第一章向量代数

1、微分几何 河科大2014研究生专用 魏冰阳编著2014.11第1章 向量代数向量是一种重要的代数工具，同时具有很强的几何直观性。利用向量可以很简洁地解决许多科学与工程技术中的问题，在力学、物理和工程技术中有着广泛的应用。向量也是工程数学的一个重要基础，微分几何学是工程数学的一个重要分支和交叉学科。为了奠定这方面的基础，本章将介绍向量的概念和它的基本运算。1.1 向量的线性运算1.1.1 向量及其表示向量的概念来源于物理学。很多物理量不仅有大小，还有方向，例如速度、位移、力等。抛开它们的物理意义，只保留大小与方向两个要素，就抽象为数学中向量的概念。定义1.1 既有大小，又有方向的量称为向量，或者

2、叫矢量。一般用有向线段表示一个向量，线段的长度表示它的大小，线段的方向表示它的方向。以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量记为。还常用黑体小写字母a，b，c 等表示向量。如果两个向量大小相等、方向相同，就称这两个向量相等。由两个向量相等的定义可知，一个向量平行移动后，成为与原来向量相等的向量，因此向量的起点可以放在空间中的任意一点。这种能任意平移的向量称为自由向量。如果我们把一个向量的起点放在坐标的原点，则该向量常称为向径或矢径。如果两个向量的大小相等而方向相反，则称这两个向量互为反向量或负向量。向量的长度也称为向量的模。向量 的模用表示（有些书上也有用双竖线表示的，本书一律使用单竖线表示

3、），向量a的模用|a|表示。模为1的向量称为单位向量。模为零的向量称为零向量，记作0。零向量的起点和终点是重合的，因此它没有确定的方向。如果向量a与向量b 的方向相同或相反，就称它们平行，记作a / b。如果向量a与向量b方向互相垂直，就称它们垂直或正交，记作ab。规定零向量与任何向量都平行且正交。1.1.2 向量的线性运算图1.1 向量加法的几何法则将物理中速度或力的合成法则加以抽象，就得到向量加法的定义。定义1.2 给定具有共同起点O 的两个向量a =，b =，则以，为邻边的平行四边形的对角线向量c = (图1.1) 就称为这两个向量的和，记作=+ 或者 c = a + b这种求和的方法称

4、为平行四边形法则。从图1.1 可知，=，所以 =+这称为两个向量的和的三角形法则。向量的加法满足交换律和结合律。a + b = b + a (1.1)a + (b + c) = (a + b) + c (1.2)从上述定义1.2还可以得到a + 0 = a (1.3)a + (-a) = 0 (1.4)向量的减法为向量加法的逆运算。对于向量a，b，定义a - b = a + (- b)下面定义向量与数的乘积。定义1.3 定义向量a 与实数l 的乘积为一个向量，记为l a, 它的模为|l|a|，它的方向规定为：当l 0 时，与a同向；当l 0 时，与a反向。这种运算称为向量的数乘。由数乘的定义可

5、知0a = 0，并且对任意实数l，m，都有1a = a (1.5)l(ma) = (lm)a (1.6)进一步可以证明(l +m)a =la+ma, (1.7)l (a+b) =l a+l b (1.8)在所有向量构成的集合中，可以引入加法和数乘两种运算，而且这两种运算满足性质(1.1)(1.8)。我们将这样的集合(附带加法与数乘运算) 称为线性空间或向量空间，线性空间中的元素称为(抽象的) 向量。一般地，线性空间中的加法与数乘运算称为线性运算。1.1.3 向量的共线与共面定义1.4 一组向量如果它们都平行于某条直线则称为是共线的；一组向量如果它们都平行于某个平面则称为是共面的。不难看出，一组

6、向量共线当且仅当其中任意两个向量共线；一组向量共面当且仅当其中任意三个向量共面。因此研究向量共线、共面问题的关键是研究“两个向量共线”和“三个向量共面”。因此可得到两个命题。命题1.1 向量a，b 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数l、m，使得l a+mb = 0命题1.2 向量a, b, c 共面的充分必要条件是存在不全为零的实数l, m, n， 使得l a + mb+ nc = 0。下面对命题1.2做出证明，以便大家更进一步熟悉向量的线性运算。图 1.2 三个向量共面证明 必要性：若a, b, c中有任意两个向量共线，例如a, b共线，则由上一命题1.1知，存在不全为零的实数l，m，使

7、得l a + mb = 0。则l，m不全为零，且l a + mb + 0 c = 0。设a, b, c 中任意两个向量都不共线。在空间中取定一点O，作 = a, = b, = c，过C 点作OB 的平行线交直线OA于点D (图1.2)，由三角形法则知：存在实数l, m，使得 = + =l+m移项后得l a + mb + (-1)c = 0其中l, m,1不全为零。充分性：设存在不全为零的实数l, m, n，使得l a+mb+n c = 0，不妨设n0，于是因此c 是以为边的平行四边形的对角线，从而a, b, c 共面。定义1.5 设a1, a2, .an 为一组向量，l1, l2,.ln 为实

8、数。称向量a =l1a1+l2a2+lnan为向量a1, a2, .an的线性组合。利用这个定义，命题1.1 和命题1.2 也有如下的表述方式：两个向量共线当且仅当某一个向量为另一个的线性组合(倍数)；三个向量共面当且仅当某一个向量为另外两个向量的线性组合。例1.1 证明 向量a+b+c, a-b-c, a+2b+2c 共面。证明： 为证明三个向量共面，要证明l (a+b+c)+m(a-b-c)+n (a+2b+2c) = 0有不全为零的解l, m,n。上式化简后得(l +m +n )a+(l -m +2n )b+(l -m +2n )c = 0.所以只要证明方程组 存在不全为零的解。易见l

9、= -3, m = 1, n = 2 为一组非零解，因此三个向量共面。1.2 向量的乘积运算1.2.1 向量的数量积物理学上功的概念很好地说明了向量的数量积的概念，W = |F|S|cosq。这里的功W是由力F 和位移S 两个向量所唯一决定的一个数量。定义1.6 两个向量a 与b 的数量积为一个实数，它等于两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，记为ab。如果向量a, b 的夹角为q ，则a b = |a|b|cosq.数量积也常称为内积。设 ，。过B 点作直线OA 的垂线，垂足为P。向量称为向量在向量 上的投影向量。容易看出特别地，当a为单位向量时，由数量积的定义知，a b = 0 当且仅当两

10、个向量是正交的(包含其中一个向量为零向量的情形)。 在直角坐标系下两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和。即，给定两个向量a = a1i+a2j+a3k, b = b1i+b2j+b3k, 则有a b = a1b1+a2b2+a3b3对向量a, b, c 及实数l，数量积具有如下的性质。(1) 交换律：a b = b a, (2) 分配律：(a+b) c = a c+b c, (3) 结合律：(l a) b =l (a b) = a (l b), 另外，定义向量的平方运算，a2 = a a 0, 等号成立当且仅当a = 0。设向量a, b 之间的夹角为q ，则由数量积的定义知 (1.9)例1

11、.2 证明Cauchy 不等式(a1b1+a2b2+a3b3)2 (a12+a22+a32)( b12+b22+b32).证明. 设a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3)，则有a b = a1b1+a2b2+a3b3, |a|2 = a12+a22+a32, |b|2 = b12+b22+b32由数量积的定义a b = |a|b|cosq 及|cosq | 1 推知(a b)2 |a|2|b|2.把它写成坐标的形式，即得欲证的不等式。1.2.2 向量的向量积定义1.7 两个向量a, b 的向量积ab 为一个向量，它的方向与a, b 都垂直，且使a, b, ab 构

12、成右手系；它的模等于以a, b 为边的平行四边形的面积，即|ab| = |a|b|sinq ，其中q 为a, b 间的夹角。例如，物理学的速度向量v =w R，|v| = |w|R|sinq , 象这样由两个向量w, R 决定第三个向量v 的现象在物理学和微分几何中是十分常见的。向量的向量积具有以下性质。设a, b, c 为三个向量，l 为实数，则有(1) 反交换律：ab = -ba, (2) 结合律：(l a)b =l (ab) = a(l b), (3) 分配律：(a+b)c = ac+bc.向量积在直角坐标系下的运算为 ab =(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b

13、2-a2b1)k写成行列式的形似为 (1.10)1.2.3 混合积的定义 定义1.8 给定三个向量a, b, c，称(ab) c 为a, b, c 的混合积。记作(a, b, c)图1.3 向量混合积的六面体 混合积是一个数量。以a, b, c 为棱可以构成如图1.3所示的平行六面体，其体积V 等于以a, b 为边的平行四边形的面积S 乘以高h，即V = Sh.由向量积的定义知S = |ab|.另一方面, 设ab 与c 的夹角为j，则有|h| = |c|cosj|。于是V = |ab|c|cosj| = |(ab) c|.注意到j 为锐角时，a, b, c 构成右手系，V = (ab) c；当

14、j为钝角时，a, b, c 构成左手系，V = -(ab) c。因此混合积(ab) c 表示的是以a, b, c 为棱的平行六面体的“有向体积”。由于轮换a, b, c 的次序时，不会改变左右手系，因此混合积的值不变。即(ab) c = (bc) a = (ca) b.另一方面，交换a, b, c 中任意两个的次序会改变左右手系，因此混合积的值改变符号，例如(ab) c = -(ba) c.直角坐标系下，设a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), c = (c1, c2, c3)，因为 所以即 (1.11)命题1.3 三个向量a = (a1, a2, a3), b

15、 = (b1, b2, b3), c = (c1, c2, c3) 共面当且仅当证明. 由于混合积(a b) c 表示的是a, b, c 构成的平行六面体的有向体积，a, b, c 共面当且仅当(ab) c = 0。由上面的公式即得命题。定义1.9 给定三个向量a, b, c，称(ab)c 为这三个向量的二重外积。命题1.4 对任意向量a, b, c，有(ab)c = (a c)b-(bc)a.证明. 取一个右手直角坐标系，设a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), c = (c1, c2, c3).只要验证等式两边的向量具有相同的坐标即可。由于ab = (a2b

16、3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1), 所以(ab)c 的第一个坐标为(a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2.另一方面，(a c)b-(bc)a 的第一个坐标为(a1c1+a2c2+a3c3)b1-(b1c1+b2c2+b3c3)a1= (a3b1-a1b3)c3-(a1b2-a2b1)c2因此等式两边向量的第一个坐标相同，同理另两个坐标相同，从而等式成立。上述公式通常称作二重外积展开式，从这个公式可以看出，外积不满足结合律，就是说，一般情况下，(ab)c a(bc), 因为上式左边是a 和b 的线性组合，而右边是b 和c 的线性组合。这就提醒大家多个向量

17、的连续作向量积运算是有顺序的。例1.3 证明 拉格朗日恒等式 (ab)(cd) = (a c)(bd)-(a d)(bc).证明. (ab)(cd) = (ab, c, d)=(ab)c) d= (a c)b-(bc)a) d= (a c)(bd)-(a d)(bc).或写作1.3 自然标架及合同变换1.3.1 自然标架设e1， e2， e3 为空间中三个不共面的向量，则对每个向量a 都存在唯一的三元有序实数组(x1, x2, x3)，使得 a = x1e1+x2e2+x3e3。由于这种唯一性，向量e1, e2, e3 定义了空间的一种自然标架，或称仿射坐标系，(x1, x2, x3) 为向量

18、a 在基e1, e2, e3 下的坐标。 如果给定自然坐标系O, e1, e2, e3，对空间中一点A，向量，坐标(x1, x2, x3)三者间存在一一对应的关系.空间中的点A向量坐标(x1, x2, x3)图1.4 向量坐标与向量余弦空间直角坐标系为一个特殊的自然标架，它的三个坐标向量为两两垂直的单位向量。一般用i, j, k 表示这三个坐标向量，相应的坐标轴为x 轴，y 轴和z 轴。直角坐标系的特殊性使得某些计算变得容易。设O, i, j, k 为一个空间直角坐标系。图1.4，向量a = a1i+a2j+a3k = (a1, a2, a3)。取空间中的一点A 使得 = a，由向量坐标的定义

19、可知上式给出了一个向量的模长与其坐标的关系。而两点间的距离公式d = 也只有在直角坐标系下成立。 此外直角坐标系中方向余弦cosa, cosb , cosg，如图1.4所示。也是直角坐标下所特有的。从图1.4 不难看出, ， ， 于是有 从而 1.3.2 坐标定向及合同变换由前面所建的坐标系可以知道，三维欧氏空间与三维欧氏向量空间之间有一个一一对应，点的坐标可以对应一个向量。向量的运算可以化作点的坐标的运算。现考虑在三维欧氏空间取定两个正交标架：E1与E2，两者具有如下的关系： ，i=1, 2, 3 (1.12a)T为33正交矩阵，因为E1与E2均为正交标架，所以detT=1。这两个标架相差原

20、点间的一个平移以及矩阵T诱导的一个正交变换。欧氏空间给了一个正交标架，称为给了欧氏空间一个定向，若两个标架间相差的正交变化阵的行列式为1，称为定向相同，否则称它们的定向相反。显然，定向相同是一个等价关系，因此欧氏空间有且仅有两个定向。例如，和为同一定向，和定向相反。通常将三维欧氏向量空间中由i, j, k决定的定向称为自然定向（右手定向）。有了标架的变换关系后，容易推出欧氏空间同一点在不同标架下的坐标间的变换关系。设P点在新老两个坐标系的坐标分别为(x1, x2, x3)与(x1, x2, x3)，即， 那么由式(1.12a)有 ，i=1, 2, 3 (1.12b)如果在欧氏空间中固定一个标架

21、。把上述空间中，点之间一对一的变换记作G，这种变换G如果保持空间中任意两点间的距离不变，则称为合同变换，或欧氏变化。即对于任意两点P和Q所以，合同变换的一般表达式可以写作即平移P0与正交变换T的复合。从几何角度看，欧氏变换是将欧氏空间的点做下述三种变换：平移、旋转、镜面反射。当detT=1时，对应的合同变换称为E3的一个刚体运动；当detT=-1时，对应的合同变换称为反向刚体运动。直观地讲，刚体运动排除了反射变换的情形，换句话说，刚体运动是平移和旋转的复合。同样对三维欧氏空间中的一个正交标架做合同变换，就得到了另一个标架，反之，给定任意两个标架与。首先可以通过平移将O1点移到O1点，然后通过适

22、当的旋转或反射使(e1, e 2, e 3)分别与(e1, e2, e3)重合。也就是说，可以通过三维欧氏空间的一个刚体运动将标架变为。显然，这样的运动是唯一的。上述所定义的合同变换从概念上看似乎很抽象，其实矢量旋转、参数变换、坐标系变换等都是典型的合同变换。例如，直角坐标到极坐标的变换（x=rcosq, y=rsinq），不仅坐标发生了变化而且参数也发生了变换。1.4 矢量旋转与坐标变换1.4.1 矢量旋转w b e a图1.5 矢量旋转如图1.5所示，设任意单位向量w，a为任意向量，其始点在w轴上，a绕w旋转任意角e得新的矢量b，求新的矢量b。显然b是a、w、e的函数。b作为空间向量，a、

23、w两个向量不足以表达，因此引入第三个矢量wa。这样b就可以表达作 (1.13)这里有三个未知量l1、l2、 l3，研究回转过程可知，b大小不变，即 (1.14)b与w的夹角不变，即 (1.15)a绕w旋转角度e (1.16)这样由上述三式(1.14)-(1.16)可确定l1、l2、 l3。对式(1.13)两端做w数量积 利用式(1.15)可得 (1.17)对式(1.13)两端做a数量积 (1.18)利用拉格朗日恒等式可得 ， 即利用式(1.16)可得 与 (1.18)式做对比可知 ， 利用式(1.13)，注意到可得 所以 经验证这样可得旋转矢量表达式 (1.19) 由矢量旋转的表达式(1.19

24、)可以看出，矢量旋转其实是一种矢量运算，因此，向量运算可以在向量旋转前或后进行，其结果是相同的。拿向量的向量积来解释就是说，两个向量先做向量积再施行旋转与先施行旋转再做数量积，其最终得到的结果是一样的。1.4.2 坐标变换 z2 y2z1 o2 P x2o1 y1 x1图1.6 坐标变换对于任意一个刚体，为了完全确定它在空间的位置，只要在刚体上固定一个坐标系，如果我们能够对某个参考坐标系描述这个坐标系的位置，那么也就说明了那个刚体在空间的位置。这就要用到坐标变换。这里所说的坐标变换是指坐标系的变化，这种变换广义上可以理解成一个映射或算子，即矢量在一个坐标系中描述变换为在另一个坐标系的描述，或算

25、子作用于一个矢量，表示一个移动或转动，或二者兼有。如图1.6所示，两个坐标系、，在坐标系S1中存在径矢，那么如何在坐标系S2中表达。这就要用到坐标变换问题。 根据式(1.12)肯定存在如下的表达式 (1.20)即，坐标系S1经过一个平移(在S2坐标系表达)，再做一个旋转R变换到与S2重合。这时径矢即为在坐标系S2中的表达。1. 旋转坐标变换 下面我们先来研究旋转变换矩阵R，由式(1.12)知道，R为33正交矩阵，对于右旋标架detT=1。 (1.21)把坐标系S1经过一个平移c21，使其原点重合；R21中每个元素为对应坐标轴夹角的余弦，即，其它元素依次类推。假设坐标系S1相对于S2绕z2轴旋转

26、q角后重叠，则旋转变换矩阵为 由R的形成可以看出，R的每一行或每一列的元素平方和等于1，任意两行或任意两列元素乘积之和等于零，R的逆矩阵等于它的转置，R-1= RT，表示了它的逆变换。从标架的角度看，R21就是坐标系S1在S2中的描述，它的三列就是S1的三个坐标轴单位矢量(i1, j1, k1)在S2中的表示。从映射或算子的观点看，如果在S1有一矢量a1想求其在S2中的表达a2，则这时要求坐标系S1、S2它们是同原点的。这对于自由矢量变换没有问题，如果变换的矢量为径矢则必需考虑式(1.20)的既平移又旋转。把式(1.20)化作映射或算子，则要引入齐次坐标变换。2. 齐次坐标变换齐次变换把坐标当

27、作4维来考虑。实数轴有限远点与笛卡尔坐标系中点的坐标形成一一对应的关系，无穷原点在三维欧氏空间没有坐标，为了刻画无穷原点，需要引入齐次坐标，如果把齐次坐标写作。我们会发现，当l0时表示有限远点，当l=0时表示了无穷原点的坐标。因此，有限远点的齐次坐标可以写作。把式(1.20)的变换用齐次变换来描述，则 (1.22)元素a14, a24, a34表示坐标系S1原点O1在坐标系S2中的坐标，即，如果进行逆变换，即坐标系S2向坐标系S1变换 (1.23)这时，b14=-(a11a14+a21a24+a31a34)，b12=-(a12a14+a22a24+a32a34)，b13=-(a13a14+a2

28、3a24+a33a34)，仔细观察会发现，括号内的项目分别为M21第4列元素同第1、2、3列元素的乘积之和。为了熟悉上述的矢量变化，下面我们举一个机械手的运动分析的例子。例1.4 图1.7所示为一个工业4自由度机械手。第1个自由度，|OO1|=l1段可绕O-z轴旋转任意角度q1；第2个自由度，|O1O2|=l2段可绕O1-x1轴旋转任意角度q2；第3个自由度，|O2O3|=l3段可绕O2-x2轴旋转任意角度q3；第4个自由度，|O3P|=s段可绕O3-y3轴旋转任意角度q4。试确定P点的运动轨迹。解 建立如图1.7所示的坐标系，坐标系为空间固定坐标系， 与第1段杆件固联，z与z1轴重合，S1绕z轴相对S旋转q1；依次类推，与第2段杆件固联，x2与x1轴重合，其相对S1的x1轴旋转q2；与第3段杆件固联，x3与x2轴重合，其相对S2的x2轴旋转q3。图1.7 机械手的坐标变化首先确定P点在坐标系中