机器人第2章 数学基础-矢量变换教材

1、2 矢量变换矢量变换-数学基础数学基础2.1 矢量矢量2.2 矩阵基础矩阵基础 2.3 矢量变换矢量变换2.4刚体运动学分析基础刚体运动学分析基础物体运动物体运动=移动移动(Translation)+转动转动(Rotation)刚体动力学：使用连体系刚体动力学：使用连体系(Body-Fixed Coordinate System)在参考系中位置和方向在参考系中位置和方向(简称位姿简称位姿)来描述刚来描述刚体的位姿。体的位姿。运动学和动力学参量：完全使用刚体位姿描述。运动学和动力学参量：完全使用刚体位姿描述。 2.1 矢量矢量刚体：任两点之间的距离不变。刚体：任两点之间的距离不变。连体系：在刚体

2、上任一点设置与刚体固连的坐标系连体系：在刚体上任一点设置与刚体固连的坐标系当刚体运动时，该连体系随刚体一起运动。当刚体运动时，该连体系随刚体一起运动。刚体在参考系中的位置：连体系原点在参考系中的刚体在参考系中的位置：连体系原点在参考系中的位置矢量位置矢量位置矢量：位置矢量：Txxyzyxyzzrijk矢量矢量矢量的模矢量的模 方向余弦方向余弦 222xyzrcosxxxcrcosyyycrcoszzzcr单位向量单位向量 rur矢量运算矢量运算矢量相等矢量相等 ab xxabyyabzzab线性运算线性运算 ：数乘、加、减：数乘、加、减矢量的点积矢量的点积(Dot or Scalar Prod

3、uct) cosTTxxyyzzDa ba ba ba ba bb aa b0TTa ba bb a矢量运算矢量运算矢量的叉积矢量的叉积(Cross Product) zyyzzxxzyxxya ba ba ba ba ba ba bxyzxyzaaabbbijk反对称矩阵记法反对称矩阵记法 000zyzxyxr 000zyxzxyyxzaabaabaaba bab矢量运算矢量运算矢量的叉积矢量的叉积(Cross Product) zyyzzxxzyxxya ba ba ba ba ba ba bxyzxyzaaabbbijk反对称矩阵记法反对称矩阵记法 000zyzxyxr 000zyxzx

4、yyxzaabaabaaba bab a bb aabba0a b矢量运算矢量运算矢量三重积矢量三重积 ()a b c()ab c()ab c()0acb矢量微分和积分矢量微分和积分 ( )( )( )( )Ttx ty tz trr()()()ddddxyzdtdtdtdtrijkTdtxdtydtzdtr2.2 矩阵基础矩阵基础1 矩阵定义矩阵定义2 运算运算3 特征值和特征向量特征值和特征向量（4 矩阵分解矩阵分解 ）2.2.1 定义定义1111121222112nmmmnaaaaaaaaaA方阵方阵 ijijabAB零矩阵零矩阵 列矩阵列矩阵 行矩阵行矩阵 对角阵对角阵(Diagona

5、l Matrix) 1122110000(,.,)00nnnnaadiag aaaA定义定义单位矩阵单位矩阵(Identity Matrix) 奇异矩阵奇异矩阵(Singular Matrix) det0AA机构的奇异构形判别机构的奇异构形判别 矩阵的转置矩阵的转置(Transpose) TA对称矩阵对称矩阵(Symmetric Matrix) TAA反对称矩阵反对称矩阵(Antisymmetric Matrix) T AA正交矩阵正交矩阵(Orthogonal Matrix) TTAAA AE2.2.3 矩阵运算矩阵运算 数乘、求和、积、转置、求逆数乘、求和、积、转置、求逆 数乘数乘 iji

6、jsbsaBA求和求和 ijijijcabCAB乘积乘积 1nijikkjkca bCAB乘积相容乘积相容(Compatible) 不符合交换律不符合交换律 矩阵乘积的转置矩阵乘积的转置 ()TTTABB A矩阵运算矩阵运算 逆逆 11AAA AE非奇异方阵非奇异方阵 用伴随矩阵方法求得用伴随矩阵方法求得 11211122221121detnnnnnnAAAAAAAAAAAAAijA元元 ija代数余子式代数余子式 A伴随矩阵伴随矩阵(Adjoint Matrix) ( 1)ijijijAM 除去除去所处的行和列所得到的行列式的值所处的行和列所得到的行列式的值 ija例例 求逆矩阵求逆矩阵 1

7、11111A1 11111( 1)101A det( )1AA非奇异，存在逆矩阵非奇异，存在逆矩阵 11213111222321323331101011det( )001AAAAAAAAAAA逆矩阵特点逆矩阵特点 (1) 11()()TTAA111()ABB A11() AA(2) 对称阵的逆矩阵也是对称的对称阵的逆矩阵也是对称的 (3) 正交阵的逆矩阵也是正交的正交阵的逆矩阵也是正交的 1TAA2.2.4 矩阵特征值和特征向量矩阵特征值和特征向量物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题结为求矩阵的特征值问题 ()ijn n

8、aA特征多项式特征多项式 111212122212( )det()det()nnnnnnaaaaaafaaaEA特征方程特征方程 ( )det()0fIA特征值特征值 特征方程的根特征方程的根 特征向量特征向量 ()0IA x齐次方程组的非零解齐次方程组的非零解 x物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题结为求矩阵的特征值问题 例例 求矩阵的特征值及特征向量求矩阵的特征值及特征向量 210131012A特征方程特征方程 32( )det()71480fIA112234特征值特征值 对应的特征向量对应的特征向量 111 1Tx

9、2101Tx3121Tx2.3矢量变换矢量变换P rtr刚体系统的运动学可使用连体坐标系刚体系统的运动学可使用连体坐标系(以后简以后简称连体系称连体系)完全描述完全描述 刚体位姿刚体位姿 方向：旋转矩阵、罗德里格斯参数、欧拉角、方方向：旋转矩阵、罗德里格斯参数、欧拉角、方向余弦和四元数变换向余弦和四元数变换 2.3.1旋转矩阵旋转矩阵(Rotation Matrix) 确定连体系确定连体系B相对于参考系相对于参考系O的方向的方向 坐标系坐标系B绕轴绕轴OC逆时针旋转；任意点逆时针旋转；任意点P移到移到Q Prr位置矢量位置矢量变为变为 旋转矩阵旋转矩阵(Rotation Matrix) Prr

10、r12rbb矢量矢量1b 平面平面OCP 1b方向方向 Pu rsinPParu r1sinsinPPPau rbu ru r矢量矢量22s(1s )2 sin2aacocoaab方向方向 1()Pu buu r222()2 sin2()sin2()2PPPauu rbuu ruu r2b()Pauu r旋转矩阵旋转矩阵(Rotation Matrix) 2sin2()sin2PPPrru ruu r2222sin2sin2sin2sin2PPPPrruru rEuur22sin2sin2AEuuRodrigue旋转公式旋转公式 PrAr旋转矩阵旋转矩阵 旋转矩阵旋转矩阵(Rotation M

11、atrix) 123Tuuuu22sin2sin2AEuusin2sins22co2 sin(cossin)222AEuEu定义欧拉参数(Euler Parameters) 0cos2e112233sinsin22eueueueu02 ()eAEe Ee3201iie旋转矩阵性质旋转矩阵性质旋转变换：正交变换旋转变换：正交变换(Orthogonal Transformation) 旋转矩阵为正交矩阵旋转矩阵为正交矩阵 1TAATAAEdet()1A将矢量表示成反对称矩阵将矢量表示成反对称矩阵 TPrAr A旋转矩阵旋转矩阵 例例例例2.1 已知坐标系已知坐标系B的初始位姿与的初始位姿与A重合，

12、重合，B相相对于坐标系对于坐标系A的的z轴转轴转30。求位置矢量。求位置矢量aPb和旋转和旋转矩阵矩阵A，其中，其中P在坐标系在坐标系B中为中为Pb=3,7,0T。例例2.2 已知坐标系已知坐标系B的初始位姿与的初始位姿与A重合，重合，B相相对于坐标系对于坐标系A中过原点的矢量中过原点的矢量U=1,2,2T 转转30。求位置矢量求位置矢量aPb和旋转矩阵和旋转矩阵A，其中，其中P在坐标系在坐标系B中为中为Pb=3,7,0T。例例2.3 已知坐标系已知坐标系B的初始位姿与的初始位姿与A重合，重合，B相相对于坐标系对于坐标系A中过点中过点5,0,0T 的矢量的矢量U=1,2,2T 转转30。求位置

13、矢量。求位置矢量aPb和旋转矩阵和旋转矩阵A，其中，其中P在坐标在坐标系系B中为中为Pb=3,7,0T。2.3.2欧拉角欧拉角(Euler Angles)矢量的欧拉角旋转变换由依次绕矢量的欧拉角旋转变换由依次绕3个轴的旋转组成。个轴的旋转组成。任何矢量的旋转变换均存在对应的欧拉角。任何矢量的旋转变换均存在对应的欧拉角。根据旋转轴的选择顺序不同，有不同的欧拉角根据旋转轴的选择顺序不同，有不同的欧拉角常用：常用：z-x-z或者或者313 3,1,3,cos-sin0100cos-sin0sincos00cos-sinsincos00010sincos001iieAAAA2.3.3方向余弦方向余弦(

14、Direction Cosines)b bb bbbxyzxyzrijkijkbbbbbbxxyzi ii ji kbbbbbbyxyzj ij jj kbbbbbbzxyzk ik jk k11ba i i12ba i j13ba i k21ba j i21ba j j23ba j k31bak i32bak j33bak k111213212223313233aaaaaaaaaAbrA r2.3.4四元数四元数(Quaternion) 01230qijk共轭四元数共轭四元数 0q范数范数 320iiqqq单位四元数单位四元数 1q逆逆 1qqq矢量绕任意轴旋转矢量绕任意轴旋转 1Prqr

15、qcossin22uq2.3.5齐次变换齐次变换(Homogeneous Transformation)刚体的连体系刚体的连体系B相对参考系相对参考系O既有转动又有移动既有转动又有移动 bP rtA r定义定义 41Txyzr31TAtH041TbPPPPxyzr44bPrH r齐次变换矩阵的逆齐次变换矩阵的逆 131TTTAA tH0特定情况下，齐次变换矩阵特定情况下，齐次变换矩阵 cos-sinsincos(z, )11Rot1cos-sin(x,)sincos1Rotcossin1(y, )-sincos1Rot11(z, )11aaTrans11(y, )11bbTrans11(x,

16、)11ccTrans2.4 刚体运动学分析基础刚体运动学分析基础 速度、加速度、速度、加速度、角速度、角加速度角速度、角加速度虚位移分析虚位移分析 bP rtA r2.4.1速度和加速度速度和加速度bP rtA r仅考虑刚体定点转动仅考虑刚体定点转动 pTArA r r rrTxyzbPrA rAA000zyzxyx TrAA rbPrA rTAA速度速度在连体系在连体系B中表示中表示 r r()bbPbbPbbPrA A rArA rbTA AbPrA rbTA A加速度加速度bPrtA r定点转动定点转动 bbbbbPPrA rA r AAAAAAA rrr (),bTbTbTbbTbTbbTTbbbbTbTA AA AA AA AA AA AA A bTA AbTA A变分变分 2.4.2 虚