 如 时相应的准则如下.0 xx*柯西极限存在准则柯西极限存在准则 数列xn收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在正整数 N，使得当 m N，n N 时，有.mnxx

15、思考题思考题求极限xxxx193lim思考题解答思考题解答xxxx193lim xxxxx111319limxxxxx313311lim9990e三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限(推广推广)夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .( ),f x设设为为某某过过程程中中的的无无穷穷小小 则则0sin( )1 lim1;( )f xf x 某某过过程程10( )2 lim(1( )f xf xe 某某过过程程思考题思考题22sin35 2lim()253xxxxxx解解 原式原式226106lim535xxxx(1)求极限求极限2352limsin53xxxxexx

16、xxx)22sin(2sin1)2sin1 (lim(2)求极限求极限xxxx)1cos1(sinlim22lim(1 sin)xxx解解2211lim(sincos) xxxx原式原式=解解kkkxxexk22)()1 (lim左边222sinlim2xxx右边故故22ke，从而，从而2ln21k(3)设设xxxkxxxx2sinlim)(lim2，求，求k._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、ar

17、cxxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各极限二、求下列各极限:nnnn)11(lim42 、 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用极限存在准则证明数列利用极限存在准则证明数列,.222,22, 2 的极限存在，并求的极限存在，并求出该极限出该极限 . .一、一、1 1、 ； 2 2、32； 3 3、1 1； 4 4、31 ； 5 5、0 0； 6 6、e； 7 7、2e； 8 8、e1；二、二、1 1、2 2； 2 2、e1； 3 3、ae2

18、； 4 4、1 e ； 5 5、3.3.三、三、2lim nxx. .练习题答案练习题答案1coslim0sinlim00 xxxx【例例1616】证明：证：证：作如图所示的单位圆（R=1）ACxoBDxx sin020 x当：时：OABOABSS扇形0 xRxR2221sin2100sinlim,0lim00 xxxx:02u当xx sin0两端乘以（-1）xxsin0 xx)sin(0令 u = -x （u 0）0sinuu0sinlim,0lim00uuuu0sinlim0 xxACxoBD20 x当：时：DAODOAxcos1xABAB0 0，即数列下有界，又nnnnxnananana

19、x1!1)!1(11nnnnxnanananax1!1)!1(11当n增大到 n+1 a 后，有xn xn+1 ，即到 n+1 a 后，数列为单调减下有界数列，所以极限存在。设其极限为A，即：Axnnlim)lim)(1lim(lim1nnnnnxnax00AAA0!limnann【例例4 4】证明1limnnn证证 当n 1时， ，令 ，于是11nn)0(11nnnaannnan)1 ( 按牛顿二项式公式展开nnan)1 ( nnnnaannna22) 1(122) 1(nann122nan有120nan0limnna所以，1)1 (limlim1nnnnan由于012lim,00limnn

20、n根据夹逼准则得【例例3131】证明：0sinsinlim) 1 (0 xxxx0coscoslim)2(0 xxxx证：证：设0,00txxtxx当)sin(limsinlim) 1 (000txxtxx)sincoscos(sinlim000txtxt0sin x)cos(limcoslim)2(000txxtxx)sinsincos(coslim000txtxt0cosx【例例2424】).21(lim222nnnnn求解解是无穷小之和时,n先变形再求极限.222221lim)21(limnnnnnnnn2) 1(21limnnnn)11 (21limnn.21说明：说明：求极限时，若遇

21、到等差数列，或等比数列，可先使用求和公式先求和，以简化运算 .【例例2323】设0, 10,)(xxxxxf求：)0(, )(lim0fxfx解解0, 10, 10, 1)(xxxxf1)00(1)00(ff)(lim0 xfx不存在；1)0(f【例3】设0,0bannnnba lim解 设 a bnnnnnbaaa由夹逼准则得：abannnnlim所以：,maxlimbabannnna求nnaba)(1naba)(1注： 此结论可推广到1)()(sinlim)(0 xxxxx【例9】).0(,sinlim0kxkxx求解kxkxkxsinlim0 xkxxsinlim0,)(0）时（或，当令xxxxu.0u，令kxu .0,0ux当uukusinlim0kk1【例例1818】求xxxxsinsinlim0)00( 型型xxxxxxsinlimsinlim00【例例1919】求eelim)00( 型型解解 为变量， 是常数.eelim) 1(limee解