第三章 相关分析

1、 第三章 随机振动的相关分析随机振动的相关分析 第三章 随机振动的相关分析n 相关的含义相关的含义n 相关的数学表达相关的数学表达相关系数相关系数n 自相关函数自相关函数 n 互相关函数互相关函数n3.1 相关的含义相关问题：研究两个变量之间的关系问题。（1）如： 则x、y两者函数相关。（2）对于两个随机变量而言，无法写出确 切的函数关系。 baxy波形相似的直观比较两个随机变量之间只能是概率相关关系研究随机变量相关的目的：（1）从一个随机变量的取值，来推测另一个 随机变量的取值范围。（2）相关函数是计算谱密度的重要依据。n3.2 相关的数学表达相关系数 设通过测试得到一组关于某两个随机变量x

2、、y的实际测试“数据对”，将每个数据对用直角坐标平面上的一个点来表示。 a图中两个变量不相关； b图中两个变量相关（b）图：需要讨论的是如何找到一个线性方程，使它能最好的代表这组数据： 设此线性方程具有形式： 如何确定a、b使其能够最好地代表这组数据。 应用最小二乘法 任一数据的纵坐标 yi 与直线ya xib 之差为 （残差），残差的均方值最小时，得到的直线 方程为最优方程。baxy)(baxyyiii2222222222222222)(bXabEYbEXYaEXEaYEabXbYaXYbXaYEbaXYEyEbaxy2222222222222222)(bXabEYbEXYaEXEaYEab

3、XbYaXYbXaYEbaXYEyE要求 最小，则2yE 02220222222XaEYEbbyEXbEXYEXaEayE残差的均方值：得到：222 ()() xyxbE YaE XE XYE XYE X E YaE XE X02220222222XaEYEbbyEXbEXYEXaEayE均方值均值方差由以上（2）式222)(xyxYXEXEXEYEXEXYEaXaEYEb分母为方差)(YEXEXYEYEXEYEXEXEYEXYEYEXEXYEYXXYEYXEyxxyyxxyyx分子随机变量X的离差与Y的离差乘积的数学期望称为随机变量X与Y的相关矩，又成为协方差222)(xyxYXEXEXEY

4、EXEXYEaXaEYEbxyyxyxxyYXE)(xyxyaxxyxyyXaEYEb现定义 为相关系数xyxyaxxyxyyXaEYEbxxxyyyxybaxy代入：与此类似：要求 最小，则可得:2xE yyxyxxyx两式相同，两个变量具有线性的函数关系1xyyyxyyxyxxxyx1xyxxxyyyxybaxyyyxyxxyx如：两个变量具有线性的函数关系，则有： 形式，反之：如果两个变量间具有 这样的函数关系，则相关系数1xybaxy证明略X、Y完全相关时：X、Y完全不相关时：0 xyxy取值在正负1之间，绝对值越大，相关程度越强yxyxxyYXE)(其分子称为协方差或相关矩1xy 一

5、般情况下，相关系数的绝对值小于1，即1xy表明不能用一个信号精确表示另一个信号，但可以用一个信号近似地表示另个信号，其近似程度用相关系数来描述n3.3 自相关函数)()()(tXtXERx)(xRxyyxyxyxyxxyXYEYXE)( 分析 与 之间的关系为描述随机过程两个不同时刻状态之间的联系，引入自相关函数1212( , )R t tE x x对于各态历经随机过程：(与时差有关)yxyxyxyxxyXYEYXE)(如令随机变量)()(tXYtXX)()()()()()()()()()()()()(txtxtxtxxtxtxtxtxyxyxtxtxRtXtXEXYE则：相关系数 可以描述两

6、个随机变量之间的线性程度， 公式中 和 都是常数， 可以描述两个随机过程之间的相关关系。( ) ()( )()( )()( )x t x txx tx tx tx tR对于平稳随机过程：xtxtx )()(xtxtx )()(故：22)()()(xxxtxtxR)(xR xyxy2x2x相关系数与相关函数之间的比较相关系数与相关函数之间的比较n相关系数是一个数。其缺陷：分子是两个信号的内积，如sinx和cosx,从波形上看只是相位不同，而相关系数为零（因为正弦和余弦正交）。n引入相关函数，将原来两函数直接内积改为一个函数和另一个函数的延迟作内积。使描述两随机变量相关程度的方式由一个数变为函数。

7、 n相关函数：不仅与两个波形的特点有关，还与两个波形之间的相对移动值有关。全面反映了两个波形的相似性。 例：已知组成随机振动过程的样本函数几何，求不同时刻之间的相关性。（理解相关函数概念）1111( ,)lim( ) ()NxxiiNiRt tx t x tN例:求正弦函数的自相关函数解：该正弦函数的自相关函数为式中 为振动周期，令 ，则 。于是 0020001lim1sinsinTxTTRx t x tdtTxttdtTtddt02T0T 222000sinsincos22xxxRd 正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在=0时具有最大值，但它不随的增加而衰减至零。它保留了原正弦信号的幅值幅

8、值和频率信息和频率信息，而丢失了初始相位信息工程应用 区别信号类型 检测混杂在随机信号中的周期成分。如：测量座椅的振动信号，获得其自相关函数，可以判别座椅上是否有周期信息。如果存在周期信号，可根据其频率查找相应振源。自相关函数有以下性质： 1、由 22)()()(xxxtxtxR以及11)()(txtx可知：222222)(1)(1xxxxxxxxRR最大值：最小值：)(xR故22xx22xx2、 时：2)(xxR)()()()0(2tXEtXtXERx222)(xxtXE222)(xxtXE22)0(xxxR0即： 时， 具有最大值,此时相当 于自己与自己的关系，当然完全相关)0(xR0时，

9、0)(22)()(xxxtxtxR3、 是偶函数（证明略）)(xRn3.4 互相关函数 自相关函数是描述同一平稳过程两个不同截口之间的线性依从关系； 互相关函数是描写两个平稳过程，不同截口之间的关系。 在X(t)上选一个时间t1，对应随机变量X(t1) 在Y(t)上选一个时间t1+，对应随机变量Y(t1+) 两者之间的互相关函数为：)()()()()(11tYtXEtYtXERXY)()()()()(11tYtXEtYtXERXY上式表示：在Y(t)上选则的时间截口比在X(t)上选择的时间截口要落后一个时间如果在X(t)上选则的时间截口比在Y(t)上选择的时间截口落后一个时间，则其相关函数表示

10、为：)()()()()(11tXtYEtXtYERYX由于平稳随机假设故上述公式中均与时刻无关例：设有两个周期信号x(t)和y (t)试求其互相关函数 xyR 00sinsinx txty tyt解： 因为函数是周期信号，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均值，故 00000001lim1sinsin1cos2TxyTTRx t y tdtTxtytdtTx y此例可知，两个均值为0且同频率的信号，其互相关函数保留了圆频率、幅值、及相位差值信息例：若两个周期信号的圆频率不等试求其互相关函数解：因为两信号不具有共同的周期，所以有根据正余弦函数的正交性，可知 0102sinsinx t

11、xty tyt 00012001lim1limsinsinTxyTTTRx t y tdtTx yttdtT 0 xyR 如果x(t)和y (t)两信号是同频率的周期信号或者包含有同频率的成分，那么即使趋于无穷，互相关函数也不收敛并会出现该频率的周期成分。 如两信号含频率不等的周期成分，则两者不相关。 同频相关，不同频不相关。 用途：（1）、相关滤波器 （2）、测速 （3）、测距用途举例1：测定汽车速度 在相隔L米的距离布置两个光电信号器，汽车通过时，检测出反射光的两个电信号，做出两者的互相关函数，从第一个峰值的时间移动值（毫秒）计算出汽车行驶速度。 （相关测速）内部测速：变速箱内部齿轮转速计

12、算 ABS刹车上的转速仪用途举例2：确定操纵机构等的灵敏度。 如：以方向盘的转角为输入，前桥转向角为输出，可得两者的互相关函数的峰值。其峰值滞后时间越小表示操纵机构接受指令后到执行的时间间隔越短，机构的灵敏度越高。用途举例3：寻找主要振源 确定车辆座椅振动的主要来源 如：测量座椅振动信号、发动机振动信号、轮轴振动信号；分别得到座椅与发动机振动的互相关以及座椅与轮轴振动的互相关函数。通过比较确定其主要振源。用途举例4：测距（阅读） 准确定位深埋在地下的输油管裂缝位置： 输油管裂缝处视为声源，向两侧传播声信号。 第一次开掘处如未找到漏损处，则放一传声器。 第二次开掘处如未找到漏损处，则再放一传声器

13、，两者间 距s传感器。 求两传声器所测信号的互相关函数，根据其时差确定管路 破损位置。 声波在管路中的传播速度已知v 首先判断漏损点是否在两传感器之间，如时差小于s传感器/ V 则漏损点必然在两传声器之间。 1122lvtlvt212122()12llssv ttvsv由此判断出的泄漏点位置误差很小，在天然气管道、石油管道故障排查时常用方法。用途举例5：（阅读） 用互相关函数测定材料的隔声性能 声源在A室中，首先在不放隔声板的情况下，测量a、b处的噪声信号并做互相关分析； 装上隔声材料后，做同样的分析。 比较两次得到的互相关函数，后者互相关数值大大降低，此值越低表明材料的隔声效果越好。 互相关

14、函数具有以下性质： 1、令tt)()()(tYtXERXY)()()()()()()(YXRtXtYEtXtYEtYtXE)()(XYXYRR)(XYR 同理：一般情况： 不等于)()(XYXYRR故： 不是偶函数)(XYR图 两个平稳过程的互相关函数n2、设有两个随机过程X(t),Y(t)11)()()()()()()()()()()()()()()()(tytxtytxtytxtYtXtytxtytxtytxRtYtXE由于是平稳随机过程：YtYYtYXtXXtX)()()()(故：同理：yxyxXYyxyxR)(yxyxYXyxyxR)(yxyxXYyxyxR)(yxyxYXyxyxR)( 与 有相同的数值范围)(XYR)(XYR 3、多数随机过程，时间相隔越长，相关性越弱时，0yxyxXYXYR故：yxYXXYRR观察 时互相关函数的取值4、互相关函数与自相关函数之间的关系)0()0()(2YXXYRRR)0()0()(2YXXYRRRyxyxXYyxyxR)(222222222222)()0()0(xyyxyxyxy